第3章 圆（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（广东省专用,北师大版）

第3章 圆（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．已知的半径为3， 周长（    ） A． B． C． D． 2．已知的直径为4，，则点A在（    ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 3．如图，在中，已知，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不确定 4．图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 6．如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 7．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 8．如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，是的直径，，分别与相交于点E，F，则下列计算结果错误的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是 ． 12．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，．若大圆的半径，小圆的半径，且圆心到直线的距离为，则 ． 13．如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则 14．如图，将的圆周12等份，圆内接矩形的面积为20，则圆内接正六边形面积为 ． 15．如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 16．如图，正方形的边长为6，E是的中点， F是边上的动点， 连接，以点F为圆心，长为半径作． 当与正方形的边相切时，的长为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）已知的半径为当满足下列条件时，分别指出点和的位置关系： (1) (2) (3) (4) 18．（4分）如图，已知、为的两条弦，，求证：． 19．（6分）如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 20．（6分）如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 21．（8分）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 22．（10分）如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求弧的长和扇形的面积． 23．（10分）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：． (2)若，，求长． 24．（12分）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为，求的长度． 25．（12分）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆．如图①和图②所示，为水面截线，为台面截线，．计算在图①中，已知，作于点． (1)求的长． (2)操作将图①中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图②．其中，半圆的中点为与半圆的切点为，连接交于点．探究在图②中．操作后水面高度下降了多少？ (3)连接并延长交于点，求线段的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．已知的半径为3， 周长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：； 故选：B． 2．已知的直径为4，，则点A在（    ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵的直径为4， ∴的半径为2， ∵， 点与的位置关系是点在圆外， 故选：C． 3．如图，在中，已知，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 4．图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：D为的中点， ， ， ， ， 故答案为：C． 5．如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：五边形的内角和是：， 则阴影部分面积之和是：， 故选：B． 7．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：∵圆心到弦的距离为2， ∴， ∵弦的长为4， ∴， ∴， 即圆O的半径长是， 故选：C． 8．如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 、是的切线， ， 在四边形中，， ， ． 故选：A ． 9．如图，是的直径，，分别与相交于点E，F，则下列计算结果错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是的直径， ， ∴，A正确； ∵， ∴， ∴，B正确； ∵， ∴， ∴，C正确； ∴， ∴，D错误； 故选：D． 10．如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：连接、，作于，连接，，如图， 是的中点， ， 垂直平分， ， ， ， ， ，， 点O位于的垂直平分线上， 点，，三点共线， ， ， 与圆相切； ， 点不是的中点， 圆心不是与的交点； ， ， 四边形为的内接矩形， 与的交点是圆的圆心； （1）错误，（2）（3）正确． 故选：C． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【详解】解：，，均在圆上，， 是外接圆的直径， 外接圆的圆心是的中点． 故答案为：． 12．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，．若大圆的半径，小圆的半径，且圆心到直线的距离为，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过作于，连接，， ∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则 【答案】/25度 【详解】解：∵切于C，过圆心O点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14．如图，将的圆周12等份，圆内接矩形的面积为20，则圆内接正六边形面积为 ． 【答案】30 【详解】解：连接，交于，如图所示： 四边形是矩形， ， ，是的直径， 将的圆周等份， ， 是等边三角形， 边即为圆内接正六边形的边， 圆内接矩形的面积为， ， 圆内接正六边形面积为， 故答案为：30． 15．如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 16．如图，正方形的边长为6，E是的中点， F是边上的动点， 连接，以点F为圆心，长为半径作． 当与正方形的边相切时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：∵正方形的边长为6， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 当与直线相切时，如图，设切点为，连接，， ∴四边形是矩形． ， 在中，， ． 当与直线相切时，如图， ∵， ∴切点为， 此时，， 在中，， ∴， 解得 故答案为：或． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）已知的半径为当满足下列条件时，分别指出点和的位置关系： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)圆内 (2)圆外 (3)圆上 (4)圆外 【详解】（1）解：， 点在圆内； （2）解：， 点在圆外； （3）解：， 点在圆上； （4）解：， 点在圆外． 18．（4分）如图，已知、为的两条弦，，求证：． 【答案】见详解 【详解】解：∵、为的两条弦， ∴ ∴ ∴ 19．（6分）如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【详解】（1）解：如图， （2）由（1）可知，连接 又 故的半径为：2 20．（6分）如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是 【详解】（1）证明：，是半径，， ，， ， ； （2）解：设的半径是r， ， ， ， 的半径是5． 21．（8分）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 22．（10分）如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求弧的长和扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2), 【详解】（1）解：如图，连接， ∵为直径， ∴，即， 又∵D是的中点， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（10分）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：． (2)若，，求长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接OC，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 24．（12分）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：如下图所示， 连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ，且为半径， 为的切线； （2）解：如下图所示，过作，垂足为， ， 四边形为矩形， ，． ， 设，则， 的直径为10， ， ， 在△中，由勾股定理得． 即， 化简得， 解得，． 大于0，故舍去， ， 从而，， ，由垂径定理知，为的中点， ． 25．（12分）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆．如图①和图②所示，为水面截线，为台面截线，．计算在图①中，已知，作于点． (1)求的长． (2)操作将图①中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图②．其中，半圆的中点为与半圆的切点为，连接交于点．探究在图②中．操作后水面高度下降了多少？ (3)连接并延长交于点，求线段的长度． 【答案】(1)的长为 (2)操作后水面高度下降了cm (3)线段E F的长度为cm 【详解】（1）解：连接，如图， 由题意得：， 故答案为：7； （2）解：由题意得：， 与半圆的切点为， ， 操作后水面高度下降了． 故答案为： （3）解：半圆的中点为， ， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$