专题 一次函数与图形的面积问题（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

（浙教版）八年级上册数学《第5章 一次函数》 专题 一次函数与图形的面积问题 题型一 一次函数与坐标轴围成的三角形面积 1．（2023春•南阳期末）如图，直线AB：y＝2x﹣m过点P（m，2），并且分别与x轴，y轴相交于点A和点B． （1）求直线AB的表达式； （2）直接写出方程2x﹣m＝0的解为 　 　； （3）将直线AB向上平移5个单位长度，交坐标轴于C，D两点，求△COD的面积． 【分析】（1）将点P（m，2）代入即可得m的值； （2）解方程即可得到结论； （3）根据平移的规律求得平移后的解析式，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵直线AB：y＝2x﹣m过点P（m，2）， ∴2＝2m﹣m，解得：m＝2， ∴直线AB的表达式为y＝2x﹣2； （2）方程2x﹣2＝0的解为x＝1， 故答案为：x＝1； （3）将直线AB：y＝2x﹣2向上平移5个单位得直线l：y＝2x+3， 当x＝0，y＝3，当y＝0，x， ∴C（0，3），D（，0）， ∴OD，OC＝3， ∴△COD的面积． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形的面积等，求得平移的直线的解析式是解题的关键． 2．（2024春•阳谷县期末）已知一次函数y＝2x+2． （1）点P（2，m）在函数的图象上，求m的值． （2）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．求点A、B的坐标． （3）已知C（3，0），求三角形ABC的面积． 【分析】（1）将x＝2代入解析式即可求出m的值； （2）将x＝0代入一次函数解析式即可求出点B的坐标，将y＝0代入一次函数解析式即可求出点A的坐标； （3）根据点A、B、C的坐标即可求出△ABC的面积． 【解答】解：（1）令x＝2， 则m＝2×2+2＝6； （2）令x＝0， 则y＝2， ∴一次函数的图象与y轴的交点B的坐标为（0，2）； 令y＝0， 则2x+2＝0， 解得x＝﹣1， ∴一次函数的图象与x轴的交点A的坐标为（﹣1，0）； （3）∵A（﹣1，0），B（0，2）；C（3，0）， ∴三角形ABC的面积4． 【点评】本题考查了一次函数图象的性质，点的坐标的特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 3．（2023秋•宁波期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）m＝　 　； （2）若一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），求一次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，求△AOD的面积． 【分析】（1）根据正比例函数解析式求得m的值， （2）进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式； （3）根据（2）中的解析式，令y＝0求得点D的坐标，从而求得三角形的面积． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，2）， ∴2m＝2， m＝1． 故答案为：1； （2）把（1，2）和（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，得 ， 解，得 ， 则一次函数解析式是y＝x+1； （3）令y＝0，则x＝﹣1． 则△AOD的面积1×2＝1． 【点评】此题综合考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法，关键是根据正比例函数解析式求得m的值． 4．（2023秋•电白区期中）如图，已知一次函数y＝kx﹣3图象经过点M（﹣3，1），且与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求k的值； （2）求A、B两点的坐标； （3）求△MOB的面积． 【分析】（1）运用待定系数法求一次函数的解析式， （2）根据当y＝0求出x值，当x＝0求出y值，即可得知A、B两点的坐标； （3）根据△MOB的面积，直接代入数值进行计算即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx﹣3图象经过点M（﹣3，1）， ∴1＝﹣3k﹣3， ∴， ∴k的值为； （2）由（1）知， 则当y＝0时，， 解得， 点A的坐标为； 当x＝0时，y＝﹣3， 故点B的坐标为（0，﹣3）； （3）由（2）知点B的坐标为（0，﹣3）， ∴OB＝3， ∴△MOB的面积． 【点评】题考查了一次函数的图象性质，一次函数分别与x轴、y轴的交点坐标问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．（2023春•曲靖期末）如图，已知一次函数y＝kx的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，m）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求k和m的值； （2）求△AOB的面积． 【分析】（1）先把A点，B点坐标代入y＝kx得到关于k，m的方程组，解方程组得到k，m的值； （2）先确定D点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD进行计算． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，m）两点， ∴， 解得． （2）由（1）知，一次函数的解析式为：yx， 把x＝0代入yx， 得y， 所以D点坐标为（0，）， 所以△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD 21 ． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，也考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积；解题的关键是求出一次函数解析式． 6．（2023秋•广饶县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）． （1）求直线AC的表达式； （2）求△AOC的面积． 【分析】（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，将C（0，12），A（8，4）代入，即可由待定系数法求得直线AC解析式为y＝﹣x+12； （2）利用三角形面积公式求得即可． 【解答】解：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b， 将C（0，12），A（8，4）代入得：， 解得， ∴直线AC解析式为y＝﹣x+12； （2）∵C（0，12），A（8，4）， ∴S△OAC12×8＝48． 【点评】本题是两条直线相交问题，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形性质以及三角形面积求法等知识；熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式解题关键． 7．（2024春•滑县期末）如图，直线与直线相交于点A，直线l2与y轴相交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）若BP∥l1，交x轴于点P，连接PA，求△PAB的面积． 【分析】（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求得A点的坐标，把x＝0代入y，求得y的值，即可求得B点的坐标； （2）设直线l2交x轴于C，则C（3，0），根据S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC利用三角形面积公式求得即可． 【解答】解：（1）由，解得， ∴A（﹣3，2）； ∵直线l2：y与y轴相交于点B， ∴x＝0时，y＝1，即B（0，1）； （2）设直线l2交x轴于C，则C（3，0）， ∵PB∥l1， ∴直线PB为y， 令y＝0，求得x＝﹣2， ∴P（﹣2，0）， ∴S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC． 【点评】本题是两直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两直线交点的求法，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键． 8．（2023秋•青羊区校级月考）如图，直线AB：与直线CD：y＝x﹣1相交于点P． （1）求点P的坐标； （2）求△PCA的面积． 