专题05 二次函数实际应用的四种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题05 二次函数实际应用的四种考法 【考法一、销售利润问题】 例．某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 20 22 24 销售量 32 28 24 (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围． 变式1．某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药品未来两年的销售进行预测，发现月销售量（吨）与（月）的函数关系式如下：． (1)根据图象求与的函数关系式； (2)预测月销量不低于15吨有______个月； (3)若该药品每吨的利润（万元）与（月）之间满足如下关系：预测药厂未来两年的月最大利润． 变式2．某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A产品的数据． 销售价格（单位：元/件） 25 30 32 38 销售件数（单位：件） 35 30 28 22 销售成本（单位：元） 210 180 168 132 (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？ (3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元/件时，一天可获得的利润为600元，求的值． 变式3．某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【考法二、图形运动问题】 例．图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 变式1．综合与实践 如图1，是以为斜边的等腰直角三角形，四边形是矩形，点，，，在同一条直线上，，将沿射线向左平移，得到，点，，的对应点分别为点，，．平移的速度为1个单位长度/秒． 设平移的时间为秒，与矩形重叠部分的面积为． 特例感知 当时，的值恰好变为0． （1）的长为______________． 规律探究 （2）①求出与之间的函数解析式，并直接写出的取值范围； ②在如图2所示的平面直角坐标系中，画出①中所求得函数（含自变量取值范围）的图象． 数学思考 （3）请直接写出满足的所有的值． 变式2．已知，如图，在菱形中，，，点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动，点N从点C出发，沿方向，以每秒2个单位的速度向A运动，若M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动，运动时间为t，过点N作交于点Q． (1)当，求的长； (2)设三角形的面积为S，求S与t的函数关系和t的取值范围； (3)在点M，N运动过程中，是否存在t，使三角形为等腰三角形？若存在求出t的值；若不存在说明理由． 变式3．如1图所示，已知是等边三角形，，正方形在的左侧，，，三点在同一条直线上，射线经过点B． (1)求的长度； (2)将正方形沿所在直线向右平移，得到正方形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设． ①如2图所示，与线段相交于点F，当时，求t的值； ②在平移过程中，正方形与重叠部分的面积记为S．当时，试用含有t的式子表示S． 例．如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点B到水面的距离是4米． (1)求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？ (3)如图2，桥拱所在的抛物线在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 变式1．大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为米，且点离地面的高度为米． 数学建模 (1)在图中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式； 问题解决 (2)为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，于点．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为米． 点的坐标为______，的长为______； 请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到米．参考数据：） 变式2．如图①，是一间学校体育场的遮阳蓬截面图，某校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳蓬截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与横梁相互垂直，且，． (1)建立如图②平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)若为了使遮阳蓬更加牢固，在遮阳蓬内部设计了一个矩形框架（如图②所示），且，求的长； (3)根据（1）中求解得到的函数表达式，若当时，函数的最大值与最小值的差为1，求的值． 变式3．如图某桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．    (1)按如图所示的坐标系，求该桥拱的函数表达式； (2)要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？ (3)如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．现将新函数图象向右平移（）个单位长度，使得平移后的函数图象在之间，且随的增大而减小，请直接写出的取值范围． 【考法四、投球问题】 例．乒乓球是我国国球，球台长为，中间处球网的高度为．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如下表所示： 0 2 4 6 8 10 12 14 3.36 2.52 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 (1)直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围） (2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离； (3)发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少？ 变式1．【发现问题】 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表： 水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是______米，实心球在空中的最大高度是______米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． (4)若抛物线上有点，点，点C是第一象限内抛物线上的一个动点，使得，请求出C点坐标． 变式2．掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)若抛物线经过，两点，抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，求的值． 变式3．小静和小林玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，小林在距离地而的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，运动轨迹抛物线的一部分． (1)抛物线的最高点坐标为______； (2)求a，c的值； (3)小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 【课后练习】 1．某公司采用两种方式经营商品的销售业务， 方式一：将商品精包装后直接销售；方式二：将商品深加工得到商品后再销售． 已知商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量（吨）成正比，平均销售价格（万元/吨）与符合关系式，生产商品总费用（万元）包括每月固定环保费（万元）和每吨固定加工费（万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本） 商品 （吨） （万元） （万元） 2月 3 9 3 3月 10 30 10 (1)当时，求A商品的销售利润与x的函数关系式；并写出m、n的值； (2)4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 2．受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 3．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 4．将小球（看作一点）以速度竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度与时间的函数解析式为，若上升的初始速度，且当时，小球达到最大高度． (1)求小球上升的高度与时间的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度； (2)向上抛出小球时再让小球在水平方向上匀速运动，且速度为，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度与时间的函数关系式与（1）中的解析式相同．在如图所示的平面直角坐标系中，轴表示小球相对于抛出点的高度，轴表示小球距抛出点的水平距离． ①若，当时，小球的坐标为______，小球上升的最高点坐标为______； ②在①的条件下求小球上升的高度与小球距抛出点的水平距离之间的函数关系式； ③在小球的正前方的墙上有一高的小窗户，其上沿的坐标为，若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好击中点，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度的取值范围． 5．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动．到点B停止，点Q沿运动，到点C停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为． (1)填空： ； (2)当时，求x的值； (3)当时，求y与x之间的函数关系式； (4)直接写出在整个运动过程中，使的所有x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数实际应用的四种考法 【考法一、销售利润问题】 例．某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 20 22 24 销售量 32 28 24 (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围． 【答案】(1) (2)销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设，把，代入再计算即可； （2）设日销售利润为w元，结合单件利润乘以销售量等于总利润，再建立函数解析式求解即可； （3）结合单件利润乘以销售量等于总利润，得到，再根据在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加求解即可． 【详解】（1）解：设，由题意得， ， 解得：， ∴y与x的函数表达式为， 答：y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元，由题意得， ， ∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克， ∴， ∴当时，w有最大值338元， 答：当销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元； （3）解：由题意得， ∴对称轴为直线， ∴当时销售利润会随着售价的增加而增加， ∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克， ∴， ∵该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加， ∴当时销售利润会随着售价的增加而增加， 解得， ∵， ∴． 变式1．某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药品未来两年的销售进行预测，发现月销售量（吨）与（月）的函数关系式如下：． (1)根据图象求与的函数关系式； (2)预测月销量不低于15吨有______个月； (3)若该药品每吨的利润（万元）与（月）之间满足如下关系：预测药厂未来两年的月最大利润． 【答案】(1) (2)12 (3)在21个月的时候，月利润最大，为529万元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得所对应的的取值是解题的关键． （1）设时，，将、代入求解可得； （2）将将分别代入，进行求解即可； 分、和三种情况，根据月毛利润月销量每吨的毛利润可得函数解析式，当时，的值始终是240当时，，当时，当时，当时，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 将代入，得： ，得：， ； 当时，， 将、代入，得： ，得：， ； ； （2）将代入得：，解得：， 将代入得：，解得：， 预测月销量不低于15吨有（个月）， 故答案为：12； （3）设月利润为万元， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，的值始终是240， 当时，， 时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为448， 当时，， 当时，取得最大值529， 综上，在21个月的时候，毛利润最大，为529万元． 变式2．某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A产品的数据． 销售价格（单位：元/件） 25 30 32 38 销售件数（单位：件） 35 30 28 22 销售成本（单位：元） 210 180 168 132 (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？ (3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元/件时，一天可获得的利润为600元，求的值． 【答案】(1) (2)当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元 (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用．熟练掌握待定系数法求解析式，总利润与成本、售价和数量的关系，二次函数的性质，是解题的关键． （1）设，将代入，求解即可； （2）设，将代入，求得，得到，求得，即可求得w的最大值； （3）根据得出w关于x的二次函数，把代入，可解得a的值． 【详解】（1）解：∵y与x之间满足一次函数关系， ∴设其解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵销售A产品的成本q（单位：元）与销售件数y（单位：件）成正比例， ∴设其解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴ ， ∴当时， w最大，最大值为729． ∴当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元； （3）解：由题意得： ， 把代入， 得， 解得． 答：a的值是4． 变式3．某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件 (2)与之间的函数关系式为： (3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 【考法二、图形运动问题】 例．图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 【答案】(1)；；补全函数图象见解析 (2) (3) 平分 时 的值为 【分析】（1）根据当时，从点正好运动到点，即可求出运动速度，根据当时，，求出的长，然后用，即可算出的长，根据时，，补全图象即可； （2）分或两种情况下，使的面积为的值不小于的的取值范围，即可求出结果； （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知条件写出、、、的坐标，根据点为的中点，写出点的坐标，求出用表示的的函数关系式，把点的坐标代入，解关于的方程即可得出的值． 【详解】（1）解：图是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， 点运动的速度， 当时，， 即， ， ， ； 当时，， 当时，从运动到点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：；；补全图象见解析． （2）当时，，， ，即， 整理得， 解得：， ， ； 当时，， ，即， 解得：， ； 综上分析可知，当时，的面积为的值不小于． （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则点坐标为，点坐标为，点的坐标为，点坐标为， 平分， 点为的中点， 点的坐标为：， 设直线的解析式为，把、两点的坐标代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，（舍去）， 即平分时的值是． 【点睛】本题主要考查了动点问题，一次函数关系式，二次函数关系式，解不等式，以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，用函数的思想解决问题（3），是解题的关键． 变式1．综合与实践 如图1，是以为斜边的等腰直角三角形，四边形是矩形，点，，，在同一条直线上，，将沿射线向左平移，得到，点，，的对应点分别为点，，．平移的速度为1个单位长度/秒． 设平移的时间为秒，与矩形重叠部分的面积为． 特例感知 当时，的值恰好变为0． （1）的长为______________． 规律探究 （2）①求出与之间的函数解析式，并直接写出的取值范围； ②在如图2所示的平面直角坐标系中，画出①中所求得函数（含自变量取值范围）的图象． 数学思考 （3）请直接写出满足的所有的值． 【答案】（1）4；（2）①；②见解析；（3）的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据题意得到，进一步计算即可求解； （2）①分四种情况讨论，画出图形，利用三角形或梯形面积公式列式即可求解； ②画出函数图象即可； （3）分和两种情况讨论，根据，分别列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵当时，的值恰好变为0， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； （2）①当时，； 当时，如图，设交于点， 由题意得， ∴； 当时，如图， ； 当时，如图，设交于点， 由题意得，， ∴； 综上，； ②画出二次函数图象如图， （3）∵， 当时，， 整理得， 解得或（舍去）； 当时，， 整理得， 解得或（舍去）； 综上，的值为或． 变式2．已知，如图，在菱形中，，，点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动，点N从点C出发，沿方向，以每秒2个单位的速度向A运动，若M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动，运动时间为t，过点N作交于点Q． (1)当，求的长； (2)设三角形的面积为S，求S与t的函数关系和t的取值范围； (3)在点M，N运动过程中，是否存在t，使三角形为等腰三角形？若存在求出t的值；若不存在说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当或或时，为等腰三角形 【分析】（1）首先求得的长，在直角中利用三角函数即可求得的长； （2）当时，在上，首先求得，则长即可求得，再根据，据此即可求得的长；当时，利用解直角三角形求得的长，进而求得的面积，得到函数解析式； （3）分三种情形讨论求解即可； 【详解】（1）解：当时，， ∵在中，， ∴， 在直角中，， ∴当时，； （2）解：由题意得，， 当时，， ∵， ∴， 连接，与相交于点定，过点作于点， ，则， ∴在中，， ∴， ∴， 当时，延长，交于，交延长线于，如图： 则， ， ， ， ， ， 综上，． （3）解：①当时，只有符合条件， 过点作于点， 则， ， 得， 解得． ②当时， 由（2）知， 时，， 解得， 时，， ， 解得：． 综上所述，当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数，等腰三角形的性质等知识点，正确进行分请情况进行讨论是关键． 变式3．如1图所示，已知是等边三角形，，正方形在的左侧，，，三点在同一条直线上，射线经过点B． (1)求的长度； (2)将正方形沿所在直线向右平移，得到正方形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设． ①如2图所示，与线段相交于点F，当时，求t的值； ②在平移过程中，正方形与重叠部分的面积记为S．当时，试用含有t的式子表示S． 【答案】(1) (2)①；②当时， ，当时，．当时，． 【分析】本题考查了正方形的性质、平移的性质、等边三角形、直角三角形的性质、运动图形的函数问题等，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． （1）过点B作，垂足为H，解三角形求出，进而，由此求解； （2）①当时，求出，再利用三角函数求解即可； ②画出不同情况下重叠部分的图形，分和和三种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数， 【详解】（1）解：如图，过点B作，垂足为H． ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴． ∵在正方形中，，， ∴四边形是矩形， ∴． （2）①当时，是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即 ②当时，如图，在O点左边，在点右边， 此时：， ∵， ∵， ∵ ∴． ∴， 当时，如图，在O点右边，在点右边， 此时：， ∵， ∵， ∵，∴， 整理后得到：． 当时，如图，在H点左边，在点右边， 此时：，∵ ∵，∴， 整理后得到：． 综上所述：当时， ，当时，．当时，． 【考法三、拱桥问题】 例．如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点B到水面的距离是4米． (1)求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？ (3)如图2，桥拱所在的抛物线在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)4.8米 (3) 【分析】（1）由图象可知抛物线的对称轴为直线，抛物线经过原点，将原点坐标代入函数解析式即可求得的值； （2）根据题意求出时，所对应的之间的距离，也就是小船的最大宽度； （3）根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，根据图象性质，得到函数在上，满足随的增大而减小，列出不等式组或，求解集即可． 【详解】（1），且点在轴上， ， 根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线， 顶点， ∴设抛物线的解析式为， 把原点代入得， 解得， ∴此二次函数的表达式． （2）二次函数的表达式， 令得： ， 解得：，， 小船的最大宽度为：米． （3）根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，如图： 根据图象性质，得到当或时随的增大而减小， 或， 解得或（舍去）， 故的取值范围是． 变式1．大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为米，且点离地面的高度为米． 数学建模 (1)在图中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式； 问题解决 (2)为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，于点．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为米． 点的坐标为______，的长为______； 请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到米．参考数据：） 【答案】(1)； (2)，；②米 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为，设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法即可求解； （）当时，，解得：即可求出，再用两点之间的距离公式求出； ②过点作于点，过点作于点，交于点，求出所在直线的函数表达式，设点的横坐标为，则，当时，最大，再根据，得出，最后根据线段和差即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点的坐标为， 设与之间的函数关系式为， 由题意得，点的坐标为， 将代入， 得， 解得：， ， 即与之间的函数关系式为， （2）解：由（）得， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； ②过点作于点，过点作于点，交于点， 设所在直线的函数表达式为， 将分别代入， 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为， 设点的横坐标为， 点在拋物线的图象上， ，， ， ，且， 有最大值，当时，最大， 轴， ， 又，，， ， ， 当时，有最大值， 当时，有最大值， 此时，米． ∴需要铝合金材料的最大长度约为米． 变式2．如图①，是一间学校体育场的遮阳蓬截面图，某校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳蓬截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与横梁相互垂直，且，． (1)建立如图②平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)若为了使遮阳蓬更加牢固，在遮阳蓬内部设计了一个矩形框架（如图②所示），且，求的长； (3)根据（1）中求解得到的函数表达式，若当时，函数的最大值与最小值的差为1，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或2． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数的最值，矩形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）由，，得到，，，设抛物线的函数表达式为，把代入得，于是得到抛物线的函数表达式为； （2）设，，得到，把代入求得； （3），对称轴为直线，当时，随着的增大而增大，当，当时，随着的增大而减小，当，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ，，， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：四边形是矩形， ， ， 设，， ， 把代入得， 解得（负值舍去）， ； （3）解：，对称轴为直线， 当时，随着的增大而增大， 当， 当时，随着的增大而增大， 函数的最大值，函数最小值， 函数的最大值与最小值的差为1， ， ； 当时，随着的增大而减小， 当， 当时，随着的增大而减小， 函数的最小值，函数最小值， 函数的最大值与最小值的差为1， ， ， 综上所述，的值为或2． 变式3．如图某桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．    (1)按如图所示的坐标系，求该桥拱的函数表达式； (2)要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？ (3)如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．现将新函数图象向右平移（）个单位长度，使得平移后的函数图象在之间，且随的增大而减小，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)小船的最大宽度为米 (3)或 【分析】（1）先求出顶点的坐标，再根据待定系数法求解即可得解； （2）二次函数的表达式中，令得，求解该方程即可得解； （3）根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，从而得或上，满足随的增大而减小，解不等式组即可得解． 【详解】（1）解：∵，且点在轴上， ∴， 根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线， ∴点， 设抛物线的解析式为，把原点代入得 ， 解得， ∴此二次函数的表达式． （2）解：∵二次函数的表达式， ∴令得： ， 解得：，， ∴小船的最大宽度为：米． （3）解：根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，根据图像性质，得到函数在或上，满足随的增大而减小， ∴或， 解得或， 故的取值范围是或．    【点睛】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，解不等式组，抛物线的应用，熟练掌握抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键． 【考法四、投球问题】 例．乒乓球是我国国球，球台长为，中间处球网的高度为．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如下表所示： 0 2 4 6 8 10 12 14 3.36 2.52 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 (1)直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围） (2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离； (3)发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少？ 【答案】(1) (2)乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为； (3)发球口最多向右平移． 【分析】本题考查二次函数的应用．理解发球口最多平移的距离是球台的一半长减去刚好擦网时得到的距离发球器出口的水平距离是解决本题的难点． （1）易得球从发球器出口到第一次接触台面时关于的函数为一次函数，设，把表格中的前两组数据代入可得和的值，观察表格中的数据可得一次函数自变量的取值在0和8之间； （2）观察表格中的数据和所给函数图象可得当时，函数图象为二次函数，设二次函数的表达式为一般式，把表格中的从8开始的三组数据代入可得二次函数的解析式；取，求得相应的的值，取较大的值即为乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离； （3）取，代入抛物线解析式，求得对应的的值；易得球台长，那么球台的一半长，取球台的一半长减去较小的的值，即为平移的距离；比较平移的距离和未移动前球台剩余的长度可得最多平移的距离． 【详解】（1）解：球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线， 设． 经过点，． ． 球从发球器出口到第一次接触台面时关于的函数解析式为：； （2）解：当时，设抛物线的解析式为：． ． 解得：． ． 当时，． 整理得：． ． 解得：，（舍去）． 答：乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为； （3）解：． 球台的一半长． 当时， ． 整理得：． 解得：（舍去），． ． ，， 发球口最多向右平移． 变式1．【发现问题】 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表： 水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是______米，实心球在空中的最大高度是______米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． (4)若抛物线上有点，点，点C是第一象限内抛物线上的一个动点，使得，请求出C点坐标． 【答案】(1)2，3.6 (2) (3)明明在此次考试中能得到满分，见解析 (4)点C的坐标为 【分析】（1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果； （4）过点B作，过点E作轴交y轴于点D，过点B作交延长线于点F，证明出，得到，设，表示出，，，，然后代入求出，然后求出，所在直线表达式为，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是3.6米， 故答案为：2，3.6； （2）解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴明明在此次考试中能得到满分． （4）如图所示， 过点B作，过点E作轴交y轴于点D，过点B作交延长线于点F， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ∵，点 ∴，，， ∴ 解得 ∴ 设，所在直线表达式为 ∴ ∴解得 ∴，所在直线表达式为 ∴联立和抛物线得， 整理得， 解得（舍去）或 ∴将代入 ∴点C的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题． 变式2．掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)若抛物线经过，两点，抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2)米，分 (3)或 【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把的坐标代入可得二次函数的比例系数，于是可求出二次函数的解析式； （2）取函数值为，看球落地时的值为多少，根据点的位置，取正值即为球抛出去的距离，根据所给表格可判断应得分数； （3）根据题意得出，，进而根据的范围，分四种情况讨论，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的顶点的坐标为， 设该抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ， ， 该抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， 解得：，， 点在轴的正半轴， 舍去， ，即小强在这次训练中的成绩为米， ， 小强的得分是分； （3）解：抛物线经过两点，， ， ， 由题意可知，图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为， 有以下四种情况： 如图，当时，的值随的值的增大而增大， 依题意，， 即：， 解得：， 这与相矛盾，故舍去； 如图，当时，， 即：， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，， 即：， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，的值随的值的增大而减小， 依题意，， 即：， 解得：， 这与相矛盾，故舍去； 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用——投球问题，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，二次函数的图象与性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及分类讨论思想是解题的关键． 变式3．小静和小林玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，小林在距离地而的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，运动轨迹抛物线的一部分． (1)抛物线的最高点坐标为______； (2)求a，c的值； (3)小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 【答案】(1) (2)， (3)4或5 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）依据题意，由抛物线可得最高点坐标，进而可以得解； （2）依据题意，可得，将代入抛物线，从而得解析式，再令，可得的值； （3）依据题意，根据点的取值范围代入解析式可求解． 【详解】（1）由题意，抛物线， 抛物线 的最高点坐标为的． 故答案为：． （2）由题得，． 将代入抛物线， ． 抛物线． 当时，． （3）小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， 此时，点的坐标范围是，，， 当经过时，， 解得：． 当经过时，， 解得：， ， 为整数， 符合条件的的整数值为4和5． 故答案为：4或5 【课后练习】 1．某公司采用两种方式经营商品的销售业务， 方式一：将商品精包装后直接销售； 方式二：将商品深加工得到商品后再销售． 已知商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量（吨）成正比，平均销售价格（万元/吨）与符合关系式，生产商品总费用（万元）包括每月固定环保费（万元）和每吨固定加工费（万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本） 商品 （吨） （万元） （万元） 2月 3 9 3 3月 10 30 10 (1)当时，求A商品的销售利润与x的函数关系式；并写出m、n的值； (2)4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；，； (2)该公司能获得30万元销售利润，此时吨． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找到销售、两种商品所获得的总利润的相等关系，并据此列出函数解析式． （1）由商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量吨成正比可设，，将表格中数据代入计算求得、即可得出，，利用总利润销售额基础成本价精包装总费用即可得；根据“商品总利润销售收入基础成本费用月固定环保费固定加工总费用”得，利用表格得出关于、的方程组，解之可得； （2）由当时和当时分别求解可得． 【详解】（1）解：设，， 由表格知：当时，，， ，， 解得：，， ，， 当时，， ． 当时，． 当时，， ， ． 2月份：， 总利润， ①； 3月份：， 总利润， ②． 联立①②得， 解得 ，； （2）解：4月份，当时，． 当时， 解得，，均不合题意； 当时，． 当时，解得， 该公司能获得30万元销售利润，此时吨． 2．受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 【答案】(1)， (2)①；②第周或第周销售额最大，最大销售额是元 (3) 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的实际应用以及一元二次方程的应用， （1）利用待定系数法即可求解； （2）①利用待定系数法即可求解； ②分和两种情况讨论，利用销售额=销售量销售价格，再运用二次函数的性质求解即可； （3）由题意列一元二次方程计算出的值，再利用估算法即可求解． 【详解】（1）把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：，； （2）①设函数关系式为： 把，代入得：， 解得：， 与的函数表达式为：； ②当时， ，， ， ， 是正整数， 当或时，有最大值； 当时，，， 当时，，， ， 是正整数，， 当时，有最大值； 综上所得：第周或第周销售额最大，最大销售额是元； （3）由题意得： ， 解得：或(舍去)， ∵， ∴． 3．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 【答案】(1) (2)点E与隧道左壁之间的距离为米． 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线解析式，矩形的性质、坐标与图形等知识点等知识，掌握待定系数法和表示出点E的解析式是解题的关键． （1）先根据坐标系确定点的坐标，然后用待定系数法即可解答； （2）先根据题意确定点E的纵坐标，然后代入解析式求得点E的横坐标即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：， 设抛物线的解析式为：， 则有：，解得：， ∴． （2）解：∵平行线段与之间的距离为8米，矩形且， ∴点E到x轴的距离为9且在第一象限， ∴点E的纵坐标为， ∴，解得：或（舍去）． ∴点E与隧道左壁之间的距离为米． 4．将小球（看作一点）以速度竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度与时间的函数解析式为，若上升的初始速度，且当时，小球达到最大高度． (1)求小球上升的高度与时间的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度； (2)向上抛出小球时再让小球在水平方向上匀速运动，且速度为，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度与时间的函数关系式与（1）中的解析式相同．在如图所示的平面直角坐标系中，轴表示小球相对于抛出点的高度，轴表示小球距抛出点的水平距离． ①若，当时，小球的坐标为______，小球上升的最高点坐标为______； ②在①的条件下求小球上升的高度与小球距抛出点的水平距离之间的函数关系式； ③在小球的正前方的墙上有一高的小窗户，其上沿的坐标为，若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好击中点，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度的取值范围． 【答案】(1)，小球能够上升的最大高度为米 (2)①，②③或 【分析】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，读懂题意，理解小球的水平距离和竖直距离是解题关键． （1）将，代入解析式，再根据当时，小球达到最大高度，得到对称轴为直线，根据对称轴公式求出的值，求出抛物线的解析式，将代入，求出上升的最大高度即可； （2）①把代入（1）中解析式，求出小球的纵坐标，用求出小球的横坐标，进而得到小球的坐标，根据，小球上升的高度最高，求出此时的水平距离即为小球的横坐标，即可； ②根据水平距离等于，即：，得到代入（1）中的解析式即可得出关于的解析式； ③分别求出小球击中点和点的时间，进而求出对应的的值，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， ∵当时，小球达到最大高度， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴小球能够上升的最大高度为米； （2）①∵， ∴当时，， ∴小球的纵坐标为3， ∵小球的运动的水平距离为：m， ∴小球的横坐标为2， ∴小球的坐标为； 由（1）知当时，小球到达最高高度为4m， ∴此时小球的水平距离为m， ∴此时小球的坐标为，即最高点的坐标为； 故答案为：，； ②∵水平距离， ∴， ∵，把代入，得：； ∴； ③∵，上沿的坐标为， ∴， 当小球刚好击中点即：时，， 解得：或， 当时，； 当时，； 当小球刚好击中点即：时，， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴或． 5．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动．到点B停止，点Q沿运动，到点C停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为． (1)填空： ； (2)当时，求x的值； (3)当时，求y与x之间的函数关系式； (4)直接写出在整个运动过程中，使的所有x的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或4或 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理求解即可得； （2）先确定当时，点在上，点在上，再证出，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先确定当时，点在上，点在上，再过点作于点，然后证出，根据相似三角形的性质可得，利用三角形的面积公式求解即可得； （4）分①当点在上，点在上，即时，过点作于点；②点与点重合时；③当点运动到停止运动，点运动到中点时，利用相似三角形的性质和矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，动点分别从点同时出发，运动速度均为， ∴如图，当时，点在上，点在上， ∴，， ∴，即， ∴， 解得． （3）解：由题意可知，点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为；点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为， 则当时，点在上，点在上， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 又∵， ∴的面积为， 所以当时，与之间的函数关系式为． （4）解：由题意可知，点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为；点从点运动到点所需时间为，从点运动到点所需时间为， 则分以下三种情况： ①如图，当点在上，点在上，即时，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得，符合题设； ②如图，点与点重合时， ∴，， ∵， ∴； ③如图，当点运动到停止运动，点运动到中点时，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴此时， 综上，的值为或4或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的几何应用等知识，较难的是题（4），正确分类讨论是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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