第二十八章 锐角三角函数 课时作业 2024-2025学年 人教版数学九年级下册

第二十八章 锐角三角函数 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项. 1.cos 45°的值等于（ ） A. B. C. D.2 2.在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角的三角函数值（ ） A.都扩大为原来的2倍 B.都缩小为原来的一半 C.都没有变化 D.不能确定 3.如图，△ABC在6×5的网格（小正方形的边长均为1）中，则cos∠ABC的值是（ ） 第3题图 A. B. C. D. 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，AB＝5，则sin B等于（ ） A. B. C. D. 5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝5，则AB的长为（ ） A.5sin A B.5cos A C. D. 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B的值为（ ） A. B. C. D. 7.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且｜tan B－｜＋（2sin A－）2＝0，则△ABC是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝，AC＝3，则sin∠ACD＝（ ） 第8题图 A. B. C. D. 9.一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为（ ） A.700米 B.10米 C.2米 D.4米 10.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.我们已经知道30°，45°，60°角的三角函数值，现在来求tan 22.5°的值：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.设AC＝1，则BC＝1，AB＝BD＝，所以tan 22.5°＝＝＝＝－1.类比这种方法，计算tan 15°的值为（ ） 第10题图 A.－ B.2－ C.＋ D.－2 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.计算：sin 30°＝ . 12.已知∠A为锐角，cos A＝，则∠A的度数是 . 13.如图，点P是∠α的边OA上的一点，点P的坐标为（12，5），则tan α＝ . 第13题图 14.如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5 m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.1 m，则建筑物AB的高度约为 .（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19） 第14题图 15.已知△ABC中，AB＝8，∠ABC＝60°，AC＝7，则△ABC的面积是 . 16.已知函数y＝的图象如图所示，点P是y轴正半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA，OB.若∠AOB＝90°，则cos A＝ . 第16题图 三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（6分）计算：2sin 45°＋4cos2 30°－tan2 60°. 18.（6分）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形. 19.（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sin C的值. 20.（8分）如图，点A（3，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为∠1，tan∠1＝，求m的值. 21.（10分）如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线. （1）求AC的长； （2）求tan∠FBD的值. 22.（10分）郇家庄白塔，位于甘肃省徽县粟川乡，是我国历史时期的重要文物.学完三角函数知识后，同学们决定用自己学到的知识测量郇家庄白塔的高度.如图，AF是高为1米的测角仪，DC是郇家庄白塔的高度，在A处测得塔顶端D的仰角（即∠DAE）为66°，向塔方向前进9.18米在B处测得塔顶端D的仰角（即∠DBE）为84°39'，求郇家庄白塔DC的高度.（精确到1米，参考数据：sin 84°39'≈0.996，cos 84°39'≈0.09，tan 84°39'≈10.67，sin 66°≈0.91，cos 66°≈0.41，tan 66°≈2.25） 四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 23.（8分）如图，某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝5米，斜坡AD＝12米，坝高6米，斜坡BC的坡度i＝1∶3，求斜坡AD的坡角和坝底宽AB的长. 24.（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1. （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值. 25.（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处. （1）B处距离灯塔P有多远？ （2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，且距离灯塔200海里.已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由. 26.（10分）阅读下列材料： 题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，请用sin A，cos A表示sin 2A. 解：如图2，作AB边上的中线CE，CD⊥AB于点D， 则CE＝AB＝，∠CED＝2∠A，CD＝AC·sin A， AC＝AB·cos A＝cos A. 在Rt△CED中， sin 2A＝sin∠CED＝＝＝2AC·sin A＝2cos A sin A. 