【分析】（1）将直线AB和直线CD的函数表达式联立成方程组即可解决问题． （2）将△PCA的面积转化为△PDA和△CDA的面积之和即可． 【解答】解：（1）由题知， ，解得． 所以点P的坐标为（2，1）． （2）将x＝0代入y＝x﹣1得， y＝﹣1，即C（0，﹣1）． 将y＝0代入y＝x﹣1得， x＝1，即D（1，0）． 将y＝0代入y得， x＝4，即A（4，0）． 所以AD＝4﹣1＝3． 连接AC， 则， ， 所以. 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，能将△PCA的面积进行转化是解题的关键． 9．（2023春•卫滨区校级期末）已知一次函数yx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，点C在直线AB上，其纵坐标为5． （1）填空：点B的坐标为 　 　，点C的坐标为 　 　； （2）在x轴上找一点P，连接PB，PC，使PB+PC的值最小，并求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，求出△BCP的面积． 【分析】（1）一次函数yx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，代入即可作答； （2）过点B作D点关于点O对称，连接CD，交x轴于点P，此时PB+PC最小，设CD所在直线解析式为y＝kx+b，代入即可求得P； （3）S△BCD﹣S△BDP•BD•6•BD•OP即可求出． 【解答】解：（1）一次函数yx+2分别与x轴、y轴交于点A，B， 当x＝0时，y＝2， ∴B（0，2）， 当y＝0时，x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， ∵点C在直线AB上，其纵坐标为5， 即当y＝5，x＝6， 故答案为：（0，2），（6，5）； （2）过点B作D点关于点O对称，连接CD，交x轴于点P，此时PB+PC最小， D（0，﹣2），C（6，5）， 设CD所在直线解析式为y＝kx+b， ∴yx﹣2， 当y＝0时，x， ∴P（，0）； （3）S△BCD﹣S△BDP•BD•6•BD•OP4×6412， ∴△BCP的面积为：． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是数形结合思想． 题型二 利用一次函数求不规则的四边形的面积 1．（2023秋•宿豫区期末）如图，直线l分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B（0，5），把直线l沿y轴向下平移3个单位长度，得到直线m，且直线m分别与x轴、y轴交于点C、D． （1）求直线l对应的函数表达式； （2）求四边形ABDC的面积． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）先求出直线l沿y轴向下平移后的直线解析式，再求出C点和D点坐标，再根据四边形ABDC的面积＝S△OAB﹣S△ODC求解即可． 【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）， ∵直线l分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B（0，5）， ∴， 解得， ∴直线l的函数表达式为； （2）直线l沿y轴向下平移3个单位长度得3， ∴直线m的解析式为y， 当x＝0时，y＝2， ∴点D坐标为（0，2）， ∴OD＝2， 当y0时，x， ∴点C坐标为（，0）， ∴OC， ∵OA＝4，OB＝5， ∴四边形ABDC的面积＝S△OAB﹣S△ODC ． 【点评】本题考查了一次函数与几何变换，待定系数法求解析式，四边形的面积等，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D． （1）求直线l2的解析式； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据直线l1的解析式求出A（﹣6，0），B（0，3）．根据上加下减的平移规律求出直线l3的解析式为yx﹣1，求出C（2，0），D（0，﹣1）．根据直线l2过点B、C，利用待定系数法求出直线l2的解析式； （2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，即可求出四边形ABCD的面积． 【解答】解：（1）∵直线l1：yx+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B， ∴y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6， x＝0时，y＝3， ∴A（﹣6，0），B（0，3）． ∵将直线l1：yx+3向下平移4个单位长度得到直线l3， ∴直线l3的解析式为：yx+3﹣4，即yx﹣1， ∵y＝0时，x﹣1＝0，解得x＝2， x＝0时，y＝﹣1， ∴C（2，0），D（0，﹣1）． 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∵直线l2过点B（0，3）、点C（2，0）， ∴，解得， ∴直线l2的解析式为yx+3； （2）∵A（﹣6，0），B（0，3），C（2，0），D（0，﹣1）， ∴AC＝2﹣（﹣6）＝8，OB＝3，OD＝1， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC AC•OBAC•OD 8×38×1 ＝12+4 ＝16． 【点评】本题是关于求一次函数解析式，两直线交点以及利用坐标来求相关图形面积的综合问题． 3．如图，直线AC：yx+2分别交x轴和y轴于A，C两点，直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，直线AC与BD交于点E，且OA＝OB． （1）求直线BD的解析式和E的坐标． （2）若直线y＝x分别与直线AC，BD交于点H和F，求四边形ECOF的面积． 【分析】（1）先求直线AC：yx+2与x轴和y轴的交点A，C，由OA＝OB得点坐标，代入直线BD：y＝﹣x+b，求出b，即可知直线BD的解析式；再把直线BD的解析式与直线AC：yx+2联立即可求出点E的坐标． （2）由（1）知点C，D，E的坐标，再联立y＝x和直线BD的解析式，求出点F的坐标，由三角形DOF的面积减去三角形DCE的面积，即可求出四边形ECOF的面积． 【解答】解：（1）∵直线AC：yx+2分别交x轴和y轴于A，C两点， ∴A（﹣4，0），C（0，2）， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝4，B（4，0）， ∵直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点， ∴0＝﹣4+b， ∴b＝4，D（0，4） ∴直线BD：y＝﹣x+4． 解得 ∴E（，） 综上，直线 直线BD的解析式为：y＝﹣x+4，点E坐标为（，）． （2）由（1）知：C（0，2），D（0，4），E（，）， 且由，得点F（2，2）， ∴S四边形ECOF＝S△DOF﹣S△DCE ＝4×2÷2﹣（4﹣2）2 ＝4 故四边形ECOF的面积为． 【点评】本题是关于求一次函数解析式，两直线交点以及利用坐标来求相关图形面积的综合问题． 4．（2024春•兴宁市校级期中）如图，已知函数 y1＝x+5 的图象与x轴交于点A，一次函数 y2＝﹣2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，且与 y1＝x+5 的图象交于点D（m，4）． （1）求m，b的值； （2）若 y1≤y2，则x的取值范围是 　 　； （3）求四边形AOCD的面积． 【分析】（1）先由函数y1＝x+5，求出点A，点D的坐标，得到m的值；再将D点坐标代入y2＝﹣2x+b，求出b的值； （2）根据函数图象，求出y1落在y2图象下方的部分对应的x的取值范围即可； （3）先由y2＝﹣2x+2，求出B，C两点的坐标，再代入S四边形AOCD＝S△ABD﹣S△BOC计算即可． 【解答】解：（1）∵函数y1＝x+5的图象与x轴交于点A， ∴A（﹣5，0）． ∵y＝4时，m+5＝4，解得m＝﹣1， ∴D（﹣1，4）． 将D（﹣1，4）代入y2＝﹣2x+b， 得4＝﹣2×（﹣1）+b， 解得b＝2， 故m＝﹣1，b＝2； （2）由图象可知，若y1≤y2，则x的取值范围是x≤﹣1． 故答案为：x≤﹣1； （3）∵一次函数y2＝﹣2x+2的图象分别与x轴、y轴交于点B，C， ∴B（1，0），C（0，2）， ∴S四边形AOCD＝S△ABD﹣S△BOC 6×41×2 ＝12﹣1 ＝11． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合思想． 5．（2023秋•南山区校级期中）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n）， （1）求n、k、b的值； （2）求四边形AOCD的面积． 【分析】（1）对于直线y＝x+1，令x＝0求出y的值，确定出A的坐标，把B坐标代入y＝kx+b中求出b的值，再将D坐标代入y＝x+1求出n的值，进而将D坐标代入求出k的值即可； （2）根据S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD即可求解． 【解答】解：（1）对于直线y＝x+1，令x＝0，得到y＝1，即A（0，1）， 把B（0，﹣1）代入y＝kx+b中，得：b＝﹣1， 把D（1，n）代入y＝x+1得：n＝2，即D（1，2）， 把D坐标代入y＝kx﹣1中得：2＝k﹣1，即k＝3， 故答案为：2，3，﹣1； （2）由（1）知，D（1，2）， ∵函数y＝kx+b 的图象经过点B（0，﹣1）、D（1，2）， ∴， 解得：， ∴直线BD解析式为y＝3x﹣1， 易知A（0，1），令y＝0，得x， ∴C（，0）， 连接OD， 则S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD1×12． 【点评】考查了两条直线相交或平行问题．要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系． 6．已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点是B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C； （1）分别写出两条直线解析式，并画草图； （2）计算四边形ABCD的面积； （3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积． 【分析】（1）利用待定系数法可分别求出直线AB的解析式为y＝2x+4；直线CD的解析式为yx﹣3；然后利用两点确定一直线画函数图象； （2）利用坐标轴上点的坐标特征确定A点坐标为（0，4）＝B点坐标为（﹣2，0）、D点坐标为（6，0），然后根据三角形面积公式和四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD进行计算； （3）根据一次函数的交点问题通过解方程组得到E点坐标，然后利用△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD进行计算． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把（1，6）、（﹣3，﹣2）代入得， 解得． 所以直线AB的解析式为y＝2x+4； 设直线CD的解析式为y＝mx+n， 把（2，﹣2）、（0，﹣3）代入得， 解得， 所以直线CD的解析式为yx﹣3； 如图所示； （2）把x＝0代入y＝2x+4得y＝4，则A点坐标为（0，4）； 把y＝0代入y＝2x+4得2x+4＝0，解得x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）； 把y＝0代入yx﹣3得x﹣3＝0，解得x＝6，则D点坐标为（6，0）， 所以四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD（6+2）×4（6+2）×3＝28； （3）解方程组得， 所以E点坐标为（，）， 所以△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD （6+2）（6+2）×3 ． 【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 7．（2024秋•法库县期中）如图，直线l是一次函数y＝﹣x+8的图象，点A、B在直线l上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，正比例函数y＝kx的图象经过点A，一次函数y＝2x+b的图象经过点B，且与x轴相交于点C． （1）求k的值； （2）求点C的坐标； （3）求四边形OABC的面积． 【分析】（1）根据题意得到点A坐标为（2，6），点B坐标为（5，3），代入y＝kx即可得到结论； （2）由于一次函数y＝2x+b的图象经过点B，得到3＝2×5+b，于是得到结论； （3）设直线x轴相交于点D，得到点D坐标为（8，0），根据图形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点A、B在直线l上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3， ∴点A的纵坐标为6，点B的横坐标为5， 即点A坐标为（2，6），点B坐标为（5，3）， ∵正比例函数y＝kx的图象经过点A， ∴2k＝6， ∴k＝3； （2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点B， ∴3＝2×5+b，∴b＝﹣7， ∴一次函数的解析式为y＝2x﹣7， ∵一次函数y＝2x﹣7的图象与x轴相交于点C， ∴点C坐标为（，0）； （3）设直线x轴相交于点D，则点D坐标为（8，0）， 可得OC，OD＝8，CD， ∵点A到x轴的距离为6，点B到x轴的距离为3， ∴S四边形OABC＝S△OAD﹣S△CBD＝8×63． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数的解析式，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键． 题型三 根据面积的值求函数解析式或坐标 1．已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（　　） A．y＝1.5x+3 B．y＝﹣1.5x+3 C．y＝1.5x+3或y＝﹣1.5x+3 D．y＝1.5x﹣3或y＝﹣1.5x﹣3 【分析】设这个一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0），根据三角形的面积公式即可求得a的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式． 【解答】解：设这个一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0）． ∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，3）， ∴b＝3． ∵这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为3， ∴3×|a|＝3， 解得：a＝2或﹣2． 把（2，0）代入y＝kx+3，解得：k＝﹣1.5，则函数的解析式是y＝﹣1.5x+3； 把（﹣2，0）代入y＝kx+3，得k＝1.5，则函数的解析式是y＝1.5x+3． 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求得与x轴的交点坐标是解题的关键． 2．（2023秋•南海区期末）在平面直角坐标系中，直线AB过点A（a，12）、B（12，﹣a），点A在第二象限，点O为坐标原点，连接OA、OB，△AOB的面积为90，则直线AB的函数表达式是 　 ． 【分析】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明△AOC≌△OBD，可得∠AOC＝∠OBD，由∠AOC+∠BOD＝∠OBD+∠BOD＝90°，根据△AOB的面积为90得出a＝﹣6，利用待定系数法即可求解． 【解答】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D， ∵点A（a，12）、B（12，﹣a），点A在第二象限， ∴OC＝BD＝﹣a，AC＝OD＝12， 在△AOC和△OBD中， ， ∴△AOC≌△OBD（SAS）， ∴∠AOC＝∠OBD， ∴∠AOC+∠BOD＝∠OBD+∠BOD＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∵点A（a，12）、B（12，﹣a）， ∴OA＝OB， ∵△AOB的面积为90， ∴OA×OB6， ∴a＝﹣6或6（舍去）， ∴点A（﹣6，12）、B（12，6）， 设直线AB的函数表达式是y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线AB的函数表达式是yx+10． 故答案为：yx+10． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等，作辅助线，证明△AOC≌△OBD是解题的关键． 3．（2024秋•武陟县月考）如图，一次函数y＝﹣x+8的图象与两坐标轴分别交于点M，N，点C（不与点M，N重合）在线段MN上，过点C分别作CD平行x轴，作CB平行于y轴，点B，D分别在x轴、y轴上．若△BCM的面积为8，求点C的坐标． 【分析】由一次函数解析式，得到M（8，0），设点C（m，﹣m+8），得到CB＝﹣m+8，BM＝8﹣m，再根据三角形面积公式列一元二次方程，求出m的值，即可得到答案． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+8的图象与两坐标轴分别交于点M，N， 令y＝0，则﹣x+8＝0，解得x＝8， ∴M（8，0）， ∴OM＝8， 设点C（m，﹣m+8）， ∴OB＝m，CB＝﹣m+8， ∴BM＝OM﹣OB＝8﹣m， ∵△BCM的面积为8， ∴， 整理得：m2﹣16m+48＝0， 解得：m1＝4，m2＝12， ∵点C（不与点M，N重合）在线段MN上， ∴0＜m＜8， ∴m＝4， ∴点C的坐标为（4，4）． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 4．（2023秋•鄄城县期末）如图，已知直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB上有一点Q（2，b）． （1）求点A、B、Q的坐标； （2）若点P在x轴上，且PO＝24，求△APQ的面积． 【分析】（1）分别当x＝0和y＝0时求出A和B的坐标，将Q（2，b）代入y＝2x+4即可求出点Q的坐标； （2）首先根据题意得到点P的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当x＝0时，y＝2x+4＝2×0+4＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，0＝2x+4，解得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， 将Q（2，b）代入y＝2x+4得b＝2×2+4＝8， ∴Q（2，8）； （2）∵点P在x轴上，且PO＝24， ∴P点坐标为（﹣24，0）或（24，0）， ∴当P点坐标为（﹣24，0）时，AP＝﹣2﹣（﹣24）＝22△APQ的面积； ∴当P点坐标为（24，0）时，AP＝24﹣（﹣2）＝26△APQ的面积； 综上所述，△APQ的面积为88或104． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求三角形面积，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（2024春•崇义县期末）如图，一次函数与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）点C在y轴上，若△ABC的面积为6，求点C的坐标． 【分析】（1）根据一次函数解析式分别令x、y为0，求出对应的y、x值即可得到与坐标轴的交点坐标； （2）根据面积为6求出线段BC长，分两种情况得到点C坐标即可． 【解答】解：（1）当 x＝0 时，， ∴B（0，2）， 当y＝0时，，x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）． （2）点C在y轴上，若△ABC 的面积为6， ， ∵OA＝4， ∴BC＝3， ∴当点C在点B上方时，C（0，5）， 当点C在点B下方时，C（0，﹣1）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象与坐标轴交点求法是关键． 6．（2023秋•碑林区校级期末）如图，A，B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点P（2，p）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，且S△AOP＝6． （1）求S△COP； （2）求点A的坐标及p的值． 【分析】（1）已知P的横坐标，即可知道△OCP的边OC上的高，利用三角形的面积公式即可求解； （2）求得△AOC的面积，即可求得A的坐标，利用待定系数法即可求得AP的解析式，把x＝2代入解析式即可求得p的值． 【解答】解：（1）作PE⊥y轴于E， ∵P的横坐标是2，则PE＝2． ∴S△COPOC•PE2×2＝2； （2）∴S△AOC＝S△AOP﹣S△COP＝6﹣2＝4， ∴S△AOCOA•OC＝4，即OA×2＝4， ∴OA＝4， ∴A的坐标是（﹣4，0）． 设直线AP的解析式是y＝kx+b，则 ， 解得：． 则直线的解析式是yx+2． 当x＝2时，y＝3，即p＝3． 【点评】本题考查了三角形的面积与一次函数，待定系数求函数解析式的综合应用，正确求得A的坐标是解答本题的关键． 7．（2024秋•新郑市期中）数形结合思想是初中数学重要的思想方法，通过图象可以数形结合地研究函数．已知一次函数的图象经过点B（0，1），与x轴交于点A． （1）求b的值和点A的坐标； （2）观察图象，当x＞0时，y的取值范围为 　 　；当y＞0时，x的取值范围是 　 ； （3）若C是y轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标． 【分析】（1）根据解析式过点（0，1）直接写出b值，根据得到的解析式求出点A的坐标即可； （2）数形结合，直接写出自变量和函数值的取值范围即可； （3）设点C的坐标为（0，m），则BC＝|m﹣1|，根据三角形面积公式列出方程，求出m值即可得到点C的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数的图象经过点B（0，1），与x轴交于点A． ∴b＝1， ∴y， 当y＝0时，x＝3， ∴A（3，0）． （2）观察图象可知，当x＞0时，y的取值范围为y＜1；当y＞0时，x的取值范围是x＜3； 故答案为：y＜1；x＜3； （3）设点C的坐标为（0，m），则BC＝|m﹣1|， S△ABC3， ∴|m﹣1|＝2， ∴m﹣1＝±2， ∴m＝3或m＝﹣1． ∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣1）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 8．（2024秋•乐平市校级期中）如图，直线y＝kx+6（k≠0）与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）． （1）求k的值； （2）若点P（x，y）是直线y＝kx+6（k≠0）在第二象限内的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）的情况下，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为？ 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得直线的解析式为，则P点的坐标为，在△OPA中，OA边上的高是，当点P在第二象限时，，再求出OA＝6，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （3）利用（2）的结论，列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+6与x轴交于点E（﹣8，0）， ∴0＝﹣8k+6， ∴； （2）∵， ∴直线的解析式为， ∵点P在直线上， ∴P点的坐标为， ∴OA边上的高是， ∴当点P在第二象限时，， ∵点A的坐标为（﹣6，0）， ∴OA＝6． ∴S（﹣8＜x＜0）． （3）∵， 当时，， 解得， 当时，， 故点P运动到点处时，△OPA的面积为． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象与几何综合是解题的关键． 题型四 由图形面积的关系求函数解析式或坐标 1．（2023秋•抚州期末）如图，直线y＝﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A，B的坐标． （2）若点C在x轴上，且S△ABC＝2S△AOB，求点C的坐标． 【分析】（1）分别令y＝﹣2x+2中x＝0、y＝0求出与之对应的y、x值，由此即可得出点A、B的坐标； （2）设点C的坐标为（m，0），根据三角形的面积公式结合两三角形面积间的关系即可得出关于m含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）令y＝﹣2x+2中y＝0，则﹣2x+2＝0，解得：x＝1， ∴A（1，0）， 令y＝﹣2x+2中x＝0，则y＝2， ∴B（0，2）． （2）设点C的坐标为（m，0）， S△AOBOA•OB1×2＝1，S△ABCAC•OB|m﹣1|×2＝|m﹣1|， ∵S△ABC＝2S△AOB， ∴|m﹣1|＝2， 解得：m＝3或m＝﹣1， 即点C的坐标为（3，0）或（﹣1，0）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出A、B的坐标；（2）找出关于m的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式结合面积间的关系找出方程是关键． 2．一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，已知点A和B的坐标分别为（4，0）、（0，3）． （1）求直线AB的解析式； （2）若C是x轴上的一动点，试探究当点C运动到何处时，△CAB的面积等于△ABO面积的一半，请直接写出点C的坐标． 【分析】（1）由待定系数法直接求得答案即可； （2）设出C点的坐标，表示出△CAB的面积，与△ABO面积建立方程，求得答案即可． 【解答】解：（1）把（4，0）、（0，3）代入一次函数y＝kx+b得， ， 解得：． 所以函数解析式为yx+3； （2）设C点的坐标为（x，0），由题意得， |4﹣x|×34×3， 解得：x＝2或x＝6． 所以点C坐标为C1（2，0），C2（6，0）． 【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，以及利用点的坐标求有关面积的问题，渗透分类探讨的思想和方法． 3．（2023春•乌拉特前旗期末）如图所示，直线L1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C． （1）求直线L2的解析表达式； （2）求△ADC的面积； （3）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求直线L2的解析表达式； （2）先解方程组确定C（2，﹣3），再利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标，然后根据三角形面积公式求解； （3）由于△ADP与△ADC的面积相等，根据三角形面积公式得到点P与点C到AD的距离相等，则P点的纵坐标为3，对于函数yx﹣6，计算出函数值为3所对应的自变量的值即可得到P点坐标． 【解答】解：（1）设直线L2的解析表达式为y＝kx+b， 把A（4，0）、B（3，）代入得，解得， 所以直线L2的解析表达式为yx﹣6； （2）解方程组得，则C（2，﹣3）； 当y＝0时，﹣3x+3＝0，解得x＝1，则D（1，0）， 所以△ADC的面积（4﹣1）×3； （3）因为点P与点C到AD的距离相等， 所以P点的纵坐标为3， 当y＝3时，x﹣6＝3，解得x＝6， 所以P点坐标为（6，3）． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同． 4．（2023秋•青岛期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）． （1）求直线BC的解析式； （2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标； 【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）求出S△ABC＝27，设G（m，﹣m+6），分两种情况：①S△ABG：S△ACG＝1：2时，②S△ABG：S△ACG＝2：1时，分别求得m的值，进而求得G点的坐标； 【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6）， ∵点B（6，0）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）： ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6； （2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）． ∴AB＝9， ∴S△ABC9×6＝27， 设G（m，﹣m+6），（0＜m＜6）， ①当S△ABG：S△ACG＝1：2时，即S△ABGS△ABC＝9， ∴9（﹣m+6）＝9， ∴m＝4， ∴G（4，2）； 当S△ABG：S△ACG＝2：1时，即S△ABGS△ABC＝18， ∴9（﹣m+6）＝18， ∴m＝2， ∴G（2，4）． 综上，点G的坐标为（4，2）或（2，4）； 【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形的面积及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中利用三角形的面积公式是解题的关键． 5．（2023秋•松江区期中）已知正比例函数y＝2x的图象上有一点B（m+2，m2﹣4），且点B在第一象限． （1）求点B的坐标； （2）过点B作BC⊥x轴，点P为此函数图象上异于点B的点，S△BPCS△OBC，求此时点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法将点B的坐标代入正比例函数解析式，解方程即可求得m的值，结论可得； （2）计算出△OBC的面积，利用正比例函数解析式设点P（a，2a），分两种情况讨论解答：过点P作PD⊥BC，利用a表示出△PBC中BC边上的高，利用已知条件列出方程即可求得结论． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象上有一点B（m+2，m2﹣4）， ∴2（m+2）＝m2﹣4． 解得：m＝4或﹣2． ∵点B在第一象限． ∴m＞﹣2． ∴m＝4． ∴m+2＝6，m2﹣4＝12． ∴B（6，12）． （2）∵B（6，12）， ∴OC＝6，BC＝12． ∴OC×BC＝36． ∵点P为函数y＝2x图象上异于点B的点， ∴设点P（a，2a）， 当点P在线段OB上时，过P作PD⊥BC，如图， 则PD＝6﹣a， ∵S△BPCS△OBC＝18， ∴BC×PD＝18． ∴12×（6﹣a）＝36． 解得：a＝3， ∴P（3，6）． 当点P在射线BA上时，过P作PD⊥BC交BC延长线于点D，如图， 则PD＝a﹣6， ∵S△BPCS△OBC＝18， ∴BC×PD＝18． ∴12×（a﹣6）＝36． 解得：a＝9， ∴P（9，18）． 综上，点P的坐标为（3，6）或（9，18）． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 6．（2023春•惠东县期中）如图1，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且． （1）求a、b的值并写出A、B两点的坐标； （2）点C在x轴上，三角形OBC的面积是三角形OAB面积的一半，求点C的坐标； （3）如图2，点C（﹣2，0）在x轴负半轴，CD∥AB，交y轴于点D，直接写出点D的坐标． 【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值即可解决问题． （2）设C（m，0）．根据S△OBCS△AOB＝2构建方程求出m即可解决问题． （3）如图2中，连接BC，AD，由CD∥AB，推出S△ABC＝S△ABD，由此构建方程求出OD即可解决问题． 【解答】解：（1）∵（a﹣4）2≥0，0，且（a﹣4）20， ∴a＝4，b＝2， ∴A（4，0），B（0，2）； （2）设C（m，0）． 由题意A（4，0），B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， ∵S△OBCS△AOB＝2， ∴•|m|•2＝2， ∴m＝±2， ∴C（2，0）或（﹣2，0）． （3）如图2中，连接BC，AD， ∴CD∥AB， ∴S△ABC＝S△ABD， ∴（2+4）×2（2+OD）×4， ∴OD＝1， ∴D（0，﹣1）． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，平行线的性质，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 7．（2023秋•垦利区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）． （1）求直线AC的表达式； （2）求△OAC的面积； （3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，将C（0，12），A（8，4）代入，即可由待定系数法求得直线AC解析式为y＝﹣x+12； （2）过A作AH⊥OC于H，由A（8，4）得AH＝8，故S△OACOC•AH12×8＝48； （3）①若M在线段OA上时，由△OMC的面积是△OAC的面积的，知M为OA中点，即得M（4，2），②当M在射线AC上时，△OMC的面积是△OAC的面积的，则M为AC的中点，可得M（4，8），由等底同高的三角形面积相等可得，M'（﹣4，16）． 【解答】解：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b， 将C（0，12），A（8，4）代入得： ，解得， ∴直线AC解析式为y＝﹣x+12； （2）过A作AH⊥OC于H，如图： ∵A（8，4），AH⊥OC， ∴AH＝8， ∵C（0，12）， ∴OC＝12， ∴S△OACOC•AH12×8＝48； （3）存在， ①若M在线段OA上时，如图： ∵△OMC的面积是△OAC的面积的， ∴M为OA中点， 而A（8，4）， ∴M（4，2）， ②当M在射线AC上时，如图： ∵△OMC的面积是△OAC的面积的， ∴M为AC的中点， 而A（8，4），C（0，12）， ∴M（4，8）， 由等底同高的三角形面积相等可知，若M在C上方的射线AC上的M'处，CM'＝CM时，△OM'C的面积也等于△OAC的面积的， 此时C为线段MM'的中点， 而C（0，12），M（4，8）， ∴M'（﹣4，16）， 综上所述，M的坐标为：（4，2）或（4，8）或（﹣4，16）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积等，难度适中，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形面积． 8．如图1，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，点C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO． （1）求b的值； （2）若点P是射线AB上的一点，S△PAC＝S△PCO，求点P的坐标； 【分析】（1）利用△ABC和△ACO的面积公式求解； （2）分两种情况讨论，点P在第一象限或者在第二象限，分别列出对应面积的表达式求解； 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点， ∴点A（b，0），点B（0，b）， ∴S△ABC，S△ACO， ∵S△ABC＝2S△ACO， ∴， 解得b＝6； （2）由（1）知b＝6，直线AB表达式为y＝﹣x+6， ∴A点坐标（6，0），B点坐标（0，6）， 设直线AC的表达式为y＝kx+b，将点A、C代入得， ，解得， ∴直线AC的解析式为yx+2， ①当点P在第一象限时，过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，设Q（x，x+2），则点P（x，﹣x+6）， 方法一： ∴PQ＝﹣x+6﹣（x+2）4， ∴S△PAC＝S△PCQ+S△PAQ ＝12﹣2x， S△PCO ＝x， ∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝x，解得：x＝4，则P点坐标（4，2）； 方法二：∵S△PAC＝S△BCA﹣S△BCP， ∴S△PAC ＝12﹣2x， ∵S△PCO， ∴S△PAC＝S△PCO， ∴12﹣2x＝x， 解得x＝4， ∴P（4，2）； ②当P点在第二象限时，设点P（x，﹣x+6）， ∴S△PAC＝S△PBC+S△ABC ＝12﹣2x， S△PCO ＝﹣x， ∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝﹣x，解得：x＝12， ∴第二象限x＜0，x＝12不符合题意舍去， ∴P点坐标（4，2）； 【点评】本题是一次函数综合题目，主要考查直角坐标系内三角形面积计算，解题关键是熟练计算坐标系内三角形面积，求出点E和点C的坐标，进而求出直线的表达式． 题型五 一次函数平分图形面积问题 1．（2023秋•吴江区月考）如图，一次函数yx+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，过点B的直线l平分△ABO的面积，则直线l相应的函数表达式为（　　） A．y B．y＝2x+6 C．y D．y 【分析】由一次函数yx+6求得A、B的坐标，根据题意求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得． 【解答】解：∵一次函数yx+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴令y＝0，则求得x＝﹣8，令x＝0，求得y＝6， ∴A（﹣8，0），B（0，6）， ∵过点B的直线l平分△ABO的面积， ∴AC＝OC， ∴C（﹣4，0）， 设直线l的解析式为y＝kx+6， 把C（﹣4，0）代入得﹣4k+6＝0， 解得k， ∴直线l的解析式为yx+6， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得C点的坐标是解题的关键． 2．（2023春•单县期末）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的表达式为 　 ． 【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征写出A、B点的坐标，再求出AB的中点坐标，根据三角形面积公式可判断直线l2经过AB的中点，然后利用待定系数法求直线解析式． 【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4，则B（0，4）； 当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得x＝2，则A（2，0）， 所以线段AB的中点坐标为（1，2）， 设直线l2的解析式为y＝kx， 把（1，2）代入得k＝2， 所以直线l2的解析式为y＝2x． 故答案为y＝2x． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数．也考查了一次函数的性质． 3．（2023•沂源县一模）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 　 ． 【分析】根据题意画出直线BM，再设解析式，代入点坐标，分别求出DC和BC得解析式，根据铅垂高×水平宽÷2等于△BMC的面积，即可求出m的值，再代入B、M点坐标即可求出解析式． 【解答】解：如图所示，作直线BM交CD于点M，过点M作MN∥y轴，交BC于点N． 设直线BM将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分， 设直线DC的解析式为y＝k1x+b1，代入点D（0，3），C（3，0）， 得y＝﹣x+3， 设直线BC的解析式为y＝k2x+b2，代入点B（﹣2，﹣1），C（3，0）， 得， 设M（m，﹣m+3），则N（m，）， ∵四边形ABCD的面积为S＝S△ADC+S△ABC14， ∴S△BMC＝（﹣m+3）×5÷2＝7， 解得m， ∴M点坐标为（）， 设BM的解析式为y＝kx+b，代入B（﹣2，﹣1）和M（）， 解得， ∴BM的解析式为y． 【点评】本题考查了一次函数和三角形面积，正确求出一次函数解析式并表示出△BMC的面积是解决本题的关键． 4．（2023•衡水模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与y轴、x轴分别交于点A、B，点P为直线y＝﹣2x+4位于第一象限内一点，已知点C（0，﹣3）． （1）求AC的长； （2）设点P的横坐标为a． ①直接写出a的取值范围为：　 　； ②若△POB的面积与△PAC的面积相等，求a的值． 【分析】（1）直线的解析式得到点A的坐标，再利用平面直角坐标系内两点之间的距离即可解答； （2）①根据点P为直线y＝﹣2x+4位于第一象限内一点列不等式求解即可；②根据坐标与图形得到△POB与△PAC的面积列关于a的方程即可解答． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A， ∴当x＝0时，y＝﹣2×0+4＝4， ∴A（0，4）， ∵C（0，﹣3）， ∴AC＝|4﹣（﹣3）|＝7； （2）解：①∵直线y＝﹣2x+4与x轴分别交于点B， ∴点B（2，0）， ∵P为直线y＝﹣2x+4位于第一象限内一点，点P的横坐标为a， ∴P（a，﹣2a+4）， ∴， 解得：0＜a＜2； 故答案为：0＜a＜2． ②∵点P的横坐标为a，点P在直线y＝﹣2x+4上， ∴点P（a，﹣2a+4）， ∴，， ∵△POB的面积与△PAC的面积相等， ∴， ∴． 【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，平面直角坐标系内点的坐标特征，平面直角系内两点之间的距离，坐标与图形，掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 5．（2023春•德宏州期末）如图，在平面直角坐标系中，已知C（b，a），D（0，a），其中a，b满足|a﹣2.5|+（b﹣4）2＝0，连接AD，BC，CD． （1）求点C与点D的坐标； （2）若AC把四边形ABCD分成面积相等的两部分，在坐标轴上是否存在一点P，使△PAC的面积等于四边形ABCD的面积，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用非负数的性质即可求解； （2）①当点P在x轴上时，设P点的坐标为（m，0）．则AP＝|m+1|，利用面积公式列式即可求解；②当点P在y轴上时，设P点的坐标为（0，n），E点的坐标为（0，c）．同理可求解． 【解答】解：（1）∵|a﹣2.5|+（b﹣4）2＝0，|a﹣2.5|≥0，（b﹣4）2≥0， ∴a﹣2.5＝0，b﹣4＝0， ∴a＝2.5，b＝4， ∴点C的坐标为（4，2.5），点D的坐标为（0，2.5）； （2）存在，理由如下： 如图，连接AC交y轴于点E． 由题意得：． ∵AC把四边形ABCD分成面积相等的两部分． ∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝2×5＝10，S△ADC＝S△ABC＝5． ∵△PAC的面积等于四边形ABCD的面积， ∴S△PAC＝10， ①当点P在x轴上时，设P点的坐标为（m，0）．