圆锥曲线与方程专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习18---圆锥曲线与方程专项训练 一、单选题 1．已知抛物线的焦点为，为上的一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 2．若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（   ） A． B． C． D． 3．椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则的值等于（    ） A．3 B．5 C．8 D．5或3 4．已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 6．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线与交于两点，若（为坐标原点，表示面积），则的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若，则曲线C为双曲线 C．若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 8．已知椭圆的离心率为，长轴长为，设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，则下列计算正确的是（   ） A．椭圆的标准方程为 B． C． D．若直线与椭圆相交于，两点，则 三、填空题 9．已知点在抛物线上，则抛物线的焦点坐标为 ；点到抛物线的准线的距离为 . 10．已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得的部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是 . 11．如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 12．已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线与的离心率之积为 . 四、解答题 13．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 14．已知直线，椭圆. (1)求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； (2)当时，求直线被椭圆截得的弦长. 15．已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，过点作斜率之积为的两条直线与椭圆的另一交点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线恒过定点． 16．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2. (1)求p的值； (2)直线与抛物线C交于A，B两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值. 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B A A D BCD ACD 1．B 【分析】根据题意可知AD⊥BD，利用抛物线的定义，可得∠ABD＝30°，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12. 【详解】因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD. 由抛物线定义知，所以∠ABD＝30°. 因为F到准线的距离为6， 所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12. 故选：B.    2．A 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为椭圆的长半轴长等于其焦距， 所以，解得. 故选：A 3．B 【分析】根据椭圆焦距的计算列式得出答案. 【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，焦距为2， 则，即， 所以，即. 故选：B. 4．A 【分析】设直线的方程为并与抛物线联立，由中点坐标可得，求得直线方程. 【详解】易知直线的斜率不为0，设方程为，， 联立，整理可得， ， 由中点为可得，可得， 因此直线的方程为，即. 故选：A 5．A 【分析】利用数形结合的思想，将等式两边平方后可看作曲线的方程，最后将看作是曲线上的点到原点距离的平方，结合图形求其最小值. 【详解】由题意得，， 将两边同时平方可得：， 即， 所以可看作是双曲线的右支上的点， 又如图所示， 双曲线的右支上的点到原点距离最小， 即的最小值为1，故的最小值为1. 故选：A. 6．D 【分析】先设直线方程再联立方程组，结合韦达定理及面积关系列式求出离心率即可. 【详解】设椭圆的半焦距为，则直线的方程为， 设，由 得，因为点在的内部，所以， 又，所以， 将代入，可得， 再将代入，可得，又，所以， 故的离心率． 故选：D. 7．BCD 【分析】根据曲线所表示的图形求出对应的参数的取值范围，可判断AB选项的正误；求出椭圆长轴长的表达式，可判断C选项的正误；利用双曲线的离心率公式可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确； 对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确； 对于C选项，当时，椭圆长轴长， 当时，椭圆长轴长，C正确； 对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得， 双曲线的离心率为， 且双曲线的离心率，故D正确. 故选：BCD. 8．ACD 【分析】由已知列出关于方程组求得后再求得，从而得椭圆方程；设，依题意得，化简并把用表示后得关于的恒等式，由恒等式知识可求得；将与椭圆方程联立，解出交点坐标后可得距离，从而判断各选项． 【详解】由题意，所以， 所以椭圆的标准方程为，A正确； 设，依题意得， 又，所以， 所以恒成立， 可得且，且，显然， 解得，B不正确，C正确； 由，解得，， 所以交点为，，D正确． 故选：ACD 9． 【分析】根据A在抛物线上，代入抛物线标准方程后可求出抛物线标准方程，进而求出焦点坐标以及准线方程，最后可求A到准线距离. 【详解】如图所示，    由题意得，因为在抛物线上， 所以将A坐标代入抛物线标准方程可得， 所以抛物线标准方程为. 于是可得抛物线焦点坐标为，即， 准线方程为，即， 所以A到准线的距离为. 故答案为：，. 10．2 【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案. 【详解】由椭圆，则，， 易知为椭圆的左右焦点， 由为椭圆上的点，则，可得， 所以，联立，解得， 当时，取得最小值，则取得最小值 如下图： ； 当时，取得最大值，则取得最大值，如下图： . 所以的最大值与最小值的比值为. 故答案为：. 11． 【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出，得到抛物线方程. 【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且． 设，，，则， 所以，所以． 作轴于点，则． 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，， 所以四边形的面积为， 解得， 故抛物线的方程为. 故答案为：. 12． 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的一条渐近线方程为，根据渐近线关于直线对称,且夹角为30°,得到渐近线斜率值，进而得到离心率乘积即可. 【详解】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内直线下方;双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内直线上方， 因为这两条渐近线关于直线对称,且夹角为， 所以渐近线的倾斜角为，渐近线的倾斜角为, 则 离心率与渐近线斜率关系式为. 故与的离心率之积为 故答案为：. 13．(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可得； （2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求. 【详解】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为， 14．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）整理直线方程，建立方程组，可得答案； （2）联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式，可得答案. 【详解】（1）因为，整理可得， 由，解得， 此时，不管取何值，必成立. 所以直线必过定点. （2）当时，直线的方程为， 设直线与椭圆的交点为， 由，消去得：， ，， . 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率以及顶点坐标即可求解， （2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据两点斜率公式化简得，即可求解. 【详解】（1）由题意知：， 故椭圆的标准方程为：． （2）由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线的方程为： ．联立： 所以 由 即（舍去）或 所以直线的恒过一定点． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 16．(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线的几何性质可得； （2）利用韦达定理，结合求解可得. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 因为焦点F到准线的距离为2，所以. （2）由（1）可得抛物线方程为，联立得， 因为直线与抛物线C有两个交点， 所以，，解得且， 设，则， 得， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 所以，解得. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$