8.3 动能和动能定理-【无畏物理】2024-2025学年高一物理同步学案（人教版2019必修二）

高中物理 必修二 第八章 机械能守恒定律 8.3 动能和动能定理 动能的表达式 知识点一 1．定义：物体由于运动而具有的能量叫动能，用符号Ek表示。 2．表达式：Ek＝mv2。 动能是状态量，动能公式中的速度v是瞬时速度。 3．单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳。 1 kg(m/s)2＝1 N·m＝1 J。 4．动能是标量，只有大小没有方向。计算动能时一般都是以地面为参考系。 动能定理 知识点二 1．动能定理的内容 (1)力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量。 (2)末状态的动能与初状态的动能之差，即ΔEk＝mv－mv。 (3)动能的变化量是过程量，ΔEk＞0，表示物体的动能增加；ΔEk＜0，表示物体的动能减少。 2．动能定理的表达式 (1)W＝mv－mv。 (2)W＝Ek2－Ek1。 说明：式中W为合外力做的功，它等于各力做功的代数和。 说明：力对物体做的功是指物体所受的一切外力合外力对它做的功。 3．动能定理的适用范围 不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况。 4．对动能定理的理解 (2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。 ①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。 ②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因， 做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。 对动能的理解 考点一 【例1.1】关于运动物体所受的合外力、合外力做的功、物体的动能的变化，下列说法正确的是(　B　) A．运动物体所受的合外力不为零，合外力必做功，物体的动能肯定要变化 B．运动物体所受的合外力为零，则物体的动能肯定不变 C．运动物体的动能保持不变，则该物体所受合外力一定为零 D．运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，其动能要变化 [解析：关于运动物体所受的合外力、合外力做的功、物体动能的变化三者之间的关系有下列三个要点： (1)若运动物体所受合外力为零，则合外力不做功(或物体所受外力做功的代数和必为零)，物体的动能绝对不会发生变化．(2)物体所受合外力不为零，物体必做变速运动，但合外力不一定做功；合外力不做功，则物体动能不变化．(3)物体的动能不变，一方面表明物体所受的合外力不做功；同时表明物体的速率不变(速度的方向可以不断改变，此时物体所受的合外力只是用来改变速度方向产生向心加速度，如等速率圆周运动)．] 【例1.2】一物块由静止开始从粗糙斜面上的某点加速下滑到另一点，在此过程中重力对物块做的功等于(　D　) A．物块动能的增加量 B．物块重力势能的减少量与物块克服摩擦力做的功之和 C．物块重力势能的减少量和物块动能的增加量以及物块克服摩擦力做的功之和 D．物块动能的增加量与物块克服摩擦力做的功之和　 [解析：对物体列出动能定理有WG－WFf＝ΔEk，加速下滑，则动能增加，ΔEk>0，WG＝WFf＋ΔEk，由该式可得重力对物块做的功等于物块动能的增加量与物块克服摩擦力做的功之和，所以D选项正确．] 【练习1.1】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)速度大的物体动能也大。 (×) (2)某物体的速度加倍，它的动能也加倍。 (×) (3)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化。 (√) (4)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零。 (×) 【练习1.2】(多选)关于动能的理解，下列说法正确的是(　AB　) A．一般情况下，Ek＝mv2中的v是相对于地面的速度 B．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关 C．物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等、方向相反 D．当物体以不变的速率做曲线运动时其动能不断变化 [解析：动能是标量，由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关。动能具有相对性，无特别说明，一般指相对于地面的动能。选项A、B正确。] 【练习1.3】关于物体的动能，下列说法正确的是(　C　) A． 物体速度变化，其动能一定变化 B． 物体所受的合外力不为零，其动能一定变化 C． 物体的动能变化，其运动状态一定发生改变 D． 物体的速度变化越大，其动能变化一定也越大 [解析：若A物体速度的方向变化而大小不变，则其动能不变化，故A错误；B中物体所受合外力不为零，只要速度大小不变，其动能就不变化，如匀速圆周运动中，物体所受合外力不为零，但速度大小始终不变，动能不变，故B错误；C中，物体动能变化，其速度一定发生变化，故运动状态改变，故C正确；D中，物体速度变化若仅由方向变化引起，其动能可能不变，如匀速圆周运动中，速度变化，但动能始终不变，故D错误。] 