2.2 一元二次方程的解法第二课时课件 2024-2025学年浙教版数学八年级下册

一元二次方程的解法（第二课时） 年 级：八年级 学 科：初中数学（浙教版） 情境引入，探究新知 如图，工人师傅为了修屋顶，把一架梯子搁在墙上.已知梯子长AB=5米，墙高AC是梯子底端点离墙的距离BC的2倍，求墙高AC. 解：设BC为x米，则AC为2x米. 根据勾股定理得： x2+(2x)2=52 化简得：x2-5=0 因式分解得：(x-)(x+)=0 解得：x1=，x2=- 验根： ②是否符合题意. ①是否符合方程； (不符合题意，舍去). 答：墙高AC为2米. 思考：请用上节课学过的因式分解法解解这个方程. 思考：还有其他方法解这个方程吗？ x2+(2x)2=52 化简得：x2=5 一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义,可得 x1=, x2=.这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. x1=，x2=-. 探究新知，形成概念 开平方 步骤：先将一元二次方程转化为x2=a或(x+a)2 =b，再开平方求解. 整体思想 思考：当a＜0时，方程有解吗？ 无解，因为负数没有平方根. 例4 用开平方法解下列方程: (1) 3x248=0. (2)(2x3)2=7. 例题演练，应用新知 解：(1)移项得：3x2=48， (2)由原方程得： 系数化1得：x2=16， 解得：x1=-4,x2=4. 2x-3=，或2x-3=-， 解得：x1=， x2= . 思考：对比方程x2 =a(a≥0)，我们应对这两个方程做哪些处理？ 一移：二次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边. 二化：二次项系数化为1. 三开方：开平方求解. 温馨提示：学习时可暂停视频独立思考！ 52 52 拓展探究，形成概念 解方程x2-10x=-16. 解：移项得：x2-10x+16=0， (x+a)2=b（b≥0） 思考： 我们已经学过了哪些方法解一元二次方程？ 因式分解法 开平方法 你能尝试用这两种方法求解吗？ 因式分解得：(x-2)(x-8)=0， 则x-2=0，或x-8=0， 解得：x1=2，x2=8. 变形为 （x-5)2=9 则x-5=3，或x-5=-3. 解得：x1=8，x2=2. 这个数字5的2倍等于什么？它和一次项系数有关系吗？ 配方 开方 像上面这样，把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法. x2-2×5x+ =-16+ . 填空：(1)x2+8x+ =(x+4)2. (2)x2-3x+ =(x-)2. (3)x2-12x+ =(x- )2. (4)x2+bx+ =(x+ )2. 42 ()2 62 6 ()2 观察总结：在二次项系数为1时，等式左边所添的常数项与一次项系数存在什么关系？ 所添的常数项是一次项系数一半的平方 拓展探究，形成概念 例5 用配方法解下列方程： (1)x2+6x=1. (2)x2+5x-6=0. 解：(1)方程的两边同加上9，得 x2+6x+9=1+9，即(x+3)2=10. 则x+3=，或x+3=-， 解得：x1=-3+，x2=-3-. (2)移项，得x2+5x=6. 方程的两边同加上，得 x2+5x+=6+， 即(x+)2=. 则x+=，或x+， 解得：x1=1，x2=-6. 例题演练，应用新知 配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的基本步骤： 1.移项：将常数项移到等号的右边，含未知数的项移 到等号的左边； 2.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 3.开方：根据平方根的定义，对方程进行开平方求解. 例题小结，归纳方法 深化拓展，感悟新知 1.用配方法解下列方程： (1)x2+12x=-9. (2)-x2+4x-3=0. 解：x2+12x+36=-9+36 (x+6)2=27 x+6=3，或x+6=-3. 解得：x1=-6+3，x2=-6-3. 解：方程的两边同乘以-1，得 x2-4x+3=0 x2-4x=-3 x2-4x+4=-3+4 (x-2)2=1 x-2=1，或x-2=-1. 解得：x1=3，x2=1. 二次项系数化1 深化拓展，感悟新知 2.先用配方法解下列方程： ①x2-2x-1=0；②x2-2x+4=0；③x2-2x+1=0. 然后回答下列问题： （1）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？ （2）对于形如x2+px+q=0这样的方程，在什么条件下才有实数根？ 解：①x1=1+，x2=1-；②没有实数根；③x1=x2=1. （1）在解方程②时，配方后方程的右边出现负数，这与平方的定义相矛盾，此时可以判定原方程没有实数解. （2）对于x2+px+q=0，经过配方得(x+)2=-q.要使方程有实数根，必须使p2-4q≥0. 研究思路 研究内容 研究方法 解一元二次方程 情境引入 应用探究 方法探究 解一元二次方程 配方法的一般步骤 因式分解法 一移二配三开方 课堂小结，梳理新知 开平方法 配方法 转化 如何求解二次项系数不为1或更为复杂的一元二次方程？ 课后演练，巩固新知 1.选择恰当的方法解下列方程： （1）7x2-56=0. （2）2(x-7)2=14. （3）x2-6x=-8. （4）-x2+5x+6=0. 2.一个长方形牧场的面积为8100平方米，长比宽多19米.这个牧场的周长是多少米？ 3.尝试构造一个只能用配方法求解的一元二次方程. x1=-2，x2=2. x1=7+，x2=7-. x1=2，x2=4. x1=-1，x2=6. 解：设牧场的宽为x米，则长为（x+19）米. 由题意，得x(x+19)=8100， 解得x1=81，x2=-100（不合题意，舍去）. 所以牧场的长为100米，周长为2×(100+81)=362(米). 答：牧场的周长为362米. x2-4x+2=0.（答案不唯一，回答符合要求即可.） $$