则AP＝|m+1|， ∴ 解得：m＝7或m＝﹣9， 即点P的坐标为（7，0）或（﹣9，0）； ②当点P在y轴上时，设P点的坐标为（0，n），E点的坐标为（0，c）． ∴， 解得：c＝0.5， 即点E的坐标为（0，0.5）， ∴， 解得：n＝4.5或n＝﹣3.5， 即点P的坐标为（0，4.5）或（0，﹣3.5）， 综上所述，点P的坐标为（7，0）或（﹣9，0）或（0，4.5）或（0，﹣3.5）． 【点评】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，三角形的面积，分类讨论是解题的关键． 6．（2023春•皇姑区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：yx+b与x轴交于点A（﹣4，0）与y轴交于点C，过点C的直线BC与x轴正半轴交于点B，△OBC的面积是△OAC面积的3倍． （1）求点B的坐标； （2）线段BC上有点P，当直线AP把△ABC分成面积相等的两部分时，直接写出直线AP的解析式； （3）在射线OC和射线OB上分别取点E和点F，且EF∥BC，将△OEF沿直线EF翻折得到△O1EF，点O的对应点为点O1，若点O1到直线OC和直线BC的距离相等，直接写出点O1的坐标． 【分析】（1）根据△OBC的面积是△OAC面积的3倍，A（﹣4，0），可得OB＝12，点B的坐标（12，0）； （2）将A（﹣4，0）代入yx+b可得yx+4，则C（0，4），OC＝4，即得S△ABCAB•OC＝32，由B（12，0），C（0，4）可得直线BC解析式为yx+4，设P（m，m+4），可得（12+4）×（m+4）＝16，解得P（6，2），设直线AP的解析式为y＝nx+b'，用待定系数法即得直线AP的解析式为yx； （3）过O1作O1K⊥OC于K，由OA＝4，OC＝4，OB＝12，可得∠ACO＝30°，∠OBC＝30°，而点O1到直线OC和直线BC的距离相等，知O1在∠BCO的平分线上，即∠OCO1＝∠BCO1＝30°，设CO1与AB交于F，则∠OFC＝60°，根据EF∥BC，可证∠EFO＝∠OFC﹣∠EFC＝30°＝∠EFC，O关于EF的对称点正好在CF上，若FO＝FO1，则O关于EF对称点即为O1，在Rt△COF中，OF4，CF＝2OF＝8，可得O1K是△COF的中位线，从而O1（2，2）． 【解答】解：（1）∵△OBC的面积是△OAC面积的3倍， ∴OB＝3OA， ∵A（﹣4，0）， ∴OB＝12， ∴点B的坐标（12，0）； （2）如图： 将A（﹣4，0）代入yx+b得： ﹣4b＝0， ∴b＝4， ∴yx+4， 令x＝0得y＝4， ∴C（0，4），OC＝4， ∴S△ABCAB•OC（12+4）×432， 由B（12，0），C（0，4）可得直线BC解析式为yx+4， 设P（m，m+4）， ∵直线AP把△ABC分成面积相等的两部分， ∴S△ABPS△ABC＝16， ∴（12+4）×（m+4）＝16， 解得m＝6， ∴P（6，2）， 设直线AP的解析式为y＝nx+b'，将A（﹣4，0），P（6，2）代入得： ， 解得， ∴直线AP的解析式为yx； （3）过O1作O1K⊥OC于K，如图： ∵OA＝4，OC＝4，OB＝12， ∴AC8，BC8， ∴OAAC，OCBC， ∴∠ACO＝30°，∠OBC＝30°， ∴∠BCO＝∠OAC＝60°，∠ACB＝90°， ∵点O1到直线OC和直线BC的距离相等， ∴O1在∠BCO的平分线上，即∠OCO1＝∠BCO1＝30°， 设CO1与AB交于F，则∠OFC＝60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFC＝∠BCF＝30°， ∴∠EFO＝∠OFC﹣∠EFC＝30°＝∠EFC， ∴此时O关于EF的对称点正好在CF上，若FO＝FO1，则O关于EF对称点即为O1， 在Rt△COF中，OF4，CF＝2OF＝8， ∵O关于EF对称点为O1， ∴O1F＝OF＝4， ∴O1FCF， ∵O1K∥OF， ∴O1K是△COF的中位线， ∴O1KOF＝2，OKOC＝2， ∴O1（2，2）． 【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及三角形面积，待定系数法，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是根据已知得出含特殊角的直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！47 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）八年级上册数学《第5章 一次函数》 专题 一次函数与图形的面积问题 题型一 一次函数与坐标轴围成的三角形面积 1．（2023春•南阳期末）如图，直线AB：y＝2x﹣m过点P（m，2），并且分别与x轴，y轴相交于点A和点B． （1）求直线AB的表达式； （2）直接写出方程2x﹣m＝0的解为 　 　； （3）将直线AB向上平移5个单位长度，交坐标轴于C，D两点，求△COD的面积． 2．（2024春•阳谷县期末）已知一次函数y＝2x+2． （1）点P（2，m）在函数的图象上，求m的值． （2）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．求点A、B的坐标． （3）已知C（3，0），求三角形ABC的面积． 3．（2023秋•宁波期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）m＝　 　； （2）若一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），求一次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，求△AOD的面积． 4．（2023秋•电白区期中）如图，已知一次函数y＝kx﹣3图象经过点M（﹣3，1），且与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求k的值； （2）求A、B两点的坐标； （3）求△MOB的面积． 5．（2023春•曲靖期末）如图，已知一次函数y＝kx的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，m）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求k和m的值； （2）求△AOB的面积． 6．（2023秋•广饶县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）． （1）求直线AC的表达式； （2）求△AOC的面积． 7．（2024春•滑县期末）如图，直线与直线相交于点A，直线l2与y轴相交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）若BP∥l1，交x轴于点P，连接PA，求△PAB的面积． 8．（2023秋•青羊区校级月考）如图，直线AB：与直线CD：y＝x﹣1相交于点P． （1）求点P的坐标； （2）求△PCA的面积． 9．（2023春•卫滨区校级期末）已知一次函数yx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，点C在直线AB上，其纵坐标为5． （1）填空：点B的坐标为 　 　，点C的坐标为 　 　； （2）在x轴上找一点P，连接PB，PC，使PB+PC的值最小，并求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，求出△BCP的面积． 题型二 利用一次函数求不规则的四边形的面积 1．（2023秋•宿豫区期末）如图，直线l分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B（0，5），把直线l沿y轴向下平移3个单位长度，得到直线m，且直线m分别与x轴、y轴交于点C、D． （1）求直线l对应的函数表达式； （2）求四边形ABDC的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D． （1）求直线l2的解析式； （2）求四边形ABCD的面积． 3．如图，直线AC：yx+2分别交x轴和y轴于A，C两点，直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，直线AC与BD交于点E，且OA＝OB． （1）求直线BD的解析式和E的坐标． （2）若直线y＝x分别与直线AC，BD交于点H和F，求四边形ECOF的面积． 4．（2024春•兴宁市校级期中）如图，已知函数 y1＝x+5 的图象与x轴交于点A，一次函数 y2＝﹣2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，且与 y1＝x+5 的图象交于点D（m，4）． （1）求m，b的值； （2）若 y1≤y2，则x的取值范围是 　 　； （3）求四边形AOCD的面积． 5．（2023秋•南山区校级期中）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n）， （1）求n、k、b的值； （2）求四边形AOCD的面积． 6．已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点是B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C； （1）分别写出两条直线解析式，并画草图； （2）计算四边形ABCD的面积； （3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积． 7．（2024秋•法库县期中）如图，直线l是一次函数y＝﹣x+8的图象，点A、B在直线l上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，正比例函数y＝kx的图象经过点A，一次函数y＝2x+b的图象经过点B，且与x轴相交于点C． （1）求k的值； （2）求点C的坐标； （3）求四边形OABC的面积． 题型三 根据面积的值求函数解析式或坐标 1．已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（　　） A．y＝1.5x+3 B．y＝﹣1.5x+3 C．y＝1.5x+3或y＝﹣1.5x+3 D．y＝1.5x﹣3或y＝﹣1.5x﹣3 2．（2023秋•南海区期末）在平面直角坐标系中，直线AB过点A（a，12）、B（12，﹣a），点A在第二象限，点O为坐标原点，连接OA、OB，△AOB的面积为90，则直线AB的函数表达式是 　 ． 3．（2024秋•武陟县月考）如图，一次函数y＝﹣x+8的图象与两坐标轴分别交于点M，N，点C（不与点M，N重合）在线段MN上，过点C分别作CD平行x轴，作CB平行于y轴，点B，D分别在x轴、y轴上．若△BCM的面积为8，求点C的坐标． 4．（2023秋•鄄城县期末）如图，已知直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB上有一点Q（2，b）． （1）求点A、B、Q的坐标； （2）若点P在x轴上，且PO＝24，求△APQ的面积． 5．（2024春•崇义县期末）如图，一次函数与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）点C在y轴上，若△ABC的面积为6，求点C的坐标． 6．（2023秋•碑林区校级期末）如图，A，B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点P（2，p）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，且S△AOP＝6． （1）求S△COP； （2）求点A的坐标及p的值． 7．（2024秋•新郑市期中）数形结合思想是初中数学重要的思想方法，通过图象可以数形结合地研究函数．已知一次函数的图象经过点B（0，1），与x轴交于点A． （1）求b的值和点A的坐标； （2）观察图象，当x＞0时，y的取值范围为 　 　；当y＞0时，x的取值范围是 　 ； （3）若C是y轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标． 8．（2024秋•乐平市校级期中）如图，直线y＝kx+6（k≠0）与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）． （1）求k的值； （2）若点P（x，y）是直线y＝kx+6（k≠0）在第二象限内的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）的情况下，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为？ 题型四 由图形面积的关系求函数解析式或坐标 1．（2023秋•抚州期末）如图，直线y＝﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A，B的坐标． （2）若点C在x轴上，且S△ABC＝2S△AOB，求点C的坐标． 2．一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，已知点A和B的坐标分别为（4，0）、（0，3）． （1）求直线AB的解析式； （2）若C是x轴上的一动点，试探究当点C运动到何处时，△CAB的面积等于△ABO面积的一半，请直接写出点C的坐标． 3．（2023春•乌拉特前旗期末）如图所示，直线L1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C． （1）求直线L2的解析表达式； （2）求△ADC的面积； （3）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 4．（2023秋•青岛期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）． （1）求直线BC的解析式； （2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标； 5．（2023秋•松江区期中）已知正比例函数y＝2x的图象上有一点B（m+2，m2﹣4），且点B在第一象限． （1）求点B的坐标； （2）过点B作BC⊥x轴，点P为此函数图象上异于点B的点，S△BPCS△OBC，求此时点P的坐标． 6．（2023春•惠东县期中）如图1，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且． （1）求a、b的值并写出A、B两点的坐标； （2）点C在x轴上，三角形OBC的面积是三角形OAB面积的一半，求点C的坐标； （3）如图2，点C（﹣2，0）在x轴负半轴，CD∥AB，交y轴于点D，直接写出点D的坐标． 7．（2023秋•垦利区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）． （1）求直线AC的表达式； （2）求△OAC的面积； （3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图1，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，点C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO． （1）求b的值； （2）若点P是射线AB上的一点，S△PAC＝S△PCO，求点P的坐标； 题型五 一次函数平分图形面积问题 1．（2023秋•吴江区月考）如图，一次函数yx+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，过点B的直线l平分△ABO的面积，则直线l相应的函数表达式为（　　） A．y B．y＝2x+6 C．y D．y 2．（2023春•单县期末）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的表达式为 　 ． 3．（2023•沂源县一模）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 　 ． 4．（2023•衡水模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与y轴、x轴分别交于点A、B，点P为直线y＝﹣2x+4位于第一象限内一点，已知点C（0，﹣3）． （1）求AC的长； （2）设点P的横坐标为a． ①直接写出a的取值范围为：　 　； ②若△POB的面积与△PAC的面积相等，求a的值． 5．（2023春•德宏州期末）如图，在平面直角坐标系中，已知C（b，a），D（0，a），其中a，b满足|a﹣2.5|+（b﹣4）2＝0，连接AD，BC，CD． （1）求点C与点D的坐标； （2）若AC把四边形ABCD分成面积相等的两部分，在坐标轴上是否存在一点P，使△PAC的面积等于四边形ABCD的面积，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2023春•皇姑区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：yx+b与x轴交于点A（﹣4，0）与y轴交于点C，过点C的直线BC与x轴正半轴交于点B，△OBC的面积是△OAC面积的3倍． （1）求点B的坐标； （2）线段BC上有点P，当直线AP把△ABC分成面积相等的两部分时，直接写出直线AP的解析式； （3）在射线OC和射线OB上分别取点E和点F，且EF∥BC，将△OEF沿直线EF翻折得到△O1EF，点O的对应点为点O1，若点O1到直线OC和直线BC的距离相等，直接写出点O1的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$