精品解析：江苏省横林高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量调研数学试卷

2024-2025学年高二数学上学期期中调研试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】在抛物线中，，可得，， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 2. 圆心在轴上，半径为2，且过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心位置，可设出圆的标准方程，再将点代入，即可求得结果. 【详解】根据题意，设圆的标准方程为 ， 将代入，求得 ， 则圆的标准方程为， 故选：B. 3. 如图，某双曲线笔筒的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，该笔筒中间最窄处的直径为得解. 【详解】依题意可得，所以， 所以该笔筒中间最窄处的直径为. 故选：B. 4. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 5. 已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求得，结合勾股定理得，即可得，可得答案. 【详解】椭圆的焦距为，则， 由，的面积为，得，即， 又， 所以，即，， 又，则， 则椭圆的标准方程为． 故选：D． 6. 已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－2，直线l2：4x＋3y＋11＝0，则P到直线l1、l2的距离之和的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将P点到直线l1：x＝－2的距离转化为P到焦点的距离， 过点作直线的垂线，交抛物线于点，此即为所求的最小点，再结合点到直线的距离公式求解即可 【详解】将P点到直线l1：x＝－2的距离转化为P到焦点的距离， 过点作直线的垂线，交抛物线于点，此即为所求的最小点， 所以P到直线l1、l2的距离之和的最小值为 故选：D 7. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（ ） A. －2 B. －1 C. －1或3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解. 【详解】由的顶点，，知， 重心为，即， 又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点，即， 所以可得的欧拉线方程，即， 因为与平行， 所以， 解得， 故选：B 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出直线的方程，与渐近线的方程联立，求出的坐标，由为的中点，，得为的中点，求出的坐标，代入双曲线的方程求解即可. 【详解】令，由对称性，不妨设直线的方程为， 由，解得，，即点的坐标为， 由为的中点，，得为的中点，则点的坐标为， 代入双曲线的方程，有， 即，， 解得，所以双曲线的离心率为． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若直线的方程，则直线的倾斜角为 B. 已知曲线（，不全为0），则曲线的周长为 C. 若直线与直线垂直，则 D. 圆与圆的公切线条数为2 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，直接由斜率验算倾斜角即可；对于B，根据对称性，先得第一象限内曲线的长度，由此即可验算；对于C，由直线垂直的充要条件即可验算；对于D，先判断两圆的位置关系，由此进一步即可判断. 【详解】对于A，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B，如图所示： 当时，曲线，即， 此时它的图象为半径为的半圆弧，这时它的长度为， 在曲线中，分别用替换，方程依然成立， 这表明了曲线的图象关于坐标轴以及坐标原点对称， 所以曲线的周长为，故B正确； 对于C，若直线与直线垂直，则，解得或，故C错误； 对于D，圆即的圆心半径分别为， 圆的圆心半径分别为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，它们的公切线条数为2，故D正确. 故选：BD. 10. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使 B. 的周长为16 C. 的最大面积为12 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断. 【详解】由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆没有交点， 所以假设不成立，即不存在点使得，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 C. 若直线过点，则的最小值为1 D. 若，则直线恒过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线焦点弦的性质，可判定A，C正确；利用拋物线的定义，数形结合求解四边形的周长，可判定判断B不正确；设直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得的值，可判定D正确． 【详解】对于选项A中，设，由焦半径公式得，解得，所以， 所以，所以A正确； 对于选项B中，由题意知，根据抛物线的定义可知， 设与轴的交点为，易知，，故， 所以四边形的周长为，所以B错误； 对于选项C中，若直线过点，则当轴时，最小，且最小值为1， 所以C正确； 对于选项D，设直线，，， 联立直线与抛物线方程得，则，所以， 由可得，即，解得， 故直线的方程为，即直线恒过定点，选项D正确． 故选ACD． 【点睛】对于抛物线的焦点弦的性质的结论拓展： 若是一条过抛物线焦点的弦，当所在直线的倾斜角为，设，，可得，则，弦长；同时通径是指过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦，弦长等于，且通径是过焦点的最短的弦． 第二部分 （非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从点引圆的切线，则切线长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由两点之间的距离公式可得，再根据勾股定理即可得解. 【详解】记圆，圆心为，半径， 则， 所以切线长为. 故答案为：3. 13. 若双曲线的一条渐近线与圆交于两点， 则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，得到的值，结合双曲线的几何性质，求得双曲线的渐近线方程，再利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可得， 又由双曲线的其中一条渐近线方程为，即， 因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到渐近线的距离为， 由圆的弦长公式，可得. 故答案为：. 14. 已知为直线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为、，若直线上有且只有一个点满足，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】连接、，推导出，设，可得出，利用二倍角的余弦公式结合弦化切可得出，再利用平面向量数量积的定义求出的值，结合勾股定理求出的值，将问题转化为直线与以点为圆心，为半径的圆相切，结合点到直线的距离公式可求得的值. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 连接、，则，，如下图所示： 由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 所以，，设，则， 在中，， 所以，， 所以，，解得， 所以，， 设点，则，则点在圆上， 圆的圆心为，半径为， 由题意可知，直线与圆相切，则，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为实数，直线恒过一定点记作，为直角的一个顶点，为直角顶点，点在轴上 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可求解，利用垂直，根据斜率关系即可求解， （2）根据中点坐标求解，即可根据两点斜率公式求解斜率，即可根据点斜式求解直线方程. 