19.8 第2课时 直角三角形的性质（含30度的直角三角形）(9大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

19.8 第2课时 直角三角形的性质（含30度的直角三角形） 知识点 直角三角形性质定理 （1） 直角三角形性质定理1 直角三角形的两个锐角互余 因为“三角形三个内角的和等于 180°”,直角三角形两个锐角的和为180-90°=90° （2） 直角三角形性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3） 直角三角形性质定理3（含 30°角的直角三角形的性质） 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 题型一、直角三角形的性质 解题技巧提炼 1.直角三角形性质定理1 直角三角形的两个锐角互余 2.直角三角形性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3.直角三角形性质定理3（含 30°角的直角三角形的性质） 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 1．下列结论不正确的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．在直角三角形中，斜边上的高等于斜边的一半 C．在直角三角形中，斜边大于直角边 D．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，说法正确，不符合题意； B、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，说法错误，符合题意； C、根据勾股定理可得，斜边大于直角边，说法正确，不符合题意； D、直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，说法正确，不符合题意； 故答案为B 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的有关性质是解题的关键． 2．下列关于的说法错误的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若为直角三角形且，，则等于的一半 C．若中，则为直角三角形 D．若中，，则为等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、含的直角三角形的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定等知识点键．根据相关知识点逐项进行判断即可． 【详解】解：、若，则为等腰三角形，说法正确，不合题意； B. 若为直角三角形且，，则等于的一半，说法正确，不合题意； C. 若中，三角形中的最大的角为， 则不是直角三角形，选项说法错误，符合题意； D.若中，，则为等边三角形，说法正确，不合题意； 故选：C 3．如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，熟记相关结论即可求解； 【详解】解：∵是边上的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：D． 题型二、根据30°求直角三角形的边长 解题技巧提炼 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 4．在中，，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 5．如图，在中，，，若，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质的应用，在直角三角形中，如果有一个角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 根据含30度角的直角三角形性质得出，代入求解即可． 【详解】，，， 故选D． 6．如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含的直角三角形的性质，先线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，利用角平分线的定义得出，利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的性质得出，利用含的直角三角形的性质求出，进而即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：6． 7．如图，在中，，，点在边上，连接，，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形性质等知识，掌握这两个性质是关键；由，，得；再由得，从而可得；由30度直角三角形性质得，则可求得． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴； ∴． 故答案为：． 题型三、利用辅助线证明和求解线段的长 解题技巧提炼 常见辅助线的位置 垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形等边对等角等，添加辅助线是解题的关键. 8．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，解题关键是利用垂直平分线的性质添加辅助线构造等腰三角形． 根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线，， ， ， ， ， 在中，， ． 故选：C． 9．如图，在中，，的垂直平分线交的延长线于，若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明，进一步说明，然后再根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半即可． 【详解】解：如图：连接    ∵的垂直平分线交的延长线于F， ∴，,， ∵在中，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为∶2． 10．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，条件辅助线是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质，可得，从而得到，进而得到，再由含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4 11．中，，，作线段的垂直平分线交于D，交于E，，则 ．    【答案】1 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，连接，由线段垂直平分线的性质可求出，进而得，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接，    ∵作线段的垂直平分线交于D， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：1． 12．如图，，点D是平分线上一点，过点D作交于点E，作，垂足为点F，，则的长为（    ）    A．7 B．3.5 C．7.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，过点作于G，由角平分线的性质得，结合，可知，从而可得答案． 【详解】解：过点作于G，    ∵平分，D是上一点，，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故选：A． 13．如图，等边中，点是延长线上一点，点是上一点，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含有30度的直角三角形、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．由可过作垂直，利用三线合一求出，再设，则，，最后在中，利用30度所对直角边是斜边的一半建立方程，求出，进而求出，即可得解． 【详解】解：过作于点， ，， ， 设，则， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， 解得， ， ． 故答案为：． 14．中，，P在线段上，于E，于D，若它一腰上的高与另一腰所成的锐角等于，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了 的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，分一腰上的高在外部和内部讨论即可． 【详解】解：当一腰上的高在外部时，如图，连接，    由题意知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当一腰上的高在内部时，如图，连接，    由题意知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，， 故选：B． 15．如图，在等腰中，，点M，N分别是边上的动点，与关于直线对称，点B的对称点为．当且时，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】作于D点，由轴对称的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由此得．再证是等边三角形，则可得，进而得，由此得．根据三角形的面积公式，再结合即可求出的面积． 【详解】解：如图，作于D点， ∵与关于直线对称， ． 又， ． 中，， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，以及“直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半” ，综合性强．正确的作出辅助线且能证明是等边三角形是解题的根据． 题型四、运用直角三角形的性质求线段的长 解题技巧提炼 （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 16．如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，作于． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)7.5 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据三线合一性质得到，然后推出，然后利用三角形外角的性质和等边对等角得到，得到，然后利用三线合一证明即可； （2）首先根据等边三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形，是中线， ， 又， ， ，而， ， ， ， ， ， ． （2）解：为等边三角形， ， 又， ， ． 17．如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 18．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．由直角三角形斜边上中线的性质可得，由线段垂直平分线的判定即可证明结果； （2）由及可得，再由得，在中由含30度角直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接． ，点M、点N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ． （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ∴cm， 答：的长是． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，其中连接是解题的关键． 19．在中，点P在平面内，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接 【发现问题】（1）如图1，如果点P是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是______； 【探究猜想】（2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1）；（2）仍然成立；理由见解析；（3）． 【分析】本题考查三角形旋转变换的性质，全等三角形判定与性质，角直角三角形性质，掌握旋转变换的性质，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）在上取一点E，使，连接，过点E作于F，证明，得到，进而得到最小时，最小，利用垂线段最短和含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）； 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）前面发现的结论仍然成立；理由如下： 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F， 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点， ∴当（点P和点F重合）时，最小， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 故线段长度最小值是 20．已知中，，以和为边向外作等边和等边． (1)连接、，如图，求证：； (2)若为中点，连接，如图，求证：； (3)若，延长交于，，如图，则_____（直接写出结果） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，利用等式的性质可得，利用可证得，于是可得结论； （2）由等边三角形的性质可得，，利用可证得，于是可得，，则，利用等式的性质及三角形的内角和定理可得，进而可证得，于是可得，然后由等边三角形的性质即可得出结论； （3）由等边三角形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，过点作交的延长线于点，由平行线的性质可得，由等边三角形的性质可得，，于是可得，因而可得，由三角形的内角和定理可得，进而可得，利用可证得，于是可得，，利用可证得，于是可得，最后利用线段之间的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， ， ， ； （2）证明：如图，延长使，连接， 则， 是等边三角形， ，， 点为中点， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 是等边三角形， ； （3）解：，理由如下： 如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 过点作交的延长线于点， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质（、和），对顶角相等，三角形的内角和定理，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，两直线平行内错角相等等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．