【练习1.4】（多选）某物体在力F的作用下从光滑斜面的底端运动到斜面的顶端，动能的增加量为ΔEk，重力势能的增加量为ΔEp，则下列说法正确的是(　ABC　) A．重力所做的功等于－ΔEp B．力F所做的功等于ΔEk＋ΔEp C．合外力对物体做的功等于ΔEk D．合外力对物体所做的功等于ΔEk＋ΔEp [解析：物体从斜面底端运动至斜面顶端，重力做负功，重力所做的负功等于重力势能的增加量，A对；对物体列动能定理有，B对；合外力做功等于物体动能改变量ΔEk，C对D错；] 动能定理的应用 考点二 【例2.1】一个25 kg的小孩从高度为3.0 m的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0 m/s.取g＝10 m/s2，关于力对小孩做的功，下列结论正确的是(　A　) A．合外力做功50 J　　　 B．阻力做功500 J C．重力做功500 J D．支持力做功50 J [解析：重力做功WG＝mgh＝25×10×3 J＝750 J，C错；小孩所受支持力方向上的位移为零，故支持力做的功为零，D错；合外力做的功W合＝Ek－0，即W合＝mv2＝×25×22 J＝50 J，A正确；WG－W阻＝Ek－0，故W阻＝mgh－mv2＝750 J－50 J＝700 J，B错．] 【练习2.1】(多选)一物体在运动过程中，重力做了－2 J的功，合力做了4 J的功，则(　BD　) A．该物体动能减少，减少量等于4 J B．该物体动能增加，增加量等于4 J C．该物体重力势能减少，减少量等于2 J D．该物体重力势能增加，增加量等于2 J [解析：重力做负功，重力势能增加，增加量等于克服重力做的功，选项C错误，D正确；根据动能定理得该物体动能增加，增加量为4 J，选项A错误，B正确。] 【练习2.2】（多选）某人从一楼匀速率上到三楼的过程中，下列说法正确的是(　CD　) A．地板对人的支持力做的功等于人的重力势能的增加 B．地板对人的支持力做的功等于人的机械能的增加 C．地板对人的支持力做的功为零 D．人克服重力做的功等于其重力势能的增加　 [解析：由功的定义知，做功的两个因素是力和沿力方向上的位移，当人走路过程中，脚站在地面上，有支持力，但无位移；而当人走动，脚离开地面，有位移却无支持力，所以地板对人的支持力不做功，而克服重力做的功等于其重力势能的增加，选项C、D正确．] 【练习2.3】质量为4 kg的物体被人由静止开始向上提升0.25 m后速度达到1 m/s，g取10 m/s2，则下列判断错误的是(　D　) A．人对物体做的功为12 J B．合外力对物体做的功为2 J C．物体克服重力做的功为10 J D．人对物体做的功等于物体增加的动能 [解析：由动能定理知，合外力对物体做的功等于物体动能的增加量，W人－mgh＝mv2－0，得人对物体做的功W人＝mgh＋mv2＝12 J，A正确，D错误；合外力做的功W合＝mv2＝2 J，B正确；物体克服重力做的功为mgh＝10 J，C正确。选D。] 【练习2.4】一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(方向与原来相反)，在这段时间内，水平力所做的功为(　 A 　) A．mv2 B．－mv2 C．mv2 D．－mv2　 [解析：由动能定理得WF＝m(－2v)2－mv2＝mv2，A正确。] 动能定理与曲线运动 考点三 【例3.1】(多选)如图所示，质量为m的小车在水平恒力F的推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止开始运动至高为h的坡顶B处，获得的速度为v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是(　ABD　) A．小车克服重力所做的功是mgh B．合力对小车做的功是mv2 C．推力对小车做的功是mv2＋mgh D．阻力对小车做的功是mv2＋mgh－Fx [解析：小车克服重力所做的功W＝mgh，A正确；由动能定理可知，小车受到的合力所做的功等于小车动能的变化量，即W合＝ΔEk＝mv2，B正确；由动能定理可知，W合＝W推＋W重＋W阻＝mv2，所以推力对小车做的功W推＝mv2－W阻－W重＝mv2＋mgh－W阻，C错误；阻力对小车做的功W阻＝mv2－W推－W重＝mv2＋mgh－Fx，D正确。] 【例3.2】如图用同种材料制成的一个轨道，AB段为圆弧，半径为R，水平放置的BC段长度为R.一小物块质量为m，与轨道间动摩擦因数为μ，当它从轨道顶端A由静止下滑时，恰好运动到C点静止，那么物块在AB段克服摩擦力做的功为(　B　) A．μmgR B．mgR(1－μ) C． D．　 [解析：全过程应用动能定理mgR－W－μmgR＝0 则W＝mgR(1－μ)，故选B.] 【练习3.1】有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是(　C　) A．木块所受的合力为零 B．因木块所受的力对其都不做功，所以合力做功为零 C．重力和摩擦力的合力做的功为零 D．重力和摩擦力的合力为零 [解析：物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C正确，B、D错误。] 