【小问1详解】 由可得， 令且，解得， 故直线恒过定点， 设，则,故则，解得， 故 【小问2详解】 由于，，故的中点坐标， 则, 故直线方程为，即 16. 已知和为圆上两点. （1）求圆的方程； （2）过点向圆作切线，求切线的方程； （3）若过的直线交于另一点，若的面积最大，求此时的方程. 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点、的坐标代入圆的方程，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出参数值，综合可得出直线的方程； （3）分析可知，当时，的面积最大，求出圆心到直线的距离，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，由此可得出直线的方程. 【小问1详解】 由题意可得，解得，故圆的方程为. 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 因为， 当且仅当时，等号成立， 此时，是等腰直角三角形，且， 则圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，整理得，解得或， 因此，直线的方程为或， 即直线的方程为或. 17. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. （1）求和的值； （2）过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 【答案】（1），； （2）证明:由（1）知焦点为，显然直线与不重合， 设直线的方程为，设， 由得，因此， 又，， 所以 所以． 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程，点坐标代入抛物线方程可得； （2）设直线的方程为，设，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，再利用在抛物线上求得，然后计算可得． 【小问1详解】 由题意，，抛物线方程为， 在抛物线上，因此，所以； 【小问2详解】 略 18. 已知双曲线，其中一条渐近线的倾斜角为，点，坐标原点 （1）求的值； （2）直线经过点，与的两条渐近线分别交于点.若的面积为，求直线的方程； （3）如图，直线交双曲线的右支于不同两点，，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据倾斜角计算出斜率，由此可求的值； （2）联立直线与渐近线方程，得到的坐标并表示出，由求得结果； （3）设出以及的中点的坐标，通过点差法得到的坐标与的关系，结合在双曲线的右支内部以及在直线上求解出的范围. 【小问1详解】 因为渐近线的倾斜角为，所以， 所以. 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率存在，设，由（1）可知渐近线方程为， 联立，可得，不妨取，所以， 同理可得，所以， 所以，解得， 所以. 【小问3详解】 设，的中点为， 由题意可知的斜率绝对值大于渐近线斜率的绝对值，所以， 联立，可得，所以， 又因为，所以，即， 又因为，所以，所以，所以， 联立，可得，所以， 将代入双曲线方程中，可得，因为在双曲线的右支内部，所以， 又因为，所以，所以， 即. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴的一个端点的坐标为. （1）求椭圆的方程. （2）点为椭圆的右焦点，过上一点的直线与直线交于点为，直线交于另一点，设与交于点.证明： ①； ②为线段的中点. 【答案】（1）； （2）①将代入，得， 解得，所以. 又，，所以，，， 所以，故. ②由直线过焦点， 得直线的方程为， 代入，并结合整理， 得. 设，则. 设中点为，则， ， 即， 所以，即，共线， 即的中点在直线上，从而点与重合， 故是线段的中点. 【解析】 【分析】（1）根据短轴的端点求得的值，然后利用离心率的定义和的平方关系即可求得椭圆的标准方程； （2）①求得P的坐标，结合A,B，利用向量的数量积为零证明AF⊥FP,即可证得； ②写出直线AB的方程，与椭圆方程结合可得到，设中点为，利用中点公式求得R的坐标，利用向量的坐标证明即，共线， 即的中点在直线上，从而点与重合，从而证得结论. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 因为的短轴的一个端点的坐标为， 所以，所以.① 因为，所以.② 由①②，得，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和几何性质，考查直线与椭圆的交点的相关问题，其中利用向量方法计算求证是解题的关键方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二数学上学期期中调研试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 圆心在轴上，半径为2，且过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某双曲线笔筒的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－2，直线l2：4x＋3y＋11＝0，则P到直线l1、l2的距离之和的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 7. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（ ） A. －2 B. －1 C. －1或3 D. 3 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若直线的方程，则直线的倾斜角为 B. 已知曲线（，不全为0），则曲线的周长为 C. 若直线与直线垂直，则 D. 圆与圆的公切线条数为2 10. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使 B. 的周长为16 C. 的最大面积为12 D. 的最大值为 11. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 C. 若直线过点，则的最小值为1 D. 若，则直线恒过定点 第二部分 （非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从点引圆的切线，则切线长是__________． 13. 若双曲线的一条渐近线与圆交于两点， 则____. 14. 已知为直线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为、，若直线上有且只有一个点满足，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为实数，直线恒过一定点记作，为直角的一个顶点，为直角顶点，点在轴上 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程. 16. 已知和为圆上两点. （1）求圆的方程； （2）过点向圆作切线，求切线的方程； （3）若过的直线交于另一点，若的面积最大，求此时的方程. 17. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. （1）求和的值； （2）过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 18. 已知双曲线，其中一条渐近线的倾斜角为，点，坐标原点 （1）求的值； （2）直线经过点，与的两条渐近线分别交于点.若的面积为，求直线的方程； （3）如图，直线交双曲线的右支于不同两点，，若，求实数的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴的一个端点的坐标为. （1）求椭圆的方程. （2）点为椭圆的右焦点，过上一点的直线与直线交于点为，直线交于另一点，设与交于点.证明： ①； ②为线段的中点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $