5.3一次函数（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

（浙教版）八年级上册数学《第5章 一次函数》 5.3 一次函数 知识点一 一次函数的概念 ◆一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【注意】①由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其表达式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数表达式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． ◆正比例函数的概念： 特别地，当b=0时， y＝k x (k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数. （1）正比例函数是一种特殊的一次函数． （2）正比例函数反应的是两个变量之间的关系，是正比例关系. 【注意】判断一个函数是正比例函数：（1）所给等式是形如y＝k x的等式，自变量的指数只能是1. （2）比例系数k是常数，且k≠0，必须同时满足这两个条件的才是正比例函数. 知识点二 用待定系数法求一次函数的表达式 ◆1、定义：先写出含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式，这样的方法叫做待定系数法. ◆2、待定系数法求一次函数表达式一般步骤： （1） 设：设一次函数的表达式为y＝k x+b； （2）列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的表达式，组成二元一次方程组； （3）解：解二元一次方程组得 k，b ； （4）还原：把 k，b 的值代入一次函数的表达式． 【注意】求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点三 用待定系数法求正比例函数的表达式 ◆1、确定正比例函数的表达式就是确定正比例函数表达式y＝k x（k≠0）中的常数k ． ◆2、求正比例函数表达式一般步骤是： （1）设：设出正比例函数表达式y＝k x； （2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的表达式，得到关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）还原：写出函数表达式． 题型一 正比例函数的概念 解题技巧提炼 正比例函数的定义：一般地，形如y＝k x（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从表达式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 1．（2024春•松北区期末）下列函数是正比例函数的是（　　） A．y＝x+1 B．y＝x2 C．y＝﹣x D．y 2．（2023秋•织金县校级期中）下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝x C． D．y＝x2 3．（2023春•洪江市期末）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝2x2+1 4．（2023春•朝阳区校级期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的面积S随边长x的变化而变化 B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D．水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：min）的变化而变化 5．（2023春•汉阳区期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的个数正确的为（　　） （1）y＝﹣0.1x； （2）； （3）y＝2x2； （4）y2＝4x． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y；③y；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 利用正比例函数的概念求字母的值 解题技巧提炼 根据正比例函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的表达是自变量的一次式，且不含常数项；（2）注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 1．（2024春•川汇区期末）若函数y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，则（　　） A．k≠﹣1，b＝﹣2 B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠﹣1，b＝2 2．（2024秋•皇姑区期中）若函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数，则m的值是（　　） A．±2 B．1 C．2 D．﹣2 3．（2023春•孝感期末）若函数y＝﹣2xm﹣2+n+1是正比例函数，则m+n（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 4．（2023秋•临泽县校级期中）已知函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 5．（2023春•陵城区校级月考）函数y＝（m﹣n+1）x|n﹣1|+n﹣2是正比例函数，则m，n应满足的条件是（　　） A．m≠﹣1，且n＝0 B．m≠1，且n＝0 C．m≠﹣1，且n＝2 D．m≠1，且n＝2 6．（2024秋•兴庆区校级期中）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，则m的值为 　 　． 7．（2024秋•高新区月考）已知y＝（m+2）x|m+3|是正比例函数，则y＝ 　 　，m＝ 　 　． 8．已知y＝（k﹣2）x|2k﹣3|+k2﹣4是x的一次函数． （1）求（2﹣3k）2013的值． （2）写出这个一次函数的表达式． 9．（2023秋•临渭区期末）已知：函数y＝（b+2）且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a﹣b+c的平方根． 题型三 求正比例函数解析式 解题技巧提炼 求正比例函数表达式一般步骤是： （1）设：设出正比例函数表达式y＝kx； （2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的表达式，得到关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）还原：写出函数表达式． 1．（2023秋•南海区校级月考）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是（　　） A．y＝x+5 B．yx C．yx D．y＝﹣2x+3 2．（2024秋•市南区校级期中）正比例函数y＝（k+1）x，当x＝2时，y＝﹣1，则此正比例函数的关系式为（　　） A． B． C． D．y＝x 3．（2024秋•金水区校级期中）在正比例关系y＝kx中，x＝2，y＝4，则比例系数k等于（　　） A． B．2 C．6 D．8 4．（2023春•望城区期末）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12 5．（2023春•聊城期末）若正比例函数y＝kx（k≠0）经过点，则k＝　 　． 6．已知正比例函数的自变量x减少2时，对应的函数值y增加4，求该正比例函数的解析式． 7．（2023春•安庆期末）若y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当y＝6时，x的值是多少？ 8．已知y与x成正比例，且x＝﹣2时，y＝6． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若点（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值． 题型四 一次函数的概念 解题技巧提炼 判断函数式是否是一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx+b的结构特征：（1）k≠0；（2）自变量的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数. 1．（2024春•普陀区期末）下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A．y＝x2 B．y＝3 C． D．y＝1﹣2x 2．（2023秋•锦江区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A．|y| B．y＝2 C．y＝x+x2 D．y＝3（x﹣2） 3．（2023秋•宁明县期中）下列是y关于x的函数，其中是一次函数的为（　　） A．y＝2x2+4 B． C．y＝﹣2x+1 D．y＝kx+b 4．（2023秋•金安区校级期中）下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x C．y D．y 5．（2024秋•金水区校级期中）下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（　　） A． B．y＝x2 C．y＝x D． 6．（2024秋•雁塔区校级期中）函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2023秋•蜀山区期中）函数①y＝5x；②y＝2x﹣1：③；④；⑤y＝x2﹣2x+1，是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 利用一次函数的定义求字母的值 解题技巧提炼 根据一次函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的表达式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；（2）注意隐含的条件：自变量（一次项）的系数不为0. 1．（2024秋•重庆期中）若函数y＝（k+3）x|k+2|﹣5是关于x的一次函数，则k的值是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．﹣1或﹣3 D．无法确定 2．（2024春•南宫市期末）已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 3．（2023秋•温江区校级期中）若y＝（m﹣2）x|m﹣1|+m﹣4为一次函数，则m＝　 ． 4．（2023春•北海期末）已知函数y＝（m﹣1）1是一次函数，则m＝　 ． 5．（2023春•红旗区校级期末）已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是 　 ． 6．（2024秋•蓝田县期中）已知关于x的函数y＝（m+1）x|m|+n﹣3 （1）m和n取何值时，该函数是关于x的一次函数？ （2）m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？ 7．（2024春•大武口区期末）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 8．（2024秋•清镇市期中）y与x的函数关系式为y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n） （1）当m，n为何值时，y是关于x的一次函数？ （2）当m，n为何值时，y是关于x的正比例函数？ 题型六 用待定系数法求一次函数表达式 解题技巧提炼 本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，若同时有多个点可以选择时，往往选取数值较小，且容易计算的点的坐标代入求值. 1．（2023春•西昌市校级月考）若y﹣2与x+3成正比例，且当x＝0时，y＝5，则当x＝1时，y等于（　　） A．1 B．6 C．4 D．3 2．（2023秋•锡山区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，则这个函数的表达式为 　 　． 3．（2023•鹿城区校级三模）已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为 　 　． x 0 1 2 y a 1 3 4．（2023秋•长兴县期末）已知y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝6． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＝3时，求出对应y的值． 5．（2023秋•平桂区 期末）已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点． （1）求此一次函数表达式； （2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上． 6．（2024春•五莲县期末）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣3成正比例，当x＝﹣1时，y＝4；当x＝1时，y＝8，求y与x之间的函数关系式． 7．已知y+a与x﹣b成正比例（其中a、b都是常数）． （1）试说明y是x的一次函数； （2）如果x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1，求这个一次函数的解析式． 8．（2023秋•郓城县校级月考）已知y与x+2成正比例，z与y﹣1成正比例． （1）z是x的一次函数吗？请说明理由； （2）在什么条件下，z是x的正比例函数？ 9．（2023秋•西湖区校级期中）已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比，y2与x成正比．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝﹣5． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣5时，求y的值； （3）当y＞0时，求x的取值范围． 题型七 由实际问题确定一次函数表达式 解题技巧提炼 结合题意根据实际问题中的数量关系式，找到题中的等量关系式，然后然后根据等量关系式代入相关的数据即可求出函数表达式. 1．（2023•南海区一模）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为x m，另一边长为y m，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　） A．y＝20x B．y＝40﹣2x C． D．y＝x（40﹣2x） 2．（2024•大连二模）汽车在公路上行驶时，油箱中剩余油量y（单位：L）是行驶里程x（单位：km）的函数，小丽记录了一次远行时汽车行驶里程及油箱中剩余的油量，数据如表： 行驶里程x/km 0 100 200 300 剩余油量y/L 50 40 30 20 该函数的表达式是（　　） A．y＝0.4x B．y＝﹣0.1x+50 C． D． 3．（2023秋•大观区校级期中）已知等腰三角形的周长为20cm，则底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系式是（　　） A．y＝20﹣2x（5＜x＜10） B．y＝2x﹣20（5＜x＜10） C．y＝10x（x＜10） D．yx﹣10（5＜x） 4．一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分（如图），与剩余木板的面积y（m2）与x（m）的关系式为（0≤x＜5）（　　） A．y＝2x B．y＝5x C．y＝10﹣2x D．y＝10﹣x 5．（2024春•澄海区期末）一根弹簧秤原长12cm，所挂物体的质量每增加2kg，弹簧就伸长6cm，则挂物体后弹簧长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式是 　 　． 6．（2023秋•吴江区月考）一个长为120米，宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x米，宽增加y米，则y与x的函数关系式是　 ，自变量的取值范围是　 　，且y是x的　 函数． 7．（2023秋•城关区校级期中）写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． （1）长方形的面积为3，长方形的长y与宽x之间的关系； （2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系； （3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系； （4）小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系． 8．（2023秋•乳山市期末）一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm． （1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式； （2）该蚊香可点燃多长时间？ 9．（2023秋•三水区校级期中）一根长度为30cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性限度内，所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加2cm，完成下列问题： ①当挂物体重3kg时，弹簧总长度为 　 　cm； ②在正常的弹性限度内，如果用x表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是多少厘米？ ③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40cm，那么它挂的物体质量是多少千克？ 10．（2023春•城关区校级期末）某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元：超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，现有某户居民5月份用水x吨（x＞10），应交水费y元，则求： （1）应交水费y与用水量x的关系式； （2）若小明家里本月缴水费39元，请问小明家里用水多少吨？ 11．（2023春•蒲城县期末）一辆汽车油箱内有油56升，在行驶过程中，油箱内剩油量（升）与行驶路程x（千米）满足关系式y＝56﹣0.08x． 用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整： 行驶路程x（千米） 100 200 300 400 油箱内剩油量y（升） a 40 b 24 （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）这辆汽车行驶350千米时，剩油量是多少？ （3）汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了多少千米？ 12．（2023春•福山区期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润＝票款收入﹣支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： x（人） … 200 250 300 350 400 … y（元） … ﹣200 ﹣100 0 100 200 … 根据表格中的数据，回答下列问题： （1）观察表中数据可知，当乘客量达到 　 人以上时，该公交车才不会亏损； （2）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝　 　； （3）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）八年级上册数学《第5章 一次函数》 5.3 一次函数 知识点一 一次函数的概念 ◆一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【注意】①由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其表达式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数表达式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． ◆正比例函数的概念： 特别地，当b=0时， y＝k x (k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数. （1）正比例函数是一种特殊的一次函数． （2）正比例函数反应的是两个变量之间的关系，是正比例关系. 【注意】判断一个函数是正比例函数：（1）所给等式是形如y＝k x的等式，自变量的指数只能是1. （2）比例系数k是常数，且k≠0，必须同时满足这两个条件的才是正比例函数. 知识点二 用待定系数法求一次函数的表达式 ◆1、定义：先写出含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式，这样的方法叫做待定系数法. ◆2、待定系数法求一次函数表达式一般步骤： （1） 设：设一次函数的表达式为y＝k x+b； （2）列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的表达式，组成二元一次方程组； （3）解：解二元一次方程组得 k，b ； （4）还原：把 k，b 的值代入一次函数的表达式． 【注意】求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点三 用待定系数法求正比例函数的表达式 ◆1、确定正比例函数的表达式就是确定正比例函数表达式y＝k x（k≠0）中的常数k ． ◆2、求正比例函数表达式一般步骤是： （1）设：设出正比例函数表达式y＝k x； （2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的表达式，得到关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）还原：写出函数表达式． 题型一 正比例函数的概念 解题技巧提炼 正比例函数的定义：一般地，形如y＝k x（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从表达式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 1．（2024春•松北区期末）下列函数是正比例函数的是（　　） A．y＝x+1 B．y＝x2 C．y＝﹣x D．y 【分析】根据正比例函数的定义进行判断即可． 【解答】解：A．y＝x+1，y不是x的正比例函数，故A不符合题意； B．y＝x2，y不是x的正比例函数，故B不符合题意； C．y＝﹣x，y是x的正比例函数，故C符合题意； D．y，y不是x的正比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数． 2．（2023秋•织金县校级期中）下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝x C． D．y＝x2 【分析】正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 【解答】解：A．y＝﹣2x﹣1，是y关于x的一次函数，故此选项不符合题意； B．y＝x，是y关于x的正比例函数，故此选项符合题意； C．yx﹣2，是y关于x的一次函数，故此选项不符合题意； D．y＝x2，是y关于x的二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 3．（2023春•洪江市期末）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝2x2+1 【分析】根据正比例函数的定义进行判断即可． 【解答】解：A．y＝2x﹣1，y不是x的正比例函数，故A不符合题意； B．y1，y不是x的正比例函数，故B不符合题意； C．y，y是x的正比例函数，故C符合题意； D．y＝2x2+1，y不是x的正比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数． 4．（2023春•朝阳区校级期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的面积S随边长x的变化而变化 B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D．水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：min）的变化而变化 【分析】先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，进行判断即可． 【解答】解：A、S＝x2是二次函数， 故此选项不符合题意； B、h是反比例函数， 故此选项不符合题意； C、C＝4x是正比例函数， 故此选项符合题意； D、设水箱有水x L，则V＝x﹣0.5t，不是正比例函数， 故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 5．（2023春•汉阳区期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的个数正确的为（　　） （1）y＝﹣0.1x； （2）； （3）y＝2x2； （4）y2＝4x． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k是常数且k≠0），即可解答． 【解答】解：（1）y＝﹣0.1x，是正比例函数； （2）y，是正比例函数； （3）y＝2x2，是二次函数，不是正比例函数； （4）y2＝4x不是正比例函数； 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 6．（2023春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y；③y；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k为常数且k≠0），逐一判断即可解答． 【解答】解：已知函数：①y＝2x﹣1；②y；③y；④y＝2x2， 其中属于正比例函数的有：②，只有1个， 故选：A． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 题型二 利用正比例函数的概念求字母的值 解题技巧提炼 根据正比例函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的表达是自变量的一次式，且不含常数项；（2）注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 1．（2024春•川汇区期末）若函数y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，则（　　） A．k≠﹣1，b＝﹣2 B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠﹣1，b＝2 【分析】根据正比例函数的定义可知k+1≠0，b﹣2＝0，从而可求得k、b的值． 【解答】解：∵y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数， ∴k+1≠0，b﹣2＝0． 解得k≠﹣1，b＝2． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，根据正比例函数的定义得到k+1≠0，b﹣2＝0是解题的关键． 2．（2024秋•皇姑区期中）若函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数，则m的值是（　　） A．±2 B．1 C．2 D．﹣2 【分析】根据正比例函数的定义列式计算． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数， ∴4﹣m2＝0，m﹣2≠0， 解得，m＝﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 3．（2023春•孝感期末）若函数y＝﹣2xm﹣2+n+1是正比例函数，则m+n（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k为常数且k≠0），可得m﹣2＝1，n+1＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： m﹣2＝1，n+1＝0， ∴m＝3，n＝﹣1， ∴m+n＝3﹣1＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 4．（2023秋•临泽县校级期中）已知函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【分析】根据正比例函数的定义，可得m+1≠0，m2﹣3＝1，即可求解． 【解答】解：根据题意，得m+1≠0，m2﹣3＝1， 解得m＝±2． 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的定义是解题的关键． 5．（2023春•陵城区校级月考）函数y＝（m﹣n+1）x|n﹣1|+n﹣2是正比例函数，则m，n应满足的条件是（　　） A．m≠﹣1，且n＝0 B．m≠1，且n＝0 C．m≠﹣1，且n＝2 D．m≠1，且n＝2 【分析】根据正比例函数的定义（形如y＝kx的函数是正比例函数，其中k为常数且k≠0）解决此题． 【解答】解：由题意得，m﹣n+1≠0、n﹣2＝0且|n﹣1|＝1． ∴n＝2． ∴m≠1． 故选：D． 【点评】本题主要考查正比例的函数，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键． 6．（2024秋•兴庆区校级期中）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，则m的值为 　 　． 【分析】根据正比例函数的定义求解即可． 【解答】解：∵y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数， ∴根据正比例函数的定义得，m2﹣1＝0，m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1， 所以m的值为﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题的关键，一般地，形如y＝kx（k≠0）的函数叫做正比例函数． 7．（2024秋•高新区月考）已知y＝（m+2）x|m+3|是正比例函数，则y＝ 　 　，m＝ 　 　． 【分析】根据正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1，即可求解． 【解答】解；|m+3|＝1，m+2≠0， 解得；m＝﹣4． ∴y＝﹣2x， 故答案为：﹣2x，﹣4， 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1是解决问题得关键． 8．已知y＝（k﹣2）x|2k﹣3|+k2﹣4是x的一次函数． （1）求（2﹣3k）2013的值． （2）写出这个一次函数的表达式． 【分析】（1）由一次函数的定义得到|2k﹣3|＝1且k﹣2≠0，由此来求k的值，将其代入所求的代数式进行求值即可； （2）把（1）中求得的k的值代入已知函数解析式即可得到该函数表达式． 【解答】解：（1）∵y＝（k﹣2）x|2k﹣3|+k2﹣4是x的一次函数， ∴|2k﹣3|＝1且k﹣2≠0， 解得k＝1， 则（2﹣3k）2013＝（2﹣3）2013＝﹣1，即（2﹣3k）2013＝﹣1． （2）由（1）知，k＝1，则该一次函数的表达式为：y＝（1﹣2）x|2﹣3|+1﹣4＝﹣x﹣3，即y＝﹣x﹣3． 【点评】本题考查了一次函数的定义．一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 9．（2023秋•临渭区期末）已知：函数y＝（b+2）且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a﹣b+c的平方根． 【分析】（1）根据正比例函数的定义、立方根、估算无理数的大小确定a、b、c的值； （2）把（1）中a，b，c的值代入计算求得2a﹣b+c，进而即可求得2a﹣b+c的平方根． 【解答】解：（1）∵函数y＝（b+2）x且y是x的是正比例函数， ∴， ∴b＝2， ∵5a+4的立方根是4， ∴5a+4＝43， ∴a＝12， ∵c是的整数部分， ∴c＝3； （2）2a﹣b+c＝2×12﹣2+3＝25，则2a﹣b+c的平方根为±5． 【点评】本题考查正比例函数、立方根、估算无理数的大小，掌握正比例函数的定义、立方根的意义是正确解答的前提，确定a、b、c的值是正确解答的关键． 题型三 求正比例函数解析式 解题技巧提炼 求正比例函数表达式一般步骤是： （1）设：设出正比例函数表达式y＝kx； （2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的表达式，得到关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）还原：写出函数表达式 1．（2023秋•南海区校级月考）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是（　　） A．y＝x+5 B．yx C．yx D．y＝﹣2x+3 【分析】根据待定系数法即可得到函数解析式． 【解答】解：设函数解析式为y＝kx，将（﹣2，3）代入函数解析式，得 ﹣2k＝3． 解得k， 函数解析式为yx， 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 2．（2024秋•市南区校级期中）正比例函数y＝（k+1）x，当x＝2时，y＝﹣1，则此正比例函数的关系式为（　　） A． B． C． D．y＝x 【分析】直接把x＝2时，y＝﹣1代入正比例函数y＝（k+1）x，求出k的值即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝（k+1）x，当x＝2时，y＝﹣1， ∴﹣1＝2（k+1）， 解得k+1， ∴y与x的函数关系式为yx， 故选：A． 【点评】本题考查的是利用待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解答此题的关键． 3．（2024秋•金水区校级期中）在正比例关系y＝kx中，x＝2，y＝4，则比例系数k等于（　　） A． B．2 C．6 D．8 【分析】利用待定系数法求解析式即可． 【解答】解：当x＝2，y＝4时，4＝2k， 解得k＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了利用待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 4．（2023春•望城区期末）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12 【分析】先利用待定系数法求出y＝﹣3x，然后计算x＝1对应的函数值． 【解答】解：设y＝kx， ∵当x＝2时，y＝﹣6， ∴2k＝﹣6，解得k＝﹣3， ∴y＝﹣3x， ∴当x＝1时，y＝﹣3×1＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k即可． 5．（2023春•聊城期末）若正比例函数y＝kx（k≠0）经过点，则k＝　 　． 【分析】本题中只需把点的坐标代入函数解析式，即可求得k值，从而解决问题． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过点（﹣1，）， ∴k即k， ∴该正比例函数的解析式为yx． 故答案为：． 【点评】考查了待定系数法求正比例函数解析式，此类题目可直接将点的坐标代入解析式，然后利用方程解决问题． 6．已知正比例函数的自变量x减少2时，对应的函数值y增加4，求该正比例函数的解析式． 【分析】设该正比例函数解析式为y＝kx①，由题意得到：y+4＝k（x﹣2）②，联立方程组，解方程组即可． 【解答】解：设该正比例函数解析式为y＝kx①， 由题意得到：y+4＝k（x﹣2）②， 联立①②，解得k＝﹣2． 所以，该正比例函数的解析式是y＝﹣2x． 【点评】考查了待定系数法确定函数关系式，正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意，列出方程组是解题的难点． 7．（2023春•安庆期末）若y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当y＝6时，x的值是多少？ 【分析】（1）设y＝k x，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x函数关系； （2）把y＝5代入计算即可求出x的值． 【解答】解：（1）设y＝kx， 把x＝2，y＝﹣4代入得：y＝kx， 解得k＝﹣2， 即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣2x． （2）把y＝6代入y＝﹣2x得：6＝﹣2x， 解得x＝﹣3， 即x的值是﹣3． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、求自变量的取值等知识点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 8．已知y与x成正比例，且x＝﹣2时，y＝6． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若点（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值． 【分析】（1）首先设y＝kx，再把x＝﹣2，y＝6代入，可得k的值，进而可得函数解析式； （2）把点（a，﹣3）代入函数解析式可得答案． 【解答】解：（1）∵y与x的成正比例， ∴设y＝kx， ∵x＝﹣2时，y＝6， ∴6＝﹣2k， 解得：k＝﹣3， ∴y与x之间的函数表达式为：y＝﹣3x； （2）∵点（a，﹣3）在这个函数的图象上， ∴﹣3＝﹣3a， 解得：a＝1． 【点评】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握待定系数法求函数解析式的步骤． 题型四 一次函数的概念 解题技巧提炼 判断函数式是否是一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx+b的结构特征：（1）k≠0；（2）自变量的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数. 1．（2024春•普陀区期末）下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A．y＝x2 B．y＝3 C． D．y＝1﹣2x 【分析】根据一次函数的定义：y＝kx+b（k≠0），进行判断即可． 【解答】解：A．y＝x2不是一次函数，不符合题意； B．y＝3不是一次函数，不符合题意； C、y不是一次函数，不符合题意； D、y＝1﹣2x是一次函数，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的定义y＝kx+b（k≠0），熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 2．（2023秋•锦江区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A．|y| B．y＝2 C．y＝x+x2 D．y＝3（x﹣2） 【分析】利用一次函数的定义“一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数”，逐一分析四个选项的函数，即可得出结论． 【解答】解：A．|y|，不是一次函数，选项A不符合题意； B．y＝2，不是一次函数，选项B不符合题意； C．y＝x+x2，不是一次函数，选项C不符合题意； D．y＝3（x﹣2），是一次函数，选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 3．（2023秋•宁明县期中）下列是y关于x的函数，其中是一次函数的为（　　） A．y＝2x2+4 B． C．y＝﹣2x+1 D．y＝kx+b 【分析】根据一次函数的定义及表达式逐一判定即可求解． 【解答】解：A选项，y＝2x2+4是y关于x的二次函数，不符合题意； B选项，，y不是x的一次函数，不符合题意； C选项，y＝﹣2x+1是y关于x的一次函数，符合题意； D选项，y＝kx+b中k的值不确定，不能判定，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义及表达式是解题的关键． 4．（2023秋•金安区校级期中）下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x C．y D．y 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【解答】解：A、函数y＝2x+1是一次函数，不符合题意； B、函数y＝2x是一次函数，不符合题意； C、函数y不是一次函数，符合题意； D、函数y是一次函数，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键． 5．（2024秋•金水区校级期中）下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（　　） A． B．y＝x2 C．y＝x D． 【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，当b＝0时为正比例函数，由此判断即可． 【解答】解：A、，是一次函数，但不是正比例函数，故此选项符合题意； B、x的次数是2，不是一次函数，故此选项不符合题意； C、y＝x是一次函数，也是正比例函数，故此选项不符合题意； D、不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的定义，正比例函数的定义，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 6．（2024秋•雁塔区校级期中）函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此判断即可． 【解答】解：①当k≠0，y＝kx+b才是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数； 故是一次函数的有②④，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 7．（2023秋•蜀山区期中）函数①y＝5x；②y＝2x﹣1：③；④；⑤y＝x2﹣2x+1，是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直接利用一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，进而判断得出答案． 【解答】解：①y＝5x；②y＝2x﹣1：③；④；⑤y＝x2﹣2x+1，其中，是一次函数的有：①y＝5x；②y＝﹣2x﹣1；④共3个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键． 题型五 利用一次函数的定义求字母的值 解题技巧提炼 根据一次函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数的表达式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；（2）注意隐含的条件：自变量（一次项）的系数不为0. 1．（2024秋•重庆期中）若函数y＝（k+3）x|k+2|﹣5是关于x的一次函数，则k的值是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．﹣1或﹣3 D．无法确定 【分析】根据一次函数的定义可知|k+2|＝1，k+3≠0，从而可求得k的值． 【解答】解：∵函数y＝（k+3）x|k+2|﹣5是关于x的一次函数， ∴|k+2|＝1且k+3≠0， 解得k＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的定义，关键掌握一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2．（2024春•南宫市期末）已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 【分析】由题意可得，m﹣3≠0，m2﹣8＝1，计算求解即可． 【解答】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴m﹣3≠0，m2﹣8＝1， 解得，m≠3，m＝±3， ∴m＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 3．（2023秋•温江区校级期中）若y＝（m﹣2）x|m﹣1|+m﹣4为一次函数，则m＝　 ． 【分析】利用一次函数的定义可得，求解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴m＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2023春•北海期末）已知函数y＝（m﹣1）1是一次函数，则m＝　 ． 【分析】根据一次函数的定义，令m2＝1，m﹣1≠0即可解答． 【解答】若两个变量x和y间的关系式可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式， 则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）． 因而有m2＝1， 解得：m＝±1， 又m﹣1≠0， ∴m＝﹣1． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 5．（2023春•红旗区校级期末）已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是 　 ． 【分析】根据一次函数的定义知自变量的次数为1且其系数不为0，据此求解可得． 【解答】解：y＝（m+1）x2﹣|m|+4是关于x的一次函数， ∴， 解得：m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx+b（k≠0）（k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 6．（2024秋•蓝田县期中）已知关于x的函数y＝（m+1）x|m|+n﹣3 （1）m和n取何值时，该函数是关于x的一次函数？ （2）m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？ 【分析】（1）根据一次函数的定义可得，|m|＝1且m+1≠0，然后进行计算即可解答； （2）根据正比例函数定义可得，|m|＝1且m+1≠0，n﹣3＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得： |m|＝1且m+1≠0， ∴m＝±1且m≠﹣1， ∴m＝1， ∴当m＝1，n为任意实数时，该函数是关于x的一次函数； （2）由题意得： |m|＝1且m+1≠0，n﹣3＝0， ∴m＝±1且m≠﹣1，n＝3， ∴m＝1，n＝3，该函数是关于x的正比例函数． 【点评】本题考查了一次函数的定义，正比例函数定义，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 7．（2024春•大武口区期末）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得 ， 解得m＝﹣2． 故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数； （2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x， 故当x时，y的值为3． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 8．（2024秋•清镇市期中）y与x的函数关系式为y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n） （1）当m，n为何值时，y是关于x的一次函数？ （2）当m，n为何值时，y是关于x的正比例函数？ 【分析】（1）若函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+m+n是y关于x的一次函数，则一次项系数不为0，x2﹣n的指数必须为1，即5m﹣3≠0和2﹣n＝1联立求解，即可得到答案； （2）若函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+m+n是y关于x的正比例函数，则一次项系数不为0，x2﹣n的指数必须为1，常数项必须为0，即5m﹣3≠0，2﹣n＝1和m+n＝0联立求解即可得到答案． 【解答】解：（1）∵函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+m+n是y关于x的一次函数， ∴一次项系数不为0，x2﹣n的指数必须为1， ∴， 解得：， ∴当m且n＝1时，y是关于x的一次函数； （2）∵函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+m+n是y关于x的正比例函数， ∴一次项系数不为0，x2﹣n的指数必须为1，常数项必须为0， ∴， 解得：， ∴当m＝﹣1且n＝1时，y是关于x的正比例函数． 【点评】本题考查一次函数和正比例函数的定义和表达式，解题的关键是熟练掌握这两种函数的区别． 题型六 用待定系数法求一次函数表达式 解题技巧提炼 本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，若同时有多个点可以选择时，往往选取数值较小，且容易计算的点的坐标代入求值. 1．（2023春•西昌市校级月考）若y﹣2与x+3成正比例，且当x＝0时，y＝5，则当x＝1时，y等于（　　） A．1 B．6 C．4 D．3 【分析】根据正比例函数的定义，设y﹣2＝k（x+3），再把x＝0，y＝5代入求出k＝1，从而得到y与x的函数关系式，然后计算自变量为1所对应的函数值即可． 【解答】解：设y﹣2＝k（x+3）， ∵x＝0时，y＝5， ∴5﹣2＝k×（0+3）， 解得k＝1， ∴y﹣2＝x+3， 即y＝x+5， 当x＝1时，y＝x+5＝1+5＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 2．（2023秋•锡山区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，则这个函数的表达式为 　 　． 【分析】用待定系数法，把A（1，1），B（2，﹣1）两点代入y＝kx+b，得到关于k，b的方程组，解方程组即可得到一次函数的解析式． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图像经过A（1，1），B（2，﹣1）两点， ∴， 解得：， ∴该一次函数的解析式为：y＝﹣2x+3． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 3．（2023•鹿城区校级三模）已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为 　 　． x 0 1 2 y a 1 3 【分析】根据给定数据，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值． 【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）． 将（1，1），（2，3）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝2x﹣1． 当x＝0时，y＝﹣1， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 4．（2023秋•长兴县期末）已知y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝6． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＝3时，求出对应y的值． 【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，然后把两组对应值分别代入得到k、b的方程组，解方程组求出k、b即可求解； （2）把x＝3代入一次函数的表达式即可求解． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b， 根据题意得，解得， 所以这个一次函数的表达式为yx+3； （2）当x＝3时， y3+3． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 5．（2023秋•平桂区 期末）已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点． （1）求此一次函数表达式； （2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上． 【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把A（2，0），B（0，4）代入求出k的值即可； （2）把x＝﹣1代入（1）中函数解析式进行检验即可． 【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵A（2，0），B（0，4）在函数图象上， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为：y＝﹣2x+4； （2）由（1）知，函数解析式为：y＝﹣2x+4， ∴当x＝﹣1时，y＝6， ∴点（﹣1，6）在一次函数的图象上． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 6．（2024春•五莲县期末）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣3成正比例，当x＝﹣1时，y＝4；当x＝1时，y＝8，求y与x之间的函数关系式． 【分析】根据题意设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3），从而可得y＝k1x+k2（x﹣3），然后把x＝﹣1，y＝4和x＝1，y＝8代入联立方程组，进行计算即可解答． 【解答】解：设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3）， 则y＝y1+y2＝k1x+k2（x﹣3）， 由题意得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝4x﹣2（x﹣3）， 即y＝2x+6， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x+6． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 7．已知y+a与x﹣b成正比例（其中a、b都是常数）． （1）试说明y是x的一次函数； （2）如果x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1，求这个一次函数的解析式． 【分析】（1）因为y+a与x﹣b成正比例，设比例系数为k，列等式后变形进行说明； （2）把“x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1”分别代入一次函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程求得它们的值即可． 【解答】解：（1）∵y+a与x﹣b成正比例， 设比例系数为k，则y+a＝k（x﹣b）， 整理得：y＝kx﹣kb﹣a， ∴y是x的一次函数； （2）把x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1分别代入y＝kx﹣kb﹣a，得 ， 解得， 则该一次函数为：y＝2x﹣13． 【点评】本题考查了一次函数解析式的一般形式，关键是根据y+a与x﹣b成正比例，设比例系数为k，列等式． 8．（2023秋•郓城县校级月考）已知y与x+2成正比例，z与y﹣1成正比例． （1）z是x的一次函数吗？请说明理由； （2）在什么条件下，z是x的正比例函数？ 【分析】（1）根据正比例函数定义分别设出y、z的函数解析式，再表示出z与x间的关系即可判断； （2）根据正比例函数的定义由常数项为0可得． 【解答】解：（1）根据题意，设y＝m（x+2），z＝n（y﹣1） ∴z＝n[m（x+2）﹣1]＝n（mx+2m﹣1）＝mnx+n（2m﹣1） ∴z是x的一次函数； （2）根据题意，n（2m﹣1）＝0 ∵m≠0，n≠0， ∴m， 故当m时，z是x的正比例函数． 【点评】此题主要考查了一次函数、正比例函数的定义，在一次函数解析式y＝kx+b（k≠0）中，特别注意不要忽略k≠0这个条件，当b＝0时，该函数为正比例函数． 9．（2023秋•西湖区校级期中）已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比，y2与x成正比．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝﹣5． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣5时，求y的值； （3）当y＞0时，求x的取值范围． 【分析】（1）y1与x﹣1成正比例，可设y1＝k1（x﹣1），y2与x成正比例，设y2＝k2x，利用待定系数法即可求解． （2）直接把x的值代入（1）中的函数关系式即可； （3）由y＞0得到一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围． 【解答】解：（1）设y1＝k1（x﹣1），设y2＝k2x，则y＝k1（x﹣1）+k2x， 根据题意得，， 解得． ∴y＝2×（x﹣1）+x， 即y＝3x﹣2； （2）把x＝﹣5代入y＝3x﹣2中：y＝﹣15﹣2＝﹣17； （3）∵y＞0， ∴3x﹣2＞0， 解得：x． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是掌握要求y与x之间的关系，先找y1与x、y2与x的关系，再根据条件，求出y与x之间的关系． 题型七 由实际问题确定一次函数表达式 解题技巧提炼 结合题意根据实际问题中的数量关系式，找到题中的等量关系式，然后然后根据等量关系式代入相关的数据即可求出函数表达式. 1．（2023•南海区一模）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为x m，另一边长为y m，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　） A．y＝20x B．y＝40﹣2x C． D．y＝x（40﹣2x） 【分析】由木栏的总长，可得出2x+y＝40，变形后，即可得出结论． 【解答】解：∵木栏总长为40m， ∴2x+y＝40， ∴y＝40﹣2x． 故选：B． 【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x满足的函数关系是解题的关键． 2．（2024•大连二模）汽车在公路上行驶时，油箱中剩余油量y（单位：L）是行驶里程x（单位：km）的函数，小丽记录了一次远行时汽车行驶里程及油箱中剩余的油量，数据如表： 行驶里程x/km 0 100 200 300 剩余油量y/L 50 40 30 20 该函数的表达式是（　　） A．y＝0.4x B．y＝﹣0.1x+50 C． D． 【分析】分析数据，可知y与x成一次函数关系，设油箱中剩余油量y（单位：L）关于行驶里程x（单位：km）的函数表达式为y＝kx+b，代入表格中的数据，即可求出结论． 【解答】解：∵100﹣0＝200﹣100＝300﹣200，40﹣50＝30﹣40＝20﹣30， ∴y与x成一次函数关系． 设油箱中剩余油量y（单位：L）关于行驶里程x（单位：km）的函数表达式为y＝kx+b， 将（0，50），（100，40）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴该函数的表达式是y＝﹣0.1x+50． 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据表格中的数据，利用待定系数法求出y关于x的函数表达式是解题的关键． 3．（2023秋•大观区校级期中）已知等腰三角形的周长为20cm，则底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系式是（　　） A．y＝20﹣2x（5＜x＜10） B．y＝2x﹣20（5＜x＜10） C．y＝10x（x＜10） D．yx﹣10（5＜x） 【分析】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定义域即可． 【解答】解：∵2x+y＝20， ∴y＝20﹣2x＞0， ∴x＜10， ∵两边之和大于第三边，即2x＞20﹣2x， 解得：x＞5， 故底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系式是：y＝20﹣2x（5＜x＜10）． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，要求同学们熟练掌握等腰三角形的性质及三角形三边关系． 4．一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分（如图），与剩余木板的面积y（m2）与x（m）的关系式为（0≤x＜5）（　　） A．y＝2x B．y＝5x C．y＝10﹣2x D．y＝10﹣x 【分析】根据剩余木板的面积＝原长方形的面积﹣截去的面积． 【解答】解：依题意有：y＝2×5﹣2x＝10﹣2x． 故选：C． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 5．（2024春•澄海区期末）一根弹簧秤原长12cm，所挂物体的质量每增加2kg，弹簧就伸长6cm，则挂物体后弹簧长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式是 　 　． 【分析】根据弹簧的伸长长度与所挂的物体质量成正比得出结论． 【解答】解：根据弹簧的伸长长度与所挂的物体质量成正比可知，y＝12x，即挂物体后弹簧长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式是y＝3x+12． 故答案为：y＝3x+12． 【点评】本题考查一次函数的应用，理解弹簧的伸长长度与所挂的物体质量成正比是正确解答的关键． 6．（2023秋•吴江区月考）一个长为120米，宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x米，宽增加y米，则y与x的函数关系式是　 ，自变量的取值范围是　 　，且y是x的　 函数． 【分析】正方形的边长相等，所以等量关系为：原长+x＝原宽+y． 【解答】解：依题意有120+x＝100+y， 则y＝x+20， x不能是负数，∴x≥0， 符合一次函数的一般形式． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值范围．一次函数的一般形式为y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）． 7．（2023秋•城关区校级期中）写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． （1）长方形的面积为3，长方形的长y与宽x之间的关系； （2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系； （3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系； （4）小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系． 【分析】分别根据题意写出y关于x的函数关系式，并根据一次函数及正比例函数的定义判断即可． 【解答】解：（1）y，y是x反比例函数，不是一次函数，也不是正比例函数； （2）y＝3.6x，y是x的一次函数，也是正比例函数； （3）y＝400﹣36x，y是x的一次函数，不是正比例函数； （4）y＝10000+500x，y是x的一次函数，不是正比例函数． 【点评】本题考查列代数式、一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握它们的主义是本题的关键． 8．（2023秋•乳山市期末）一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm． （1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式； （2）该蚊香可点燃多长时间？ 【分析】（1）根据蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度用t表示出y即可； （2）当蚊香的长度y为0时，即蚊香燃尽的时候求出相应的时间即可． 【解答】解：（1）∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度， ∴y＝105﹣10t（0≤t≤10.5）； （2）∵蚊香燃尽的时候蚊香的长度y＝0， ∴105﹣10t＝0， 解得：t＝10.5， ∴该蚊香可点燃10.5小时． 【点评】本题考查了一次函数的应用及一次函数与一元一次方程的知识，解题时从实际问题中整理出函数模型并利用函数的知识解决实际问题． 9．（2023秋•三水区校级期中）一根长度为30cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性限度内，所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加2cm，完成下列问题： ①当挂物体重3kg时，弹簧总长度为 　 　cm； ②在正常的弹性限度内，如果用x表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是多少厘米？ ③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40cm，那么它挂的物体质量是多少千克？ 【分析】（1）根据弹簧的长度加弹簧挂重物伸长的长度，可得答案； （2）根据弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度，可得函数解析式； （3）根据函数值，可得相应自变量的值． 【解答】解：①30+2×3＝36； 故答案为：36； ②弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度， 设弹簧的总长度为y，则y＝2x+30， ③当y＝40时，2x+30＝40， 解得x＝5， 答：所挂重物的质量是5千克． 【点评】本题考查了函数解析式，利用了弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度． 10．（2023春•城关区校级期末）某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元：超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，现有某户居民5月份用水x吨（x＞10），应交水费y元，则求： （1）应交水费y与用水量x的关系式； （2）若小明家里本月缴水费39元，请问小明家里用水多少吨？ 【分析】（1）应交水费y＝10吨的水费+超过10吨的水费，依此列式即可． （2）将y＝39代入关系式，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得，y＝1.2×10+（x﹣10）×1.8＝1.8x﹣6， 答：应交水费y与用水量x的关系式为：y＝1.8x﹣6． （2）当y＝39时，1.8x﹣6＝39， 解得，x＝25， 答：小明家里用水25吨． 【点评】此题考查的是根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，本题水费y＝10吨的水费+超过10吨的水费． 11．（2023春•蒲城县期末）一辆汽车油箱内有油56升，在行驶过程中，油箱内剩油量（升）与行驶路程x（千米）满足关系式y＝56﹣0.08x． 用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整： 行驶路程x（千米） 100 200 300 400 油箱内剩油量y（升） a 40 b 24 （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）这辆汽车行驶350千米时，剩油量是多少？ （3）汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了多少千米？ 【分析】（1）将x＝100和x＝300分别代入该函数解析式进行计算求解； （2）将x＝350分别代入该函数解析式进行计算求解； （3）将y＝8代入该函数解析式进行计算求解． 【解答】解：（1）由题意得，当x＝100时， a＝56﹣0.08×100＝56﹣6＝48， 当x＝300时， b＝56﹣0.08×300＝56﹣24＝32， 故答案为：48，32； （2）当x＝350时， y＝56﹣0.08×350 ＝56﹣28 ＝28（升）， 答：这辆汽车行驶350千米时，剩油量是28升； （3）当y＝8时，得56﹣0.08x＝8， 解得x＝600， 答：汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了600千米． 【点评】此题考查了利用一次函数解决实际问题的能力，关键是能建立函数模型并能运用该模型解决实际问题． 12．（2023春•福山区期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润＝票款收入﹣支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： x（人） … 200 250 300 350 400 … y（元） … ﹣200 ﹣100 0 100 200 … 根据表格中的数据，回答下列问题： （1）观察表中数据可知，当乘客量达到 　 人以上时，该公交车才不会亏损； （2）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝　 　； （3）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？ 【分析】（1）由表中数据可知，当x＝300时，y＝0，当x＞300时，y＞0，进行解答即可； （2）由表中数据可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，每增加50人，利润就增加100元，然后列出关系式即可解答； （3）把y＝1000代入（2）中的关系式进行计算即可解答． 【解答】解：（1）观察表中数据可知，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损， 故答案为：300； （2）由题意得： y＝0100＝2x﹣600， ∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝2x﹣600， 故答案为：2x﹣600； （3）把y＝1000代入y＝2x﹣600中可得： 2x﹣600＝1000， 解得：x＝800， 答：当乘车人数为800人时，利润为1000元． 【点评】本题考查了函数关系式，正数和负数，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 $$