【练习3.2】如图所示。AB为固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道的B点与水平地面相切，其半径为R。质量为m的小球由A点静止释放，小球通过光滑的水平面BC滑上固定曲面，恰到达最高点D，D到地面的高度为h(已知h＜R)，求小球在曲面上克服摩擦力所做的功Wf。 [解析：从A到D的过程，由动能定理可得mg(R－h)－Wf＝0－0；解得克服摩擦力做的功Wf＝mg(R－h)。] 【练习3.3】粗糙的圆弧的半径为0.45 m，有一质量为0.2 kg的物体自最高点A从静止开始下滑到圆弧最低点B，然后沿水平面前进0.4 m到达C点停止。 设物体与轨道间的动摩擦因数为0.5(取g＝10 m/s2)，求： (1)物体到达B点时的速度大小； (2)物体在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功。 [解析：(1)物体从B运动到C的过程，由动能定理得－μmgx＝0－mv，解得vB＝2 m/s。 (2)物体从A运动到B的过程，由动能定理得mgR－Wf＝mv－0，解得Wf＝0.5 J。] 【例3.3】如图所示，粗糙水平轨道AB与半径为R的光滑半圆形轨道BC相切于B点，现有质量为m的小球(可看成质点)以初速度v0＝，从A点开始向右运动，并进入半圆形轨道，若小球恰好能到达半圆形轨道的最高点C，最终又落于水平轨道上的A处，重力加速度为g，求： (1)小球落到水平轨道上的A点时速度的大小vA； (2)水平轨道与小球间的动摩擦因数μ。 [解析：(1)mg＝m，得vC＝，从C到A由动能定理得mg·2R＝mv－mv，得vA＝。 (2)AB的距离为xAB＝vCt＝×＝2R从A出发回到A由动能定理得－μmgxAB＝mv－mv，解得μ＝0.25。] 【练习3.4】如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球(可视为质点)，现给小球一打击使其在瞬间得到一个水平初速度v₀，若v₀大小不同，则小球能够上升到的最大高度(距离底部)不同，下列说法中不正确的是（ B ） A.如果，则小球能够上升的最大高度等于0.5R B.如果，则小球能够上升的最大高度等于2R C.如果，则小球能够上升的最大高度小于1.5R D.如果，则小球能够上升的最大高度等于2R [解析：如果，则小球上升的最大高度为h=0.5R，A正确。如果，小球经过与圆心等高点后在某位置脱离轨道做斜抛运动，设小球能够上升的最大高度为h'，因为小球在最高点速度不为零，则有，解得，C正确。同理，如果，由以上分析可知，小球经过与圆心等高点后在某位置脱离轨道做斜抛运动，上升的最大高度小于2R，B错误。只有B符合题意。] 【练习3.5】如图所示，质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内作半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，求在此过程中小球克服空气阻力所做的功为多少？ [解析：小球在最低点受三个力：拉力FT＝7mg、重力mg和切向阻力．在半径方向：FT－mg＝① ；小球在最高点受切向阻力和重力mg作用在沿半径方向：mg＝②；在从最低点运动到最高点过程中受三个力作用，绳拉力不做功，只有重力和阻力做功，由动能定理－mg·2R－W克＝mv－mv③ 由①②③得W克＝mgR] 多过程问题与动能定理 考点四 【动能定理的两种列式方法】 【例4.1】一个物体从高出地面H处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面后又进入沙坑h停止(如图所示)．求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍． [解析：解法一：选物体为研究对象，先研究自由落体过程，只有重力做功，设物体质量为m， 落到沙坑表面时速度为v，根据动能定理有 mgH＝mv2－0 ① 再研究物体在沙坑中的运动过程，重力做正功，阻力Ff做负功，根据动能定理有mgh－Ffh＝0－mv2 ② 由①②两式解得＝ 可见物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的倍． 解法二：研究物体运动的全过程，根据动能定理有 mg(H＋h)－Ffh＝0 解得＝] 【例4.2】如图所示，质量m＝1 kg的木块静止在高h＝1.2 m的平台上，木块与平台间的动摩擦因数μ＝0.2，用水平推力F＝20 N，使木块产生位移l1＝3 m时撤去，木块又滑行l2＝1 m后飞出平台，求木块落地时速度的大小？ [解析：解法一：取木块为研究对象．其运动分三个过程，先匀加速前进l1，后匀减速l2，再做平抛运动，对每一过程，分别列动能定理得：Fl1－μmgl1＝mv；－μmgl2＝mv－mv；mgh＝mv－mv ；解得：v3＝11.3 m/s 解法二：对全过程由动能定理得 Fl1－μmg(l1＋l2)＋mgh＝mv2－0 代入数据：v＝11.3 m/s] 【练习4.1】如图物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°，求物体能在水平面上滑行的距离。