根据以上阅读，请解决下列问题： （1）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sin A，sin 2A的值； （2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用sin A或cos A表示cos 2A. 27.（12分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表. 课题 古代典籍数学文化探究 工具 计算器、纸、笔等 示意图 说明 图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆.OM＝3米，AB是杠杆，且AB＝4.2米，OA∶OB＝2∶1.当点A位于最高点时，∠AOM＝127° 参考数据 sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75 计算 求点A位于最高点时到地面的距离（结果精确到0.1米） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项. 1.cos 45°的值等于（ B ） A. B. C. D.2 2.在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角的三角函数值（ C ） A.都扩大为原来的2倍 B.都缩小为原来的一半 C.都没有变化 D.不能确定 3.如图，△ABC在6×5的网格（小正方形的边长均为1）中，则cos∠ABC的值是（ D ） 第3题图 A. B. C. D. 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，AB＝5，则sin B等于（ C ） A. B. C. D. 5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝5，则AB的长为（ D ） A.5sin A B.5cos A C. D. 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B的值为（ D ） A. B. C. D. 7.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且｜tan B－｜＋（2sin A－）2＝0，则△ABC是（ B ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝，AC＝3，则sin∠ACD＝（ C ） 第8题图 A. B. C. D. 9.一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为（ B ） A.700米 B.10米 C.2米 D.4米 10.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.我们已经知道30°，45°，60°角的三角函数值，现在来求tan 22.5°的值：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.设AC＝1，则BC＝1，AB＝BD＝，所以tan 22.5°＝＝＝＝－1.类比这种方法，计算tan 15°的值为（ B ） 第10题图 A.－ B.2－ C.＋ D.－2 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.计算：sin 30°＝　　. 12.已知∠A为锐角，cos A＝，则∠A的度数是　60°　. 13.如图，点P是∠α的边OA上的一点，点P的坐标为（12，5），则tan α＝　　. 第13题图 14.如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5 m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.1 m，则建筑物AB的高度约为　7.1 m　.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19） 第14题图 15.已知△ABC中，AB＝8，∠ABC＝60°，AC＝7，则△ABC的面积是　10或6　. 16.已知函数y＝的图象如图所示，点P是y轴正半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA，OB.若∠AOB＝90°，则cos A＝　　. 第16题图 三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（6分）计算：2sin 45°＋4cos2 30°－tan2 60°. 解：原式＝2×＋4×－ ＝＋3－3 ＝. 18.（6分）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形. 解：∵∠C＝90°，a＝4，c＝8， ∴b＝＝＝4. ∵sin A＝＝＝，∴∠A＝30°. ∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°. 19.（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sin C的值. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. 在Rt△ABD中， tan∠BAD＝＝，且AD＝12， ∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×＝9. ∵BC＝14，∴CD＝BC－BD＝14－9＝5. ∴AC＝＝＝13.∴sin C＝＝. 20.（8分）如图，点A（3，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为∠1，tan∠1＝，求m的值. 解：如图，作AB⊥x轴于点B. ∵点A的坐标是（3，m），∴OB＝3，AB＝m. 又∵tan∠1＝＝，即＝，∴m＝2. 21.（10分）如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线. （1）求AC的长； 解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得 AC＝＝＝6，即AC的长为6. （2）求tan∠FBD的值. （2）如图，过点F作FE⊥BD于点E. ∵BF为AD边上的中线，∴F是AD中点. ∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC.∴FE是△ACD的中位线. ∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2. ∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝tan∠FBE＝＝＝. 22.（10分）郇家庄白塔，位于甘肃省徽县粟川乡，是我国历史时期的重要文物.学完三角函数知识后，同学们决定用自己学到的知识测量郇家庄白塔的高度.如图，AF是高为1米的测角仪，DC是郇家庄白塔的高度，在A处测得塔顶端D的仰角（即∠DAE）为66°，向塔方向前进9.18米在B处测得塔顶端D的仰角（即∠DBE）为84°39'，求郇家庄白塔DC的高度.（精确到1米，参考数据：sin 84°39'≈0.996，cos 84°39'≈0.09，tan 84°39'≈10.67，sin 66°≈0.91，cos 66°≈0.41，tan 66°≈2.25） 解：如图，延长AB与CD相交于E，则AE⊥CD于E. 则AF＝BG＝CE＝1米，AB＝FG＝9.18米， 在Rt△DBE中，tan∠DBE＝，设DE＝x米， ∴BE＝≈x米. 在Rt△ADE中，tan∠DAE＝，∴AE＝≈x米. ∴9.18＋x＝x，解得x≈26.2. ∴AB＝CE＋DE≈27（米）. 答：郇家庄白塔DC的高度约为27米. 四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 23.（8分）如图，某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝5米，斜坡AD＝12米，坝高6米，斜坡BC的坡度i＝1∶3，求斜坡AD的坡角和坝底宽AB的长. 解：如图，分别过点D，C作AB的垂线，垂足分别为E，F. 根据题意，知FE＝CD＝5米， CF＝DE＝6米， ∵sin A＝＝＝，∴∠A＝30°.∴斜坡AD的坡角为30°. ∴AE＝AD·cos 30°＝12×＝6（米）. ∵CF∶BF＝1∶3，∴BF＝3CF＝18（米）. ∴AB＝BF＋EF＋AE＝18＋5＋6＝（6＋23）米. 答：斜坡AD的坡角为30°，坝底宽AB的长为（6＋23）米. 24.（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1. （1）求BC的长； 解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8. ∵tan∠ACB＝1，∴CD＝AD＝6. ∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14. （2）求sin∠DAE的值. （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝BC＝×14＝7.∴DE＝CE－CD＝7－6＝1. ∵AD⊥BC，∴AE＝＝＝. ∴sin∠DAE＝＝＝. 25.（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处. （1）B处距离灯塔P有多远？ 解：（1）如图，过点P作PC⊥AB于点C. 在Rt△PAC中，∠PCA＝90°，∠CPA＝90°－45°＝45°，PA＝100海里， ∴PC＝PA·cos 45°＝100×＝50（海里）. 在Rt△PCB中，∠PCB＝90°，∠PBC＝30°， ∴PB＝2PC＝2×50＝100（海里）. 答：B处距离灯塔P有100海里. （2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，且距离灯塔200海里.已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由. （2）海轮到达B处没有触礁的危险.理由如下： 设圆形暗礁区域的圆心位置为点O，则OB＝OP－PB＝（200－100）海里，且100＜150， ∴200－100＞200－150＝50，即OB＞50海里. ∴海轮到达B处没有触礁的危险. 26.（10分）阅读下列材料： 题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，请用sin A，cos A表示sin 2A. 解：如图2，作AB边上的中线CE，CD⊥AB于点D， 则CE＝AB＝，∠CED＝2∠A，CD＝AC·sin A， AC＝AB·cos A＝cos A. 在Rt△CED中， sin 2A＝sin∠CED＝＝＝2AC·sin A＝2cos A sin A. 根据以上阅读，请解决下列问题： （1）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sin A，sin 2A的值； 解：（1）在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝1，∠C＝90°， ∴AC＝＝＝2. ∴sin A＝＝，cos A＝＝. ∴sin 2A＝2cos Asin A＝2××＝. （2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用sin A或cos A表示cos 2A. （2）如图2，在Rt△CED中，cos 2A＝cos∠CED＝＝＝2AC·cos A－1＝2cos2 A－1. 27.（12分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表. 课题 古代典籍数学文化探究 工具 计算器、纸、笔等 示意图 说明 图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆.OM＝3米，AB是杠杆，且AB＝4.2米，OA∶OB＝2∶1.当点A位于最高点时，∠AOM＝127° 参考数据 sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75 计算 求点A位于最高点时到地面的距离（结果精确到0.1米） 解：如图，过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点O作OC⊥AE，垂足为C. 根据题意，得OM＝CE＝3米，∠COM＝90°， ∵∠AOM＝127°，∴∠AOC＝∠AOM－∠COM＝127°－90°＝37°. ∵AB＝4.2米，OA∶OB＝2∶1，∴OA＝AB＝×4.2＝2.8（米）. 在Rt△AOC中，AC＝OA·sin 37°≈2.8×0.6＝1.68（米）， ∴AE＝AC＋CE＝1.68＋3≈4.7（米）. ∴点A位于最高点时到地面的距离约为4.7米. 学科网（北京）股份有限公司 $$