3.1.2椭圆的离心率讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的离心率--四维限时练 (考察范围： 椭圆的离心率及其应用 ) 【1】知识总览（1-2分钟，快速阅读，重点查看不熟悉的知识点） ① 椭圆离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用表示，即，离心率的范围： ② 椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画椭圆的扁平程度,越接近1，椭圆越接近直线，越接近0，椭圆越接近圆形. ③椭圆离心率公式的变形： ******************************************************************************* 【2】限时练习（约30分钟，全心投入，旨在检测自己的解题能力） 1、 单选题 1．椭圆满足，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2.每6万多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可观测到.已知某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距太阳最近的点）距太阳中心0.6天文单位，远日点（距太阳最远的点）距太阳中心35天文单位，且近日点､远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是（    ） A．0.017 B．0.25 C．0.86 D．0.97 3.已知是椭圆的左焦点，椭圆的上顶点为，在以点为圆心、为半径的圆上存在点，使得的斜率为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.设，，分别是椭圆的左、右、上顶点，为坐标原点，为线段的中点，过作直线的垂线，垂足为.若到轴的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别是，，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左，右焦点分别为，，E上两动点M，N均位于x轴上方，且，若与的交点在y轴上，且纵坐标为，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知椭圆C：的离心率为，则k的值可以为（   ） A． B． C．4 D． 8．已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度大小的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，设椭圆的长轴长、焦距分别为，则下列结论中正确的有（    ） A．飞船向径的取值范围是 B．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．飞船运行速度的大小，在近地点时最大，在远地点时最小 三、填空题 9．椭圆的离心率为，则 . 10.如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，．“果圆”与轴的交点分别为、， 若在“果圆”轴右侧半椭圆方程为， 则两个半椭圆离心率的乘积为 ． 四、解答题 11．51．点A，B是椭圆的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，求该椭圆的离心率． 12.设O是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点P关于O的对称点是Q，若，，求该椭圆的离心率． ******************************************************************************* 【3】核对解析（5-10分钟，筛选需看题目，变“不会”为“会”） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B B D BD ABD 1．【详解】由，知该椭圆的离心率.故选：A. 2.【详解】解析设该椭圆的半焦距为，长半轴长为， 根据题意有，可得，， 所以离心率. 故选：D. 3.【详解】直线的方程为，即，圆的方程为， 由题意知，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切， 所以，即，解得， 又，所以离心率，又，所以. 故选：C. 4.【详解】如图，，是中点，则， 轴，垂足为，， ∵，所以， 所以，，，即， ， ，则， 化简得， 即，， 故选：B． 5．【详解】设，，由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得， 可得，则， 设点，则，则， 所以 ， 则， 因为，则，则， 所以，所以， 故. 故选：B. 6．【详解】 如图，由于，与的交点在y轴上， 结合椭圆的对称性， 知道则， 代入， 求得，求得，故. 设与的交点在y轴上，为. 显然,,代入. 即，化简得，，即. 故选：D. 7．【详解】若焦点在轴上，则，且，故，解得， 若焦点在轴上，则，且，故，解得， 故选：BD 8．【详解】根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是，A正确； 当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大， 根据面积守恒规律， 知飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确； ，比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，C错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度的大小最大， 在远地点时向径最大，故速度的大小最小，D正确． 故选：ABD． 9．【详解】∵表示椭圆，∴且． 当时，则，∴， ∴，解得； 当时，则，∴， ∴，解得， 综上：或． 故答案为：3或． 10.【详解】因为轴右侧半椭圆方程为，则所对应的离心率为； 轴左侧半椭圆方程为，则所对应的椭圆的离心率为， 所以两个半椭圆离心率的乘积为. 故答案为： 11．【详解】由题意得，. 设，则，， ∴， 由得，， ∴，即， ∴离心率. 12.【详解】由题意，点P关于O的对称点是Q，所以点是线段的中点， 根据椭圆的对称性知，点是线段（为椭圆的右焦点）的中点， 则四边形为平行四边形； 由，得，则， 在平行四边形中，由，得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 由题意，， 又， 所以，则，即， 得，所以离心率. ******************************************************************************* 【4】反思总结（3-5分钟，重在做好错因分析和查漏补缺，但不一定都写出来） 解题点睛: 求椭圆离心率（或范围）的方法有三： ①根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可； ②根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关 离心率的方程（或不等式）求解； ③因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率. 个人感悟： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$