在中，平分交于． (1)如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：； (2)如图2，若，，，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）过点D作于G，，证明和，得，，再把变形即可得出等于； （2）过点D作于E，，可证明，得，再证明，，根据直角三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，从而得出，，，同理得：，即可求得四边形的周长． 【详解】（1）证明：过点D作于G，如图1， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：过点D作于E，如图2， ，， ，， ， ， ， ， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中，， ，，， 同理可得：， 四边形AMDN的周长为． 【点睛】本题考查了三角形以及多边形内角和，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理、等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 题型五、运用直角三角形的性质证明线段和差倍分 解题技巧提炼 出现和差倍分的几点：等腰三角形边角关系、直角三角形斜边中线、已知线段的条件、几何证明的等量代换. 22．如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点．取线段的中点，联结．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查中垂线的性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形角所对的边与斜边之间的关系；先根据线段垂直平分线的性质得：，再利用直角三角形斜边中线的性质得：与的关系，最后根据直角三角形度的性质得和的关系，从而得出结论． 【详解】证明：如图所示，连接， 是的垂直平分线， ，， ， ， 中，是的中点， ， 中，， ， ． 23．已知如图，在中，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形，先根据等边对等角得到，则由三角形内角和定理得到，由垂直的定义得到，则，进一步证明，得到，则． 【详解】证明：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC． （1）求证：BE＝CF； （2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）证明，；进而证明 ，即可解决问题； （2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】证明：（1）平分，， ， ，； 在和中， ， ， ； （2）平分，， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 平分，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】（1）作线段AB的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）根据等腰三角形的性质计算出∠C的度数，再计算出∠CAN的度数，然后根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得CN＝2AN，进而得到CN＝2BN． 【解答】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：连接AN． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°． ∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°． ∵AN＝BN， ∴∠BAN=∠B＝30° ∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°． ∵∠C＝30°， ∴CN＝2AN． ∴CN＝2BN． 【点睛】此题主要考查了作图，等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形，关键是正确画出图形，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 26．已知：如图是等边三角形，M，N分别在，上，且，，交于点E，于D． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质： （1）先由等边三角形的性质得到，再由即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，进而根据三角形外角的性质得到，再求出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．已知，，，点、分别在边、上，连接、． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，连接，若，点为的中点，连接、，求的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，设与相交于点，由等腰直角三角形的性质可得，设，，则，，由可求得，进而可得，由直角三角形的性质即可求证； （）连接，由直角三角形的性质可得，进而可得，，，得到，，可得，进而即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设与相交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴可设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 28．如图，在等边中，点分别在边上，，线段交于点，连接．（本大题须书写完整依据） (1)求证； (2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形性质，直角三角形两锐角互余，含角的直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）通过证明得出，再由即可推出结论； （2）作交于点H，通过证明得出，再根据含的直角三角形性质推出即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 又， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2），证明如下： 如图，作交于点H， ， 由（1）知，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 题型六、运用直角三角形的性质求几何图形的面积 解题技巧提炼 结合三角形内角和定理、直角三角形的性质定好三角形的底边和高的长度，最后再由三角形面积公式计算即可． 29．如图，在中，，，D在内部，以为直角边作等腰直角三角形，，连接，且，若，，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质，由三角形内角和定理求出，再由直角三角形的性质得出，最后再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 30．如图1，，，点在内部，且，点在上且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线交于点，连接并延长交于点， ①猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②连接，若，，求的面积（用含，的式子表示）． 【答案】(1)见详解 (2)①，理由见详解；② 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据“”可判断全等； （2）①连接，设交于点H，由题意易得是等边三角形，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解；②过点G作于点M，由①易得，则有，然后根据含30度直角三角形的性质及三角形面积公式可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：①，理由如下： 连接，设交于点H，如图所示， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，即垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴； ②过点G作于点M，如图所示， 由①可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 31．在等边的边上各取一点P、Q，相交于点O． (1)若，求证； (2)在（1）的条件下，当时，求的边长； (3)连接，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1+ (3)或 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键， （1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）知，则，作于H，根据直角三角形的性质可得，进而得到即可解答； （3）分或两种情形，利用高相同的两个三角形面积之比等于底之比求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴， ∴， 如图：作于H， ∵， ∴， ∴， ∴的边长为． （3）解：如图，当时， ∵， ∴， ∴， 此时， ∴，则， ∴， ∴， ∴的值为； 如图，当时， 由等边三角形的对称性知，当时，仍然有， 同理可得的值为． 综上所述：的值为或． 题型七、运用直角三角形的性质求角度 解题技巧提炼 此类问题一般结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形（含等边三角形）的判定和性质，等腰三角形等角对等边，等边对等角来进行解题． 32．如图，在中，，是斜边上的中线，过点A作于点F，交于点E．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，得出，根据，推出，根据是斜边上的中线，得出，进而得出，即可等量代换求证； （2）由（1）可得：，则，得出则平分，推出，进而得出为等边三角形，则，得出，根据等角对等边得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴，则平分， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴为等边三角形，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，等腰三角形等角对等边，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并灵活运用． 33．已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由全等三角形的判定定理HL证得结论即可； （2）结合（1）中全等三角形的对应边相等得到DC=DH，结合直角三角形斜边中线性质得到，然后证明是等边三角形，推出，根据得到，即可求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴（HL）． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30度角的性质等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 34．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60 (3)，见解析 【分析】（1）过点C作于点E，交延长线于点F，角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）延长交于点E，证明，得到，证明，进而求出，即可得出结果； （3）过点C作交延长线于点E，于点F，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系，以及含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点C作于点E，交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 题型八、动点问题 解题技巧提炼 动点问题要看清楚“直线”、“线段”、还是“射线”，涉及到图形内分析和图形外分析. 线段最值问题需结合轴对称、三点共线. 35．如图，在中，平分交于点，过点作交于点．动点从点出发，沿着运动，当时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点在边上时，连接，过点作于，根据平行线之间距离相等可得：，由含角的直角三角形性质可得：，再结合三角形面积即可得出，最后运用三角形内角和定理及等腰三角形性质即可；当点在边上时，过点作于点，利用角平分线判定定理可得出：平分，即点与点重合，再利用平行线性质即可． 【详解】解：当点在边上时，如图，连接，过点作于， ∵，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在边上时，如图，过点作于点， ∵， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴平分，即点与点重合， ∵， ∴， 即， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直角三角形性质，角平分线性质和判定定理，平行线性质，等腰三角形性质等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键． 36．如图1，在中，的面积为． （1） ． （2）如图2，若点分别是线段和上的两个动点，则的最小值为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称最短路径，含角的直角三角形的性质，理解轴对称最短路径的计算，掌握等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可求解； （2）如图所示，点关于的对称点为，与交于点，作于点，交于点，连接，由点到直线垂线段最短可得，最小，则的值最小，根据题意可得，在中，，，设，则，在中，，则，，由此可得，，由此列式即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）如图所示，点关于的对称点为，与交于点，作于点，交于点，连接， ∴， ∴， 由点到直线垂线段最短可得，最小，则的值最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：（1）；（2） ． 37．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)2秒 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形，利用面积公式正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，利用面积公式，列出一元二次方程，进行求解即可； （3）利用分割法求面积，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，； 故答案为： （2）过点作， ∵，， ∴， ∴的面积为， 解得：或（不合题意，舍去）； 故经过2秒后的面积等于； （3）不能，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 当四边形的面积等于时， ，整理，得：， ∵， ∴方程无实数根， 故四边形的面积不能等于． 38．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定，本题的关键是用含的代数式表示出、，熟练掌握等边三角形的判定，当不确定哪个是直角时注意分类讨论的思想方法． （1）用含的代数式表示出、，由于，当时，为等边三角形，列式求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，时，利用直角三角形中，含角的边的关系，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中， ，， ∴， ∵，点的运动速度为， ∴， ∵点的运动时间为， ∴，， ∴， 当时，为等边三角形， 即， 解得：； 所以当时，为等边三角形； （2）解：若为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，当或时，为直角三角形． 39．如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． (1)如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； (2)如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由； (3)当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)全等，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可求出，根据等边对等角可求出，根据三角形外角的性质求出，然后根据等角对等边可得出，即可得出结论； （2）过D作交于F，证明是等边三角形，得出，结合可得出，根据等边对等角得出，结合，，可得出，然后根据证明即可； （3）过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接，由（1）知：，根据含角的直角三角形的性质求出，，则，故当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合，然后根据平行线间的距离求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：全等 理由：∵是等边三角形， ∴，， 过D作交于F， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合， ∵，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等边三角形、全等三角形是解题的关键． 40．已知等腰三角形中，，，交延长线于点，为的延长线，点从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边三角形，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点运动到如图2位置时，此时点与点在直线同侧，求证：； (3)在点运动过程中，连接，当点运动多少秒时，线段长度取到最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意易得出，，，即可证； （2）在线段上取点T，使．由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可得出，从而可证为等边三角形，结合题意易证 ，得出，即； （3）分当点D与点E在直线同侧时和当点D与点E在直线两侧时来讨论，确定点E在的角平分线l上运动，即当时，取到最短，问题即得解． 【详解】（1）证明：∵为等腰三角形， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）证明：如图，在线段上取点T，使． ∵为等腰三角形，且， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分类讨论：①当点D与点E在直线同侧时， 由（2）中有：是等边三角形，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点D与点E在直线两侧时，在上截取，如图， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上可知即运动过程中，所在的直线平分，即点E在的角平分线l上运动，如图， ∴当时，取到最短，此时，点D与点E在直线同侧， ∵中， ， ∴． ∵中， ， ， ∴ ∴根据（2）的结论，有， ∴ ∴当点P运动时，线段长度取到最小值． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 41．如图，是等边三角形，过点的直线，点是直线上一动点． (1)如图1，作，交延长线于点，求证：． (2)如图2，点在边上（点不与点、重合），连接，作，交直线于点，连接． ①若，，当周长最小时，求的长； ②当点在直线上运动的过程中（点不与点重合），猜想、、之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①1；②或或，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质结合平行线的性质证明，即可得出结论； （2）①在上作，连接，易证是等边三角形，结合平行线的性质可证，即得出，判断出为等边三角形，即说明当最短时，周长最小．过点作于点E，根据垂线段最短可知此时最短，由全等三角形的性质又可证，得出，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； ②分类讨论：ⅰ当点E在下方时，ⅱ当点E在上方，点G在点B的左侧时和ⅲ当点E在上方，点G在点B的右侧时，分别作出辅助线构造全等三角形解答即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ． 直线， ， ， ． ，， ，即， ， ； （2）解：①如图，在上作，连接， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ． 直线， ， ， ． ，， ，即， ， ， ∴为等边三角形， ∴当最短时，周长最小． 如图，过点作于点E，即此时最短， ∵， ∴此时， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴； ②分类讨论：ⅰ当点E在下方时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴； ⅱ当点E在上方，点G在点B的左侧时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴； ⅲ当点E在上方，点G在点B的右侧时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知、、之间的等量关系为：或或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理，正确作出辅助线构造全等三角形． 题型九、函数问题 解题技巧提炼 函数解析数要将未知边与已知边相结合，经常涉及三角形面积的求解方法、直角三角形中斜边上的中线性质、30°角所对直角边是斜边的一半等知识，有时要作出辅助线求解． 42．在△ABC中，，△ABC的面积为3，过点A作AD⊥AB交边BC边于点D．设，．那么y与x之间的函数解析式 .（不写函数定义域）． 【答案】 【分析】取BD中点E，连接AE，过点A作，垂足为H．根据△ABC的面积计算出，再根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，推导，同时由，可知，借助“30°角所对直角边是斜边的一半”可知，进而得到，然后整理即可得到y与x之间的函数解析式． 【详解】解：取BD中点E，连接AE，过点A作，垂足为H， 根据题意，，即， 解得， ∵在中，AD⊥AB，E为BD中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， 即有，整理得． ∴y与x之间的函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形面积的求解方法、直角三角形中斜边上的中线性质、30°角所对直角边是斜边的一半等知识，解题关键是准确作出辅助线，掌握三角形面积的求解方法． 43．如图，的直角边，分别在轴正半轴和轴正半轴上，，将绕点顺时针旋转，使的对应边恰好落在轴上，若函数的图象经过点的对应点，则的值为（      ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 作轴于点，如图，先利用旋转的性质得，，在中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，则，，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求的值． 【详解】解：作轴于点，如图， ， ， 绕点顺时针旋转，使的对应边恰好落在轴上， ，， 在中，，， ， ，， 函数的图象经过点的对应点， ． 故选：C．    【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：比例函数为常数，的图象是双曲线，①图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．解决本题的关键是确定点坐标． 44．如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． (1)若，，求的度数； (2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值． 【答案】(1)； (2)，3； 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． （1）证明，进而解答即可． （2）根据当时，x最小，进而利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ，， ． （2）解， ， ，，， ， 当时，x最小，最大，， ，， ， ， 时，有最大值，即． 45．三角形的两边长的和为10厘米，它们的夹角为，设其中一条边长为x厘米，三角形的面积为y平方厘米，试写出y与x之间的函数解析式及定义域． 【答案】 【分析】此题主要利用三角形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 过点A作于点H，设厘米，则厘米，由得，代入面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点H． 设厘米，则厘米， ∵， ∴， 三角形面积． 46．已知：如图，在中，，，，点D在边上，平分，E为上的一个动点（不与A、C重合），，垂足为F． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数解析式； (3)当时，求的长？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，由此可证明； （2）先求出，再由含30度角的直角三角形的性质得到，求出，得到，则； （3）先求出，则，即可得到，再证明，得到，则，解方程得到，则． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等角对等边，角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，列函数关系式等等，熟知含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边长是斜边长的一半是解题的关键． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.8 第2课时 直角三角形的性质（含30度的直角三角形） 知识点 直角三角形性质定理 （1） 直角三角形性质定理1 直角三角形的两个锐角互余 因为“三角形三个内角的和等于 180°”,直角三角形两个锐角的和为180-90°=90° （2） 直角三角形性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3） 直角三角形性质定理3（含 30°角的直角三角形的性质） 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 题型一、直角三角形的性质 解题技巧提炼 1.直角三角形性质定理1 直角三角形的两个锐角互余 2.直角三角形性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3.直角三角形性质定理3（含 30°角的直角三角形的性质） 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 1．下列结论不正确的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．在直角三角形中，斜边上的高等于斜边的一半 C．在直角三角形中，斜边大于直角边 D．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 2．下列关于的说法错误的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若为直角三角形且，，则等于的一半 C．若中，则为直角三角形 D．若中，，则为等边三角形 3．如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二、根据30°求直角三角形的边长 解题技巧提炼 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 4．在中，，，，则 ． 5．如图，在中，，，若，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，则的长为 ． 7．如图，在中，，，点在边上，连接，，若，那么 ． 题型三、利用辅助线证明和求解线段的长 解题技巧提炼 常见辅助线的位置 垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形等边对等角等，添加辅助线是解题的关键. 8．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，，的垂直平分线交的延长线于，若，，则的长是 ． 10．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为 ． 11．中，，，作线段的垂直平分线交于D，交于E，，则 ．    12．如图，，点D是平分线上一点，过点D作交于点E，作，垂足为点F，，则的长为（    ）    A．7 B．3.5 C．7.5 D．5 13．如图，等边中，点是延长线上一点，点是上一点，且．若，，则的长为 ． 14．中，，P在线段上，于E，于D，若它一腰上的高与另一腰所成的锐角等于，则的值为（      ） A． B． C． D． 15．如图，在等腰中，，点M，N分别是边上的动点，与关于直线对称，点B的对称点为．当且时，若，则的面积为 ． 题型四、运用直角三角形的性质求线段的长 解题技巧提炼 （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 16．如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，作于． (1)求证：； (2)若，求． 17．如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 18．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 19．在中，点P在平面内，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接 【发现问题】（1）如图1，如果点P是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是______； 【探究猜想】（2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 20．已知中，，以和为边向外作等边和等边． (1)连接、，如图，求证：； (2)若为中点，连接，如图，求证：； (3)若，延长交于，，如图，则_____（直接写出结果） 21．在中，平分交于． (1)如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：； (2)如图2，若，，，，，求四边形的周长． 题型五、运用直角三角形的性质证明线段和差倍分 解题技巧提炼 出现和差倍分的几点：等腰三角形边角关系、直角三角形斜边中线、已知线段的条件、几何证明的等量代换. 22．如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点．取线段的中点，联结．求证：． 23．已知如图，在中，，，，求证：． 24．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC． （1）求证：BE＝CF； （2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 26．已知：如图是等边三角形，M，N分别在，上，且，，交于点E，于D． 求证： (1)； (2)． 27．已知，，，点、分别在边、上，连接、． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，连接，若，点为的中点，连接、，求的大小． 28．如图，在等边中，点分别在边上，，线段交于点，连接．（本大题须书写完整依据） (1)求证； (2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 题型六、运用直角三角形的性质求几何图形的面积 解题技巧提炼 结合三角形内角和定理、直角三角形的性质定好三角形的底边和高的长度，最后再由三角形面积公式计算即可． 29．如图，在中，，，D在内部，以为直角边作等腰直角三角形，，连接，且，若，，则 ． 30．如图1，，，点在内部，且，点在上且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线交于点，连接并延长交于点， ①猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②连接，若，，求的面积（用含，的式子表示）． 31．在等边的边上各取一点P、Q，相交于点O． (1)若，求证； (2)在（1）的条件下，当时，求的边长； (3)连接，若，，求的值． 题型七、运用直角三角形的性质求角度 解题技巧提炼 此类问题一般结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形（含等边三角形）的判定和性质，等腰三角形等角对等边，等边对等角来进行解题． 32．如图，在中，，是斜边上的中线，过点A作于点F，交于点E．    (1)求证：； (2)若，求证：． 33．已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证：． 34．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 题型八、动点问题 解题技巧提炼 动点问题要看清楚“直线”、“线段”、还是“射线”，涉及到图形内分析和图形外分析. 线段最值问题需结合轴对称、三点共线. 35．如图，在中，平分交于点，过点作交于点．动点从点出发，沿着运动，当时，则的度数为 ． 36．如图1，在中，的面积为． （1） ． （2）如图2，若点分别是线段和上的两个动点，则的最小值为 ． 37．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 38．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 39．如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． (1)如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； (2)如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由； (3)当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 40．已知等腰三角形中，，，交延长线于点，为的延长线，点从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边三角形，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点运动到如图2位置时，此时点与点在直线同侧，求证：； (3)在点运动过程中，连接，当点运动多少秒时，线段长度取到最小值． 41．如图，是等边三角形，过点的直线，点是直线上一动点． (1)如图1，作，交延长线于点，求证：． (2)如图2，点在边上（点不与点、重合），连接，作，交直线于点，连接． ①若，，当周长最小时，求的长； ②当点在直线上运动的过程中（点不与点重合），猜想、、之间的等量关系，并说明理由． 题型九、函数问题 解题技巧提炼 函数解析数要将未知边与已知边相结合，经常涉及三角形面积的求解方法、直角三角形中斜边上的中线性质、30°角所对直角边是斜边的一半等知识，有时要作出辅助线求解． 42．在△ABC中，，△ABC的面积为3，过点A作AD⊥AB交边BC边于点D．设，．那么y与x之间的函数解析式 .（不写函数定义域）． 43．如图，的直角边，分别在轴正半轴和轴正半轴上，，将绕点顺时针旋转，使的对应边恰好落在轴上，若函数的图象经过点的对应点，则的值为（      ）    A． B． C． D． 44．如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． (1)若，，求的度数； (2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值． 45．三角形的两边长的和为10厘米，它们的夹角为，设其中一条边长为x厘米，三角形的面积为y平方厘米，试写出y与x之间的函数解析式及定义域． 46．已知：如图，在中，，，，点D在边上，平分，E为上的一个动点（不与A、C重合），，垂足为F． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数解析式； (3)当时，求的长？ 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$