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) [解析：物体运动有两个过程，先在斜面上运动，然后在水平面上滑行。 对物体在斜面上和水平面上受力分析如图所示。 方法一　分过程列式： 设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段FN1＝mgcos 37° 故Ff1＝μFN1＝μmgcos 37° 由动能定理得：mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1＝mv2－0 设物体在水平面上滑行的距离为l2 摩擦力Ff2＝μFN2＝μmg 由动能定理得－μmg·l2＝0－mv2 由以上各式可得l2＝3.5 m。 方法二　全过程列式：mgl1sin 37°－μmgl1cos 37°－μmgl2＝0，解得l2＝3.5 m。] 【练习4.2】如图所示，质量为m的物体，从高为h、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，最后停在水平面上，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，求： (1)物体滑至斜面底端时的速度． (2)物体在水平面上滑过的距离． [解析：(1)由动能定理可得mgh＝mv2，v＝ (2)设物体在水平面上滑过的距离为l，由动能定理 －μmgl＝0－mv2，l＝＝ 此题也可对整个过程用动能定理求解 mgh－μmgl＝0－0 ，整理得l＝] 【练习4.3】如图所示ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为θ的斜面，CD段是水平的，BC是与AB和CD都相切的一段圆弧，其长度可以略去不计．一质量为m的小滑块在A点从静止滑下，最后停在D点，现用一沿着轨道方向的拉力拉滑块，使它缓缓地由D点回到A点，则拉力对滑块做的功等于多少(设滑块与轨道间的动摩擦因数为μ)(　B　) A．mgh　　　　　　　　　 　 B．2mgh C．μmg(l＋) D．μmgl＋μmghcot θ　 【一题多问】(2)若不拉物体，仅在D点给物体一初速度v0，则v0多大时，恰能使物体沿原路径回到A点？ (3)使斜面倾角变小为θ′，若不拉物体，仅在D点给物体一初速度v0′，恰好能使物体沿路径DC′B′A回到A点，试比较v0′与v0的大小． [解析：滑块先在斜面上加速，后在水平面上减速停下．在整个过程中，重力做正功WG＝mgh，摩擦力做功为WFf，支持力始终不做功．全程动能定理有mgh＋WFf＝0① 由D回A，拉力做功WF，摩擦阻力做功仍为WFf，重力做功为WG＝－mgh，由动能定理WF＋WFf－mgh＝0② 由①②得WF＝2mgh] (2)对返回过程由动能定理 WFf－mgh＝0－mv 而WFf＝－mgh，故mv＝2mgh 所以v0＝2 (3)物体沿ABCD下滑过程中摩擦力做的功WFf可表示为：WFf＝－μmgcos θ·－μmgl 物体沿AB′C′D下滑过程中摩擦力做的功′ 由图可知：·cos θ＋l＝·cos θ′＋l′所以WFf＝WFf′，且均为－mgh. 沿DC′B′A返回过程，摩擦阻力做功仍为WFf′，用动能定理可得： v0′＝2 所以沿路径DC′B′A返回到A点，滑块所需的初速度v0′与v0相等．] 动能定理解决运动学问题 考点五 【例5.1】质量为3 000 t的火车，以额定功率自静止出发，所受阻力恒定，经过103 s行驶12 km达最大速度vm＝72 km/h，试分析： (1) 火车运动性质． (2) 火车的额定功率. (3) 运动中所受阻力． [解析：火车达最大速度之前，牵引力F＝是一个变量，由牛顿第二定律a＝可知，火车做加速度减小的加速运动，直到匀速． 设火车的额定功率为P，阻力为Ff，由于牵引力的功为W1＝Pt， 据动能定理得Pt－Ffl＝mvm2－0 ① 又P＝F·vm＝Ffvm ② 由①②式可得P＝1.5×106 W，Ff＝7.5×104 N] 【例5.2】（多选）一起重机用钢绳提升货物，当起重机的功率为P₁时，货物以速度v₁向上做匀速直线运动.货物的质量为m，重力加速度为g.起重机的功率增大为P₂且保持该功率不变，从该时刻开始计时，继续提升重物，经过时间t货物再次做匀速运动，空气阻力不计，下列说法正确的是( BC ) A.在时间t内，货物做匀加速直线运动 B.在时间t内，货物最大速度为 C.在时间t内，货物受到的最大加速度为 D.在时间t内，货物上升的高度为 【练习5.1】一辆汽车质量为m，从静止开始起动，沿水平面前进了L后，就达到了最大行驶速度vm，设汽车的牵引功率保持不变，所受阻力为车重的k倍．求：(1)汽车的牵引功率． (2)汽车从静止到开始匀速运动所需的时间． [解析：因为汽车发动机的功率恒定，所以汽车在起动过程中所受的牵引力为变力，且在汽车起动过程中的初始阶段F>Ff，汽车做变加速运动，随着汽车速度的增大，据P＝Fv可知，汽车的牵引力将逐渐减小，加速度也随之减小，但仍做加速运动．当牵引力F＝Ff时，汽车的加速度为零，此时汽车达到最大的速度，之后汽车将做匀速运动．由于在达到最大速度前牵引力是变力，因此不能用牛顿第二定律求解，但可用动能定理求解． (1)当F＝Ff时，v＝vm 牵引功率P＝Fv＝Ffvm＝kmgvm ① (2)汽车在运动过程中因功率恒定，所以牵引力做功 W1＝Pt ② 因阻力恒定，所以阻力做功W2＝Ff l＝kmgl③ 根据动能定理W1－W2＝mvm2④ 将②③两式代入④中得Pt－kmgl＝mvm2 得t＝＋.] 方法总结：因为机车以额定功率启动并运动，因此汽车的牵引力是变力，其牵引力做的功表示为W＝Pt. 【练习5.2】在百度世界大会上，百度与一汽共同宣布：L4级别完全自动化无人驾驶乘用车将批量生产。有关资料检测表明，当无人驾驶车正以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，遇到紧急情况需立即刹车(忽略无人驾驶汽车反应时间)。设该车刹车时产生的加速度大小为8 m/s2。将上述运动简化为匀减速直线运动，直到汽车停下。已知无人驾驶汽车质量为1.8 t。 求在此过程中该无人驾驶汽车： (1)动能如何变化？ (2)前进的距离x是多少？ [解析：(1)无人驾驶汽车做匀减速直线运动，其速度不断减小，质量不变，由Ek＝mv2得汽车的动能不断减小。 (2)由牛顿第二定律知受到阻力的大小f＝ma，解得f＝1.44×104 N 初动能Ek＝mv2，解得Ek＝3.6×105 J，减速过程由动能定理得－fx＝0－Ek，解得x＝25 m。] 【练习5.3】甲、乙两车汽车的质量之比m1∶m2＝2∶1，它们刹车时的初动能相同，若它们与水平地面之间的动摩擦因数相同，则它们滑行的距离之比s1∶s2等于(　B　) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶4 D．4∶1 [解析：对两辆汽车由动能定理得：－μm1gs1＝0－Ek，－μm2gs2＝0－Ek，s1∶s2＝m2∶m1＝1∶2，B正确。] 【练习5.4】一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行x1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s的速度行驶，在同样路面上急刹车后滑行的距离x2应为(　A　) A．6.4 m B．5.6 m C．7.2 m D．10.8 m　 [解析：两次急刹车过程中汽车受到的阻力f大小是相同的，刹车过程中阻力f做负功，对第一次刹车过程有，对第二次过程有，解得x2=6.4m ，A对] 应用动能定理求解变力做功 考点六 【例6】如图质量为m的物体置于光滑水平面上，绳子的一端固定在物体上，另一端通过定滑轮以恒定的速率v0拉动绳头．物体由静止开始运动，当绳子与水平方向成θ＝60°夹角时，绳中的拉力对物体做了多少功？ [解析：绳子中的拉力是变力，要计算这个力做的功，只能利用动能定理，其中物体的末速度可以由速度的分解求得．绳子与水平面成60°夹角时，物体的速度为v，如图，由速度分解得v＝＝＝2v0 因为物体开始是静止状态，所以根据动能定理可以计算出绳子的拉力做的功为W＝mv2－0＝2mv.] 【练习6.1】在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为(　C　) A．v0＋ B．v0－ C． D．　 [解析：在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有mgh＝mv2－mv 解得v＝] 【练习6.2】质量为m的汽车从A点出发做匀速圆周运动，圆周半径为R，汽车绕行一周后又回到A点．若路面对汽车的阻力是车重的k倍，则绕行一周牵引力做功等于(　D　) A．0 B．mgR C．kmgR D．2πkmgR　 [解析：汽车动能不变，故由动能定理可知合力做功为零，W总＝0，所以W牵＝W阻＝kmg·2πR.] 【练习6.3】在离地面高为h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，当它落到地面时速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于(　C　) A．mgh－mv2－mv B．－mv2－mv－mgh C．mgh＋mv－mv2 D．mgh＋mv2－mv　 [解析：用WFf表示物块上升和下落的全过程中空气阻力所做的功，由动能定理得mgh＋WFf＝mv2－mv，则物块克服阻力做功为W＝－WFf＝mgh＋mv－mv2，故C对．本题也可以直接用功能关系分析，物块机械能的减少量等于它克服空气阻力所做的功，则有W＝(mgh＋mv)－mv2.] 动能定理的整体法与隔离法 考点七 【例7.1】如图所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮K，一条不可伸长的轻绳绕过K分别与物块A、B相连，A、B的质量分别为mA、mB，开始时系统处于静止状态。现用一水平恒力F拉物块A，使物块B上升。已知当B上升距离为h时，速度为v。求此过程中物块A克服摩擦力所做的功。(重力加速度为g) [解析：A克服摩擦力所做的功记为Wf，对于A与B组成的系统，当B上升距离为h时，恒力F做功为Fh，B的重力做功为－mBgh，轻绳对A、B的拉力对A、B做功的代数和等于零，根据动能定理得Fh－Wf－mBgh＝(mA＋mB)v2－0，解得Wf＝(F－mBg)h－(mA＋mB)v2。] 【例7.2】（多选）如图所示，质量为M的木块静止在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射中木块并最终留在木块中与木块一起以速度v运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L，子弹进入木块的深度为L′.若木块对子弹的阻力F视为恒定，则下列关系式中正确的是(　ACD　) A．FL＝Mv2 B．FL′＝mv2 C．FL′＝mv－(M＋m)v2 D．F(L＋L′)＝mv－mv2　 [解析：根据动能定理：对子弹：－F(L＋L′)＝mv2－mv，选项D正确；对木块：FL＝Mv2，A正确；由以上两式整理可得FL′＝mv－(M＋m)v2，C正确．] 课后巩固 1.【难度2】关于物体动能变化与做功的关系，下列说法正确的是(　D　) A．只要动力对物体做功，物体的动能就增加 B．只要物体克服阻力做功，物体的动能就减少 C．动力、阻力都做功，物体动能不变 D．外力对物体做功的代数和等于物体末动能与初动能的差 [解析：动能增加与否要看合外力是否做正功，如果阻力做负功大于动力做正功，即合外力做负功，动能减少，反之若物体克服阻力做功小于动力对物体做功，物体动能增加，A、B、C错D对；]　 2．【难度2.5】物体在合外力作用下做直线运动的v­t图像如图，下列表述正确的是(　A　) A．在0～1 s内，合外力做正功 B．在0～2 s内，合外力总是做负功 C．在1～2 s内，合外力不做功 D．在0～3 s内，合外力总是做正功 [解析：由v­t图知0～1 s内，v增加，动能增加，由动能定理可知合外力做正功，A正确；1～2 s内v减小，动能减小，合外力做负功，0～3 s内，合外力做功为零，B、C、D错误。] 3.【难度3】(多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中速度的变化和动能的变化分别是(　AD　) A．Δv＝10 m/s　　 B．Δv＝0 C．ΔEk＝1 J D．ΔEk＝0 [解析：弄清速度是矢量而动能是标量，是分析问题的关键。由于速度是矢量，故Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s。而动能是标量，初、末状态的速度大小相等，故动能相等，因此ΔEk＝0，故A、D正确。] 4．【难度3】人在距地面h高处抛出一个质量为m的小球，落地时小球的速度为v，不计空气阻力，人对小球做的功是(　D　) A．mv2 B．mgh＋mv2 C．mgh－mv2 D．mv2－mgh [解析：对全过程运用动能定理得mgh＋W＝mv2－0，解得W＝mv2－mgh，故D正确，A、B、C错误。] 5．【难度3】一质点做匀加速直线运动，在通过某段位移s内速度增加了v，动能变为原来的9倍。则该质点的加速度为(　B　) A． B． C． D． [解析：设质点的初速度为v0，则动能Ek1＝mv，由于末动能变为原来的9倍，则可知末速度为原来的3倍，故v′＝3v0，Δv＝2v0＝v，故平均速度＝＝2v0＝v，根据位移公式可知，＝＝v，所以a＝＝，B正确。] 6．【难度3】（多选）A、B两个质量相同的小球分别从图示高和宽都相同的台阶边缘位置水平抛出，A球从第一级台阶抛出，B球从第四级台阶抛出，都落在第五级台阶边缘M点。忽略空气阻力，关于A、B两小球的说法正确的是（ ABD ） A. A球下落的时间是B球的两倍 B. A球的初速度是B球初速度的两倍 C. 落到M点时A球的动能是B球的两倍 D. A、B两小球到达M点时速度方向相同 7．【难度3】如图质量m＝10 kg的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.4，g取10 m/s2，今用F＝50 N的水平恒力作用于物体上，使物体由静止开始做匀加速直线运动，经时间t＝8 s后，撤去F，求： (1)力F所做的功． (2)8 s末物体的动能． (3)物体从开始运动直到最终静止的过程中克服摩擦力所做的功． [解析：(1)在运动过程中，物体所受到的滑动摩擦力为Ff＝μmg＝0.4×10×10 N＝40 N 由牛顿第二定律可得物体加速运动的加速度a为 F－Ff＝ma所以a＝ m/s2＝1 m/s2 由运动学公式可得在8 s内物体的位移为 l＝at2＝×1×82 m＝32 m 所以力F做的功为 W＝Fl＝50×32 J＝1 600 J (2)由动能定理可得在8 s末物体的动能：Fl－Ffl＝mv2－0＝Ek 所以Ek＝(1 600－40×32) J＝320 J (3)对整个过程利用动能定理列方程求解WF＋WFf＝0－0 所以|WFf|＝WF＝1 600 J] 8.【难度3】如图一质量为2 kg的铅球从离地面2 m高处自由下落，陷入沙坑2 cm深处，求沙子对铅球的平均阻力大小。(g取10 m/s2) [解析：方法一　(应用牛顿第二定律与运动学公式求解) 设铅球做自由落体运动到沙面时的速度为v，则有v2＝2gH 在沙坑中运动的阶段，小球做匀减速运动的加速度大小记为a，则有v2＝2ah。联立两式解得a＝g 铅球在沙坑中运动时受到的平均阻力记为Ff，由牛顿第二定律得Ff－mg＝ma，所以Ff＝mg＋ma＝mg＝2 020 N。 方法二　(应用动能定理分段求解) 铅球自由下落到沙面时的速度记为v，由动能定理得mgH＝mv2－0，铅球在沙中受到的平均阻力大小记为Ff。 由动能定理得mgh－Ffh＝0－mv2，联立以上两式得Ff＝mg＝2 020 N。 方法三　(应用动能定理全程求解) 铅球下落全过程都受重力，只有进入沙中铅球才受阻力Ff。 重力做功WG＝mg(H＋h)，而阻力做功Wf＝－Ffh 由动能定理得mg(H＋h)－Ffh＝0－0，代入数据得Ff＝2 020 N。] 9.【难度3】如图所示，运动员驾驶摩托车做腾跃特技表演．运动员从斜坡底部的A处，以v0＝10 m/s的初速度保持摩托车以额定功率P＝1.8 kW行驶．经t＝13 s的时间冲上斜坡，然后从斜坡顶部的B点水平飞出，已知人和车的总质量m＝180 kg，坡顶高度h＝5 m，落地点距B点的水平距离x＝16 m，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.求：摩托车在冲上坡顶的过程中克服摩擦力做的功． [解析：摩托车从B点水平飞出做平抛运动，飞行时间 t′＝ ＝1 s ①； 抛出速度v＝＝16 m/s②，设摩托车从A到B克服摩擦力做功为WFf 由动能定理Pt－mgh－WFf＝mv2－mv③ WFf＝Pt－mgh－m(v2－v)＝3.6×102 J] 10.【难度3】如图所示为皮带传输机简图，其顶端为水平且高度为3 m．将质量为50 kg的货物轻轻放在皮带传输机底端，运动至顶端后抛至高度为2.2 m的平板车上，落点与抛出点间的水平距离为0.8 m．求在输送货物期间皮带对货物做的功(g＝10 m/s2) [解析：设皮带对货物所做的功为W，货物自平台上抛出时的速度为v0，货物由静止到顶端的过程中根据动能定理得W－mgh1＝mv－0①，货物抛出后，由平抛运动规律得 h1－h2＝gt2② x＝v0t③ 由①②③得W＝1 600 J] 1.【难度3】(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s。如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是(　BC　) A．力F对甲物体做功多 B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多 C．甲物体获得的动能比乙大 D．甲、乙两个物体获得的动能相同 [解析：由功的公式W＝Flcos α＝Fs可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－Ffs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，即甲物体获得的动能比乙大，C正确，D错误。] 2.【难度3】一人用力踢质量为1 kg的静止足球，使足球以10 m/s的水平速度飞出，设人踢足球的平均作用力为200 N，足球在水平方向滚动的距离为20 m，则人对足球做的功为(g取10 m/s2)(　A　) A．50 J　　　 B．200 J　　　 C．4 000 J　　　 D．6 000 J [解析：人对足球做功的过程只是在踢球的瞬间，球在空中飞行以及在地面上滚动的过程中，都不是人在做功，所以人对足球做功的过程就是足球获得动能的过程。根据动能定义Ek＝mv2得，人对足球做的功为50 J，故A正确。] 3.【难度3】如图所示，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度，木箱获得的动能一定(　A　) A．小于拉力所做的功 B．等于拉力所做的功 C．等于克服摩擦力所做的功 D．大于克服摩擦力所做的功 [解析：受力分析，找到能影响动能变化的是那几个物理量，然后观测这几个物理量的变化即可。木箱受力如图，木箱在移动的过程中有两个力做功，拉力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可知即：WF－Wf＝mv2－0，所以动能小于拉力做的功，故A正确，B错误；无法比较动能与摩擦力做功的大小，C、D错误。] 4.【难度3】如图所示，ABC是一条长轨道，斜面和水平面动摩擦因数相同，一质量为m的木块(可视为质点)，在A点由静止释放，最后停在C点；现在改变斜面的倾角，如图中虚线AB′所示，仍从A点由静止释放该小木块，则木块最终将停在(不计木块通过转折点B点或B′点的能量损失)(　B　) A．C点左侧 B．C点 C．C点右侧 D．无法确定 [解析：设A距离地面的高度为h，动摩擦因数为μ，斜面的倾角为θ，对全过程运用动能定理，有mgh－μmgcos θs1－μmgs2＝0，整理得mgh－μmg(s1cos θ＋s2)＝0，而s1cos θ＋s2等于OC的长度，与倾角无关故停的位置不变，B正确。] 5.【难度3】在水平路面上，有一辆以36 km/h行驶的客车，在车厢后座有一位乘客甲，把一个质量为4 kg的行李以相对客车5 m/s的速度抛给前方座位的另一位乘客乙，则行李的动能是(　C　) A．500 J　　　 B．200 J　　　 C．450 J　　　 D．900 J [解析：行李相对地面的速度v＝v车＋v相对＝15 m/s，所以行李的动能Ek＝mv2＝450 J，选项C正确。] 1.【难度3】在某田赛训练基地备战运动员在艰苦地训练，设某运动员臂长为L，将质量为m的铅球推出，铅球出手的速度大小为v0，方向与水平方向成30°角，则该运动员对铅球所做的功是(　A　) A.　　　　　　 B．mgL＋mv C.mv D．mgL＋mv　 [解析：设运动员对铅球做功为W，由动能定理W－mgLsin 30°＝mv，所以W＝mgL＋mv.] 2.