精品解析：河南省郑州市郑州中学初中部2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

郑州中学初中部2024−2025学年上期期中综合调研 九年级 数学学科 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割 2. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 5. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是某次小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：与交于点，，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线经过正方形的中心，分别与和相交于点和点，并与的延长线相交于点若，，则的长为(　　) A. 1 B. C. D. 2 10. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ） A. 呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B. 当K＝0时，的阻值为100 C. 当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D. 当时，该驾驶员为醉驾状态 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 12. 如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是_____（仅填序号）． 13. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________． 14. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成作菱形，使点，，分别在边，，上，过点作于点． 当，，时，的长为_____________． 15. 如图，四边形ABCD为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，，则的最小值为______． 三、解答题（共75分） 16. （1）一木杆按如图①所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段CD表示）． （2）如图②是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点P表示），并在图中画出蜡烛在此光源下的影子（用线段EF表示）． 17. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 19. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，求这棵树的高度的长 ？ 20. 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的对联面积为，求边的宽和天头长． 21. 如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． （1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到；所以．我们还可以得到________，________； （2）进一步观察，我们还会发现四边形是平行四边形，请证明这一结论； （3）已知，，若恰好经过原矩形边的中点，求与之间的距离． 22. 在实验课上，小明做了一个试验，如图1，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘B与点C的距离x（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘B与点C的距离x（） 30 25 20 15 10 容器与水的总质量（g） 10 12 15 20 30 加入的水的质量（g） 5 7 10 15 25 把上表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图2所示的关于x的函数图象． （1）请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据． ①猜测与x之间的函数关系，并求关于x的函数表达式； ②求关于x的函数表达式． （3）如图1若在容器中加入的水的质量（g）满足．求托盘B与点C的距离x（）的取值范围． 23. 如图①，在等腰△ABC中，CA＝CB＝10，AB=12．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上． 小明的做法：如图②，在边AC上取一点D，过点D作DGAB交BC于点G；以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E； 在EB上截取EF=ED,连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形． 请你在（1）、（2）中任选一问进行解答，（3）为必答题． （1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形； （2）当四边形DEFG是正方形时，求DG和CD的长； （3）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州中学初中部2024−2025学年上期期中综合调研 九年级 数学学科 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义即可求解． 【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割． 故选：D 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键． 2. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，, ∴k=xy<0， A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 4. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 5. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 7. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是某次小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：与交于点，，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， 点到的距离为，点到的距离为， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 8. 如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根据菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，无法得到是菱形，故本选项符合题意； 故选：D 9. 如图，直线经过正方形的中心，分别与和相交于点和点，并与的延长线相交于点若，，则的长为(　　) A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；根据正方形的性质，结合三角形全等，得到，证明，得到，从而得到结果． 【详解】解：连接， 是正方形的中心， 在上，且，, , ，， ， 在和中， ， ， 四边形是正方形对边平行，则， ， ， 解得：， 故选：D． 10. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ） A. 呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B. 当K＝0时，的阻值为100 C. 当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D. 当时，该驾驶员为醉驾状态 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象分析即可判断A，B，根据图3公式计算即可判定C，D． 【详解】解：根据函数图象可得， A.随的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大，的阻值越小，故正确，不符合题意； B. 当K＝0时，的阻值为100，故正确，不符合题意； C. 当K＝10时，则，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意； D. 当时，，则，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意； 故选:C. 【点睛】本题考查了函数图像，根据函数图像获取信息是解题的关键． 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 12. 如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是_____（仅填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件，则证明过程如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形； 故答案为：③． 13. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】用树状图把所有情况列出来，即可求出． 