专题06 二次函数特殊三角形存在性问题的三种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题06 二次函数特殊三角形存在性问题的三种考法 【考法一、等腰三角形存在性问题】 例1．（边不固定）如图，抛物线的对称轴为，该抛物线与轴交于、两点，且点坐标为，交轴于，设抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式与顶点的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（边固定）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【考法二、直角三角形存在性问题】 例1．（边不固定）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 例2．（边固定）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； (3)Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【考法三、等腰直角三角形存在性问题】 例．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 变式2．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标______． 变式3．如图①，已知抛物线：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式： (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接，当面积最大时，求出P点坐标； (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【课后练习】 1．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线的对称轴为，该抛物线与轴交于、两点，且点坐标为，交轴于，设抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式与顶点的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 6．如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状并说明理由； (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一个动点．是否存在以点N、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 8．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为以为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的t的值． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点和点． (1)求点的坐标及抛物线的函数表达式． (2)如图，平移线段，点的对应点落在第一象限的抛物线上，点的对应点落在直线上，直接写出四边形的形状，并求出此时点的坐标． (3)如图，在（）的条件下，连接，为直线下方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点，连接，是否存在点，使得以为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 11．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数特殊三角形存在性问题的三种考法 【考法一、等腰三角形存在性问题】 例1．（边不固定）如图，抛物线的对称轴为，该抛物线与轴交于、两点，且点坐标为，交轴于，设抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式与顶点的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点为； (2)存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据抛物线的对称性得到点的坐标为，故设抛物线为两点式方程，把点的坐标代入即可求得的值；利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，即可得到顶点的坐标； （2）可设出，则可分别表示出、、的长度，分、和三种情况分别可得到关于的方程，可求得点坐标． 【详解】（1）解：点关于的对称点，， 设过、的抛物线为， 该抛物线又过，则有：，解得， 即，顶点为 （2）解：设， ，， ，，， 为等腰三角形， 有、和三种情况， ①当时，则有，即，解得，此时 ②当时，则有，即，解得，此时或 ③当时，则有，即，解得或，此时或 设直线解析式为，代入、， ∴ ∴ ∴直线解析式为， 当时，则在直线上， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或． 例2．（边固定）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)面积的最大值为，此时D点坐标为 (3)存在，点P的坐标为 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； （3）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 【考法二、直角三角形存在性问题】 例1．（边不固定）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大面积为，此时点； (3)点的坐标为：或或或 【分析】本题为二次函数的综合应用，面积问题，特殊三角形问题； （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当，，为斜边时，勾股定理建立方程解方程即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式，当时，，则， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则的面积， 即的最大面积为，此时点； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点、、的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； ∴点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 例2．（边固定）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； (3)Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，， (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式、二次函数最值、直角三角形的性质等． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设点，得到，，，分当为斜边时，当为斜边时，两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 当时，， ， 设直线的表达式为将，代入，得， ， 解得， ， 设，， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 故设点， 由点的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点Q的坐标为或． 【考法三、等腰直角三角形存在性问题】 例．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分、和三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点Q的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点Q坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； （3）解：假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： ①当时，设与x轴交于G，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ②当时， 为等腰直角三角形， ， 又， ∴在上， 过F作于F， 则， ， ， ∴， ， ∵点Q在抛物线， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ③当时，， ， ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为，， ∴． 综上可知：在抛物线上存在点Q，使得为等腰直角三角形，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 变式1．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）过点作与轴交于点；可求得的解析式为 ，得，再由列方程求出m即可解答 （3）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）设的解析式为：，过点作与轴交于点， 把和代入得：， ， 的解析式为：， ∵， ∴，， ∴ ∵, ∴，即 解得：， 当，，即， 当，，即， 综上所述： （3）如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ， 抛物线对称轴是直线， 是等腰直角三角形，，， ， ，， ，， ，， ，（如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ， ， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，二次函数上点的坐标的特征，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，列方程可解决问题． 变式2．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标______． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）分为当以为平行四边形的边时和当以为平行四边形的边时以及当以为对角线时，三种情况分别求解即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点，点，点代入， ， 解得， ； （2）解：存在， 由（1）可得出，抛物线解析式为，对称轴为直线， 设，， 当以为平行四边形的边时，如图， ∵点， 则， 解得， 故； 当以为平行四边形的边长时，如图， ∵点，， 则， 解得， 故； 当以为对角线时，如图4， ，， ∴线段的中点的坐标为，即， 则， 解得， 故． 综上所述，点的坐标为或或． （3）解：存在， （1）当时，， ∴点与点重合， ； （2）当时，， 如图1，当点在点上方时，过点作轴的垂线，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ∴，解得或． 或， ∵点在对称轴的左侧， ∴点坐标为． 如图2，当点在点下方时， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ∴，解得（舍）或， ， 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，不能丢解． 变式3．如图①，已知抛物线：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式： (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接，当面积最大时，求出P点坐标； (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) (4)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）将，的坐标代入解析式，利用待定系数法解答即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用的代数式表示出线段，再利用得到关于的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可求得值，则结论可求； （3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与的交点坐标、与的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围； （4）由可知点的横坐标为2，设，抛物线的对称轴交轴于点，则，分四种情况：①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵已知抛物线经过点，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵，， ∴，． 过点作轴，交于点，如图，    设， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时， 的面积最大，此时， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴抛物线L向上平移h个单位长度，新的抛物线的顶点坐标为：． 设直线交于点M，交于点N，则，如图2， ∵平分， ∴直线为一三象限的角平分线， ∴直线的解析式为：， ∴， ∵点F在内（包括的边界）， ∴， ∴； （4）存在，点的坐标为或或或，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵是抛物线的对称轴上的一点， ∴点的横坐标为2． 设，抛物线的对称轴交轴于点，则． ①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，如图，    过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，则，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，如图，    过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 同上可得， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，如图，    过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，则，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； ④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，如图，    过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， 同上可得， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，存在，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数求最值，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【课后练习】 1．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）过点作与轴交于点；可求得的解析式为 ，得，再由列方程求出m即可解答 （3）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）设的解析式为：，过点作与轴交于点， 把和代入得：， ， 的解析式为：， ∵， ∴，， ∴ ∵, ∴，即 解得：， 当，，即， 当，，即， 综上所述： （3）如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ， 抛物线对称轴是直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ， ， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，二次函数上点的坐标的特征，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，列方程可解决问题． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大面积为，此时点； (3)点的坐标为：或或或 【分析】本题为二次函数的综合应用，面积问题，特殊三角形问题； （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当，，为斜边时，勾股定理建立方程解方程即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式，当时，，则， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则的面积， 即的最大面积为，此时点； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点、、的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； ∴点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 3．如图，抛物线的对称轴为，该抛物线与轴交于、两点，且点坐标为，交轴于，设抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式与顶点的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点为； (2)存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据抛物线的对称性得到点的坐标为，故设抛物线为两点式方程，把点的坐标代入即可求得的值；利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，即可得到顶点的坐标； （2）可设出，则可分别表示出、、的长度，分、和三种情况分别可得到关于的方程，可求得点坐标． 【详解】（1）解：点关于的对称点，， 设过、的抛物线为， 该抛物线又过，则有：，解得， 即，顶点为 （2）解：设， ，， ，，， 为等腰三角形， 有、和三种情况， ①当时，则有，即，解得，此时 ②当时，则有，即，解得，此时或 ③当时，则有，即，解得或，此时或 设直线解析式为，代入、， ∴ ∴ ∴直线解析式为， 当时，则在直线上， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为， (2), (3)，，或 【分析】（1）设，将，代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，，根据，则，即可解答； （3）设，分当时；，三种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：设，将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线经过点，两点，将，代入， ， 解得， ； （2）设，，，则， 当时 ∵ ， 整理得， ，（舍去） ； 当时 ∵ ， 整理得， ∴（舍去）或； ∴ 当时 ∴不存在 综上所述：, （3）设，则 ，，， ①当时，即， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ②时，即， ， ， ， 而， ， ， ③时，即， ， ， （舍去）或 ， 或， 或， 综上所述：，，或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 5．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)的最大值为 (3) (4)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可表示出M点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （4）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过A、C两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为， 令可得，，解， ∵B点在A点右侧， ∴B点坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （2）∵轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （3）∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴M点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （4）∵轴， ∴， 当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有， 当点P在线段上时，则有， ∴，此方程无实数根， 当点P不在线段上时，则有， ∴，解得或， 综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（2）中用m表示出的长是解题的关键，在（3）中确定出是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 6．如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状并说明理由； (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一个动点．是否存在以点N、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）如图，连接，，，先求得，，利用两点坐标距离公式证得，根据勾股定理的逆定理可得结论； （3）设，根据等腰三角形的定义和性质分类讨论：当时；当时；当时；由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：是直角三角形，理由为： 如图，连接，，， 由（1）可得，， ∴， 当时，， ∴，又， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，理由如下， ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点， ∴设， 当时，是等腰三角形， 由得， 解得，， ∴或； 当时，是等腰三角形， 由 得， 解得：（舍去），， ∴； 当时，是等腰三角形， 由得， 解得，， ∴； 综上所述，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与特殊三角形的综合运用，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握二次函数的性质以及分类讨论求解是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)面积的最大值为，此时D点坐标为 (3)存在，点P的坐标为 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； （3）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 8．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为以为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)①；② ，最大值6；③或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，，代入解答即可； ②再由即可求解； ③分两种情况讨论：当时，；当时，过点作交于，则为的中点，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴，轴的交点坐标分别为、， 抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所求抛物线的函数表达式为，即； （2）解：①，则， ，， 当时，， 解得：或（与重合，舍去）， 当时，， 故； ②，， ， ， ， 当时，有最大值6； ③，， 以为腰，分两种情况讨论： 当时，， 解得或（舍； 当时，过点作交于，则为的中点，如图1， ， 解得或（舍）； 综上所述：满足条件的的值为或． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点和点． (1)求点的坐标及抛物线的函数表达式． (2)如图，平移线段，点的对应点落在第一象限的抛物线上，点的对应点落在直线上，直接写出四边形的形状，并求出此时点的坐标． (3)如图，在（）的条件下，连接，为直线下方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点，连接，是否存在点，使得以为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)四边形是平行四边形，； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（）把代入得到点坐标，再把代入求出点坐标，最后利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式； （）由平移的性质可得四边形是平行四边形，设，根据平移的性质可得，再把点代入直线的解析式计算即可求解； （）分和两种情况，分别画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由平移可得，，， ∴四边形是平行四边形， 设，则由平移的性质可得， ∵点落在直线上， ∴， 解得或， ∵点在第一象限， ∴， ∴； （3）解：存在． ①当时，为直角三角形， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点的纵坐标等于点的纵坐标， ∴点的纵坐标等于， 把代入得，， 解得（不合，舍去），， ∴； 当时，为直角三角形， 过点作轴于，设直线与轴的交点为点，则， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点的坐标为，则，， ∴， ∴， 整理得，， 解得（不合，舍去），， ∴，此时点与点重合； 综上，存在点的坐标为或时，以为顶点的三角形为直角三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，平移的性质，平行四边形的判定，二次函数的几何应用，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 10．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为：；直线的解析式为 (2) (3)或或 【分析】（）待定系数法即可求出二次函数解析式，再求出点A的坐标，再利用待定系数法即可求解直线的表达式； （2）过点作轴于点，交于点，由（1）知直线的解析式为，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移个单位得到，，勾股定理分别表示出，，，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； ∵与轴交于点，， 当时，， 解得：， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 由（1）知直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为； （3）解：∵抛物线， 将该抛物线向左平移个单位，得到，对称轴为直线， 由（2）知点D的横坐标为2，则， ， 点向左平移个单位得到， ∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则， ∴， ∴， ∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点， 则点的横坐标为， 设， ∴，， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得：， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就看得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，则；当时，则；当时，则，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能． 当时，，即， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为， 设，则，，， ，， 当时，，即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ，， ，，， 当时，为直角三角形，， 则， 解得， 此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 则， 解得， 此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 则， 解得，， 此时点的坐标为或， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分、和三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点Q的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点Q坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； （3）解：假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： ①当时，设与x轴交于G，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ②当时， 为等腰直角三角形， ， 又， ∴在上， 过F作于F， 则， ， ， ∴， ， ∵点Q在抛物线， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ③当时，， ， ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为，， ∴． 综上可知：在抛物线上存在点Q，使得为等腰直角三角形，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$