球的简单应用专题讲义-2025届高三数学一轮专题复习

球的简单应用 1．球面与球的概念 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球心． 2．球的截面性质 球心和截面圆心的连线垂直于截面； 球心到截面的距离与球半径及截面的半径的关系为． 3．球与多面体的接、切 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球． 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球． 1．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵正方体的体积为8， ∴正方体的边长为， ∴正方体的体对角线长为， ∴正方体的外接球的半径为， ∴球面的表面积为． 2．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设球的半径为，小圆的半径的，则 ，∴， ∴， ∴球的表面积． 3．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设球的半径为， ∵棱锥的高为4，底面边长为2 ∴，∴． ∴球的表面积为． 4．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】球心为两底面中心连线的中点， 由已知可得， ∴球的半径． ∴． 考点一 与球的截面有关的问题 【例1】已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，,， ∴，∴．设外接圆的半径为，则,∴． ∴，得．∴球的表面积为． 【方法技巧】解决球的截面有关的问题 （1）注意截面与球心的关系； （2）截面上有三点，往往需要求三角形外接圆的半径． 【变式】在球内有相距的两个平行截面,截面面积分别是和,球心不在截面之间,则球面的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意画轴截面图，如图， ，， ∴,． ∴,解得．∴． 考点二 球与几何体的相切问题 【例2】把四个半径都是的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离． 【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点， 则正四面体的高． 而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1， 且三个球心到桌面的距离都为1， 故第四个球的最高点与桌面的距离为． 【方法技巧】解决与球的相切问题，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决． 【变式】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意为直角三角形，， ∴内切圆半径， ∵，∴球半径的最大值为．∴． 考点三 球与几何体的外接问题 命题点1 柱体的外接球 【例3】在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球的表面积 . 【答案】 【解析】 ，故. 外接圆的半径， 外接球的的半径， ∴外接球的表面积． 【方法技巧】柱体的外接球的球心 （1）正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． （2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． （3）直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点 【变式】球面上四点、、、满足：、、 两两垂直，，，，则球的表面积等于______． 【答案】 【解析】、、两两垂直， ∴、、可看着是长方体的一个顶点出发的三条棱， ∴球的直径就是长方体的对角线，长为， ∴球的表面积． 命题点2 锥体的外接球 【例4】已知是球面上三点，且，，，球心到平面的距离等于该球半径的，则此球的表面积为（ ） A． B． 　 C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴． ∴的外心为的中点， ∴平面． ∵，∴, ∴，． 命题点2 锥体的外接球 【方法技巧】锥体的的外接球的球心 （1）正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到． （2）若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． （3）一般棱锥的外接球的球心是经过棱锥的底面多边形外接圆的圆心且垂直于这个平面的直线上． 【变式】已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，，则球的表面积为 ． 【答案】 【解析】记底面的外接圆的半径为, 则，∴记球的半径为， ∵平面， 则， ∴球的表面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 球的简单应用 1．球面与球的概念 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球心． 2．球的截面性质 球心和截面圆心的连线垂直于截面； 球心到截面的距离与球半径及截面的半径的关系为． 3．球与多面体的接、切 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球． 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球． 1．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　） A． B． C． D． 4．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 考点一 与球的截面有关的问题 【例1】已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【方法技巧】解决球的截面有关的问题 （1）注意截面与球心的关系； （2）截面上有三点，往往需要求三角形外接圆的半径． 【变式】在球内有相距的两个平行截面,截面面积分别是和,球心不在截面之间,则球面的面积是（ ） A． B． C． D． 考点二 球与几何体的相切问题 【例2】把四个半径都是的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离． 【方法技巧】解决与球的相切问题，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决． 【变式】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 考点三 球与几何体的外接问题 命题点1 柱体的外接球 【例3】在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球的表面积 . 【方法技巧】柱体的外接球的球心 （1）正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． （2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． （3）直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点 【变式】球面上四点、、、满足：、、 两两垂直，，，，则球的表面积等于______． 命题点2 锥体的外接球 【例4】已知是球面上三点，且，，，球心到平面的距离等于该球半径的，则此球的表面积为（ ） A． B． 　 C． D． 命题点2 锥体的外接球 【方法技巧】锥体的的外接球的球心 （1）正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到． （2）若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． （3）一般棱锥的外接球的球心是经过棱锥的底面多边形外接圆的圆心且垂直于这个平面的直线上． 【变式】已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，，则球的表面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$