【详解】 总共有12种组合， 《论语》和《大学》的概率， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式． 14. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成作菱形，使点，，分别在边，，上，过点作于点． 当，，时，的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，勾股定理，根据菱形性质和解直角三角形求出，，继而求出再根据，即可求． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，四边形ABCD为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的． ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题（共75分） 16. （1）一木杆按如图①所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段CD表示）． （2）如图②是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点P表示），并在图中画出蜡烛在此光源下的影子（用线段EF表示）． 【答案】（1）作图见解析，（2）作图见解析； 【解析】 【分析】（1）利用平行投影的性质：光线是平行光线，再作出图形即可． （2）利用中心投影的性质：光线交于一点，再作出图形即可． 【详解】解：（1）如图①中，线段CD即为所求． （2）如图②中，线段EF，点P即为所求． 【点睛】本题考查平行投影与中心投影的作图，理解平行投影与中心投影的含义是解本题的关键． 17. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后再利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种， 所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 19. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，求这棵树的高度的长 ？ 【答案】这棵树的高度的长为米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线的性质，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．过点作的水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作的水平线交于点，交于点，如图， ∵，， ∴， ∴四边形、是矩形，， ∴， ∵米，米，米，米， ∴米，米，米， ∴（米）， 根据题意得，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴米， 答：这棵树的高度的长为米． 20. 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的对联面积为，求边的宽和天头长． 【答案】边的宽为，天头的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，根据题意设天头长为，可用含的式子表示地头的长，边的宽，由此列方程求解即可，理解题目中的数量关系，掌握因式分解求一元二次方程的根的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设天头长为，则地头长为， ∴左右边的宽为：， ∴装裱后的长为：，宽为：， ∴， 整理得，， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴边的宽为，天头的长为． 21. 如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． （1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到；所以．我们还可以得到________，________； （2）进一步观察，我们还会发现四边形是平行四边形，请证明这一结论； （3）已知，，若恰好经过原矩形边的中点，求与之间的距离． 【答案】（1） （2）见解析； （3）与之间的距离为 【解析】 【分析】（1）由推动矩形框时，矩形的各边的长度没有改变，可求解； （2）证明，即可证明四边形是平行四边形，可得结论； （3）由勾股定理可求的长，再证明，得到，代入数值求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵ 把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． ∴由旋转的性质可知矩形的各边的长度没有改变， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图，过点E作于点G， ∵，点H是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与之间的距离为． 【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22. 在实验课上，小明做了一个试验，如图1，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘B与点C的距离x（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘B与点C的距离x（） 30 25 20 15 10 容器与水的总质量（g） 10 12 15 20 30 加入的水的质量（g） 5 7 10 15 25 把上表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图2所示的关于x的函数图象． （1）请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据． ①猜测与x之间的函数关系，并求关于x的函数表达式； ②求关于x的函数表达式． （3）如图1若在容器中加入的水的质量（g）满足．求托盘B与点C的距离x（）的取值范围． 【答案】（1）图见解析 （2）①；② （3）． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用： （1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可； （2）①观察图象可知，函数可能是反比例函数，设，把，的坐标代入，得，再检验其余各个点是否满足即可；②根据可能与成反比例，设，即可得解． （3）利用反比例函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：函数图象如图所示， 【小问2详解】 解：①观察图象可知，可能是的反比例函数，设， 把的坐标代入，得， 经检验，其余各个点坐标均满足， ∴关于的函数表达式； ②观察表格以及①可知，设， 把的坐标代入，得， 经检验，其余各个点坐标均满足， ∴关于的函数表达式； 【小问3详解】 解：当时，解得， 当时，解得， ∴托盘与点的距离（）的取值范围． 23. 如图①，在等腰△ABC中，CA＝CB＝10，AB=12．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上． 小明的做法：如图②，在边AC上取一点D，过点D作DGAB交BC于点G；以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E； 在EB上截取EF=ED,连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形． 请你在（1）、（2）中任选一问进行解答，（3）为必答题． （1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形； （2）当四边形DEFG是正方形时，求DG和CD的长； （3）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围． 【答案】（1）详见解析 （2），CD=4 （3）当0≤CD＜4或< CD≤10 时，菱形个数为0，当CD=4时，菱形个数为1，当 时，菱形个数为2． 【解析】 【分析】（1） 根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）作CH⊥AB， 交AB于H, 交DG于K，设正方形边长为x，证明△CDG～△CAB相似三角形的性质列出比例式，代入数据计算即可求解； （3）求出几种特殊位置的CD的值判断即可. 【小问1详解】 证明：∵DE＝DG，EF＝DE， ∴DG＝EF， ∵DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∵DG＝DE， ∴四边形DEFG是菱形． 【小问2详解】 作CH⊥AB， 交AB于H, 交DG于K 又∵CA=CB ∴H是AB中点 可得CH=8 设正方形边长为x ∵DG∥EF ∴△CDG～△CAB ∵CK⊥DG, CH⊥AB 得，CD=4 【小问3详解】 如图，当四边形DEFG是正方形时， 由（2）可知 观察图象可知：0≤CD时，菱形的个数为0．当CD=4时，菱形个数为1 CA＝CB＝10，AB=12． 如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m． ∵DG∥AB， ∴， ∴， 解得m， ∴CD＝10， 观察图形可知： 当0≤CD＜4或< CD≤10 时，菱形个数为0，当CD=4时，菱形个数为1，当 时，菱形个数为2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $