专题07 二次函数特殊四边形存在性问题的四种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题07 二次函数特殊四边形存在性问题的四种考法 【考法一、平行四边形存在性问题】 例1．（边不固定）已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)点的坐标为； (3)存在，以四点为顶点的四边形为平行四边形时点坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法，设顶点式求出二次函数的表达式； （）根据轴对称最短路径问题得到点的位置，利用待定系数法求出直线的函数解析式，令代入计算得到答案； （）根据平行四边形的性质和平面直角坐标系中点坐标特点分三种情况当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时分析即可解答； 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想，掌握待定系数法求二次函数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设函数表达式为， ∵图象过点点， ∴，解得，， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：如图，连接， 由（）得：二次函数的表达式为， 当时，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵关于对称轴直线对称，点在对称轴上， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：存在，理由： ∵点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 综上可知：以四点为顶点的四边形为平行四边形时点坐标为或或． 例2．（边固定）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，． (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线沿轴的正方向平移个单位长度得到新抛物线，是新抛物线与轴的交点靠近轴，是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点，使得以为边，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)满足条件的点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，平行四边形的性质； （1）将点，代入抛物线表达式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据二次函数平移的规律得出，进而求得点，设，，根据题意得出，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线表达式， 得解得 该抛物线的表达式为． （2）， 抛物线的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为， 把代入：得， 解得， ． 是原抛物线对称轴上一动点，点在新抛物线上， 设，． 当为平行四边形的一边时， 且． 由题可知． ． 即，解得或． 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【考法二、菱形存在性问题】 例1．（边不固定）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值？并写出最大值为多少； (3)若P是直线上的一动点，在坐标平面内是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2)当时，有最大值，且最大值为 (3)存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或． 【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解； （2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解； （3）根据题意可求出的长，根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况：如图所述，点在直线下方；第二种情况：如图所示，点在直线上方；图形结合，即可求解， 第三种情况，为菱形的对角线时． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ，解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； （3）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且 在中，，， ∴， 第一种情况：如图所述，点在直线下方，    四边形是菱形，则，， 且直线的解析式为， ∴设直线所在直线的解析为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，过点作轴于点， ∴，， ∴， 整理得，， ∴， ∴当时，，即； 当时，，即； 第二种情况：如图所示，点在直线上方，    四边形是菱形，，， 且，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 整理得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），，即， ∴设所在直线的解析式为， 把点代入得，， ∴直线的解析式为， 根据题意，设， ∴， 整理得，， ∴，即，， ，不合题意， ∴； 第三种情况，为菱形的对角线时，如图所示： 作的垂直平分线，交于P，交于N， 在直线上截取，连接、得菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 代入，， 得， 解得， ， 与联立， 得， 解得， ， 将点P向右平移个单位再向上平移个单位得到点C， 将点也做相同的平移得到点，即， 综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键． 例2．（边固定）【提出问题】 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是_______； 【深入探究】 （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，直线AB交抛物线的对称轴于点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为9，若存在请求出C点坐标：若不存在，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，点C的坐标为或；（3）存在，或． 【分析】本题考查了新定义，二次函数和一次函数的交点问题、列方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，两点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，两点间距离公式是解题的关键． （1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法列式计算面积，解方程即可； （3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，， ∴点，是矩形 “梦之点”， 故答案为：，． （2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴点A，B是直线上的点， ∴， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴交于M， ∴， 设点C的坐标为， ∴， ∴． 解得， ∴点C的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 【考法三、矩形存在性问题】 例1．（边不固定）如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，分为矩形的对角线、为矩形的对角线和为矩形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， ①当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∴ ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ②当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∴或， ∵对角线交点的坐标为， ∴当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 综上，存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 例2．（边固定）如图，二次函数（其中、为常数）经过点，对称轴为直线，点在抛物线上，其横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时．直接写出的取值范围； (3)抛物线在、之间的函数部分的最大值为时，求出此时的值； (4)已知点，点关于点的对称点为点，以为对角线构造矩形，其中轴．当，抛物线在矩形内部的函数部分随的增大而增大或者随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的取值范围为 (3)的值为或 (4)的取值范围为 【分析】（1）由题意得出，解方程，求出的值即可； （2）根据二次函数的解析式及性质计算即可得出答案； （3）分两种情况：若点在对称轴右侧，即时；若点在对称轴左侧，即时；分别利用二次函数的性质，求解即可得出答案； （4）令抛物线与轴的交点为，可得，求出点，即在轴上，再根据矩形的性质结合轴得出在轴上，画出图形得出当时，才会有抛物线在矩形中，列出不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数（其中、为常数）经过点，对称轴为直线， ， 解得：， 该二次函数的解析式为； （2）解：， 当时，二次函数有最大值为， ， 当时，，当时，； 当时，的取值范围为； （3）解：点在抛物线上，其横坐标为， ， 由（2）可得，抛物线的顶点为， 若点在对称轴右侧，即时，抛物线在、之间的函数部分随的增大而减小， 当时，为最大值，即， 解得：或， ， ； 若点在对称轴左侧，即时，抛物线顶点为最大值，即， 解得：； 综上所述，的值为或； （4）解：令抛物线与轴的交点为， 在中，当时，， ， ，点，点关于点的对称点为点， ，, ，即在轴上， 轴，四边形为矩形， 轴， 在轴上， 如图，当恰与点重合时， ， 此时抛物线没有在矩形内，只有将矩形往上移动，才会有抛物线在矩形中，如图， ，， ， ， 解得：， 的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的最值、矩形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【考法四、正方形存在性问题】 例1．（边不固定）如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②当点为顶点的四边形是正方形时，或 【分析】（1）运用待定系数法把把点代入抛物线即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，令时，解一元二次方程即可； （3）根据正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当是正方形的边；当是正方形的对角线；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在，当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：①∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是抛物线的一点，且横坐标为， ∴， ∴， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴； ②设直线的解析式为， 把代入中得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在直线的图象上，且点的横坐标为， ∴， 由①得，，点， ∴， 设， ∵点的纵坐标相同， ∴轴，， 当为正方形的边时，，则点与点重合，点与点重合，或是点与点重合，点与点重合，如图所示， ∴， 解得，； 当为正方形的对角线时，连接，交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形，则， ∴， 解得，； 综上所述，当点为顶点的四边形是正方形时，或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键． 例2．（边固定）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或； (3)P的横坐标为或 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为； （2）分两种情况：①当在轴下方时，设交轴于，求出，直线解析式为，由，知，可得直线解析式为，联立，即可解得；②当在轴上方时，交轴于，可知与关于轴对称，从而可得，直线解析式为，联立，可解得； （3）分两种情况：①当在对称轴左侧时，延长交轴于，求得抛物线对称轴为直线，证明，即轴，知直线，故当在直线上时，也在直线上，求得，；设，得，即可解得此时的横坐标为；②当在对称轴右侧时，同理可知，；设，有，可解得此时的横坐标为． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：①当在轴下方时，设交轴于，如图： 点是的中点，， ， 设直线解析式为 把，代入 ∴ 得直线解析式为， ， ， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得， 直线解析式为， 联立， 解得或； ； ②当在轴上方时，交轴于，如图， ， ∴与关于轴对称， 由①知直线解析式为， ， ， 由，得直线解析式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：当在对称轴左侧时，延长交轴于，如图： 由可得抛物线对称轴为直线， ，， ，直线解析式为， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ，即轴， 抛物线对称轴直线垂直轴， 直线， 当在直线上时，也在直线上， 如图： 由得， ，； 设，则，， ， ， 解得（舍去）或， 此时的横坐标为； ②当在对称轴右侧时，如图： 同理可知，； 设，则，， ， ， 解得或（舍去）， 此时的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数的性质，涉及待定系数法，梯形的面积，正方形，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【课后练习】 1．综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把B，C点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或， 使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． 2．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或； (3)存在，或或或 【分析】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴是直线，再把点、代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，再运用待定系数法求得直线的解析式为；设点D坐标为，则点，进而得到，，，再分、、三种情况分别求解即可； （3）设，再求得，然后分以为对角线和边两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A， ∴，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式． （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； 设点D坐标为，则点， ∵， ∴，，， ①当时，， ∴，解得（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为； ②当时，， ∴，解得：，（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为； ③当时，， ∴，解得：， ∴点N的坐标为． 综上，存在，点N的坐标为或或． （3）解：设， ∵， ∴， ①以为对角线时，， ∴，解得：，或， ∴或， ∵， ∴，或 ∴，或， ∴点F的坐标为或； ②以为边时，或， ∴或， 解得：或， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， ∴点F的坐标为或， 综上所述：存在，点F的坐标为或或或． 3．如图①，已知抛物线与轴负半轴交于点，点在轴正半轴上，连接，交抛物线于点，点的坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点的坐标； (3)如图②，过点作轴于点，点为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为． ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②已知点是轴上一点，是坐标平面内一点，当以点为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②当点为顶点的四边形是正方形时，或 【分析】（1）运用待定系数法把把点代入抛物线即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，令时，解一元二次方程即可； （3）根据正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当是正方形的边；当是正方形的对角线；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：已知抛物线的解析式为：， ∴令时，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：①∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵设点是抛物线的一点，且横坐标为， ∴， ∴， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在直线的图象上，且点的横坐标为，点三点共线， ∴， 由①得，，点， ∴， 设， ∵点的纵坐标相同， ∴轴，， 当为正方形的边时，，则点与点重合，点与点重合，或是点与点重合，点与点重合，如图所示， ∴， 解得，； 当为正方形的对角线时，连接，交于点 ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形，则， ∴， 解得，； 综上所述，当点为顶点的四边形是正方形时，或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键． 4．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； (3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）先求出点坐标，再求出直线的解析式，设，其中，则，可得是等腰直角三角形，得到，进而求出周长，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）设点坐标为，点坐标为，分三种情况：①当为对角线时；②当为对角线时；当为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分列出方程组解答即可求解； 本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用及性质，平行四边形的性质，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1） 解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2） 解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，其中，则， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长 ， ， ， ∴当时，的周长有最大值，最大值为； （3） 解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点坐标为， ①当为对角线时，， 解得， ∴， ②当为对角线时，， 解得， ∴； ③当为对角线时，， 解得， 解得； 综上所述，存在点，以为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 5．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为_____；顶点的坐标为_____； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线分别交直线和抛物线于点、，点为平面内任意一点，当点、、、构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)面积的最大值为，此时 (3)或或或 【分析】（1）求出当时，的值；将抛物线解析式化为顶点式，即可得解； （2）设，确定直线的解析式为，过点作垂直于轴，交于点，则点，得出，根据二次函数的最值可得结论； （3）分三种情况：①当，为邻边时；②当，为邻边时；③当，为邻边时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点， 当时，得：， 当时，得：，解得：，， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）设， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 过点作垂直于轴，交于点， ∴点， 设点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∴ ∴， ， ∴当时，有最大值，此时， ∴面积的最大值为，此时； （3）设；， ∵， ∴， ， ， ∵点、、、构成的四边形为菱形， ①当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），，， ∴此时点的坐标为，； ②当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），， ∴此时点的坐标为； ③当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），（此时点、重合，舍去），， ∴此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，二次函数的顶点式，二次函数的最值的应用，待定系数法确定一次函数的解析式，菱形的性质，两点间的距离，一元二次方程的应用等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 6．如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标，并连接，，求的面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，面积最大为； (3)存在，，或． 【分析】（）将的坐标代入抛物线即可求出抛物线的解析式； 将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式. （）先求出直线的函数解析式是，设点的横坐标为，则的坐标分别为，，则，求出最大值即可求出的面积的最大值； （）存在，设，，由，，然后分当以为对角线时，当以为对角线时，当以为对角线时三种情况分析即可； 本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想． 【详解】（1）解：将，代入..， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， 设直线的函数解析式是， ∴，解得：， ∴直线的函数解析式是， 设点的横坐标为，则的坐标分别为，， ∵点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为，此时， 的面积的最大值为：； （3）解：存在，理由：如图， 由抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 设，， ∵，， 当以为对角线时， ∴，解得：，， ∴； 当以为对角线时， ∴解得：，， ∴； 当以为对角线时， ∴，解得：，， ∴； 综上所述，满足条件的点的坐标为，或． 7．抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点（点在下方），使得以为边、以为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)当点时，△的面积取得最大值，最大值为4 (3)或 【分析】（1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，，得出当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； （3）由题意得，，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ， 设点， ， ， ， 当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：由（1）（2）可知：，，设点，点，由点在下方结合根据中点坐标公式可分： ①以、为对角线，， ， 或（不符合题意，舍去）； ②以、为对角线，， ， 或， ∴或， ∴当时，代入直线的解析式得：，此时点Q在直线下方，符合题意； 同理可验证也符合题意； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． 8．如图，已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点为抛物线的顶点． (1)抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)将抛物线关于轴对称得到新的抛物线，在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以点四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为或或或； (2)，或，． 【分析】（）求出点坐标及抛物线对称轴，分和两种情况利用平面内两点间距离公式列出方程解答即可求解； （）根据对称性求出新的抛物线的顶点坐标，进而得到新抛物线的解析式，由点坐标得，根据平行四边形的对边相等可得，设)，则点或，分和两种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，二次函数与几何图形，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键 【详解】（1）解：存在． 令， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设， 当时，即， 解得，； 当时，即， 解得，； 综上所述，点的坐标为或或或； （2）解：存在． ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线关于轴对称得到新的抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵以点四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 设)，则点或， ①当时， 则， 解得， ∴， ∴，； ②.当时， 则， 解得， ∴， ∴，； 综上所述，点的坐标分别为，或，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数特殊四边形存在性问题的四种考法 【考法一、平行四边形存在性问题】 例1．（边不固定）已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（边固定）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，． (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线沿轴的正方向平移个单位长度得到新抛物线，是新抛物线与轴的交点靠近轴，是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点，使得以为边，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【考法二、菱形存在性问题】 例1．（边不固定）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值？并写出最大值为多少； (3)若P是直线上的一动点，在坐标平面内是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（边固定）【提出问题】 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是_______； 【深入探究】 （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，直线AB交抛物线的对称轴于点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为9，若存在请求出C点坐标：若不存在，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【考法三、矩形存在性问题】 例1．（边不固定）如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 例2．（边固定）如图，二次函数（其中、为常数）经过点，对称轴为直线，点在抛物线上，其横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时．直接写出的取值范围； (3)抛物线在、之间的函数部分的最大值为时，求出此时的值； (4)已知点，点关于点的对称点为点，以为对角线构造矩形，其中轴．当，抛物线在矩形内部的函数部分随的增大而增大或者随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【考法四、正方形存在性问题】 例1．（边不固定）如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值． 例2．（边固定）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 【课后练习】 1．综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 2．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图①，已知抛物线与轴负半轴交于点，点在轴正半轴上，连接，交抛物线于点，点的坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点的坐标； (3)如图②，过点作轴于点，点为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为． ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②已知点是轴上一点，是坐标平面内一点，当以点为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时的值． 4．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； (3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 5．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为_____；顶点的坐标为_____； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线分别交直线和抛物线于点、，点为平面内任意一点，当点、、、构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 6．如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标，并连接，，求的面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 7．抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点（点在下方），使得以为边、以为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 8．如图，已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点为抛物线的顶点． (1)抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)将抛物线关于轴对称得到新的抛物线，在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以点四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$