【难度3】如图板长为l，板的B端静止放有质量为m的小物体P，物体与板间动摩擦因数为μ，开始时板水平，若缓慢转过一个小角度α的过程中，物体保持与板相对静止，则这个过程中(　D　) A．摩擦力对P做功为μmgcos α·l(1－cos α) B．摩擦力对P做功为mgsin α·l(1－cos α) C．弹力对P做功为mgcos α·lsin α D．板对P做功为mglsin α　 [解析：摩擦力的方向与木块运动方向垂直，摩擦力不做功，A、B错；滑块受重力、支持力和静摩擦力，重力做功为-mgLsinα，摩擦力不做功，根据动能定理，有WG+Wf+WN=0，所以板对P做功WN=mgLsinα，C错D对；] 3.【难度3.5】 如图光滑斜面的顶端固定一弹簧，一物体向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是(　A　) A．mgh－mv2 B．mv2－mgh C．－mgh D．－(mgh＋mv2)　 [解析：小球从A点运动到C点的过程中，重力和弹簧的弹力对小球做负功，由于支持力与小球位移方向始终垂直，故支持力对小球不做功，由动能定理，可得WG＋WF＝0－mv2，重力做的功为WG＝－mgh，则弹簧的弹力对小球做的功为WF＝mgh－mv2，A正确。] 4．【难度3.5】（多选）质量为m的炮弹飞出炮筒时速度为v，炮筒长L，设火药对炮弹推力恒定不变，则(　ABC　) A．火药推力对炮弹做功为mv2 B．火药推力的平均功率为 C．火药推力的大小为 D．炮弹在炮筒中运动时间为　 [解析：根据动能定理可得，推力对炮弹做的功W=，A对；火药对炮弹推力恒定不变，炮弹在炮筒中做匀加速直线运动，时间，D错；火药推力的平均功率，B对；根据动能定理有，所以，C对] 5．【难度3.5】从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是(　A　) A　　　　 B　　　　　 C　　　　 D [解析：小球做竖直上抛运动时，速度v＝v0－gt，根据动能Ek＝mv2得Ek＝m(v0－gt)2，Ek与t成二次函数关系，开口向上，小球下落时，Ek＝mv2＝t2，Ek与t成二次函数关系，开口向上，故A正确。] 6.【难度3.5】在光滑的水平面上，一物体以10 m/s的速度匀速运动，某时刻(t=0)受到一个大小随时间变化、方向处于物体初速度所在竖直平面内的外力F，力F作用了2s，在0~2s内物体在水平面上运动的加速度大小a随时间t变化的关系图象如图所示。已知物体的质量为m=2.0 kg。下列说法正确的是（ D ） A．外力F的最大值是8N B．2s末物体的速度大小是14 m/s C．物体在0～2s内的位移大小可能是24 m D．0~2 s内外力F对物体做的功可能为96 J 7.【难度3.5】滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，经一平台后水平飞离B点，地面上紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图所示．斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数均为μ.假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变．求： (1)滑雪者离开B点时的速度大小． (2)滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离x. [解析：(1)设滑雪者质量为m，斜面与水平面间的夹角为θ 滑雪者滑行过程中克服摩擦力做功 W＝μmglcos θ＋μmg(L－lcos θ)＝μmgL 由动能定理mg(H－h)－μmgL＝mv2 ，离开B点时的速度v＝ (2)设滑雪者离开B点后落在台阶上 ＝gt，x1＝vt1<h 可解得x1＝<h 此时必须满足H－μL<2h. 当H－μL>2h时，滑雪者直接落到地面上．h＝gt，x2＝vt2 解得x2＝2] 8.【难度4】如图斜面的倾角为θ，质量为m的滑块距挡板P为l，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块重力沿斜面向下的分力．若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块经过的路程． [解析：设物体在整个过程中的路程为l′，则摩擦力做功Wf＝－μmgcos θ·l′ 支持力与运动方向垂直，支持力做功WN＝0 据动能定理有WG＋Wf＋WN＝E末－E初 即mgsin θ·l－μmgcos θ·l′＝0－mv解得l′＝] 9.【难度4】一轻弹簧的左端固定在墙壁上，右端自由，一质量为m的滑块从距弹簧右端L0的P点以初速度v0正对弹簧运动，如图所示，滑块与水平面的动摩擦因数为μ，在与弹簧碰后反弹回来，最终停在距P点为L1的Q点，求：在滑块与弹簧碰撞过程中弹簧最大压缩量为多少？ [解析：设弹簧最大压缩量为l，在滑块向左运动的过程中，由动能定理可得－μmg(l＋L0)－W弹＝0－mv① 在滑块返回的过程中，由动能定理得W弹－μmg(l＋L0＋L1)＝0② ，由①②得l＝－－L0] 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中物理 必修二 第八章 机械能守恒定律 8.3 动能和动能定理 动能的表达式 知识点一 1．定义：物体由于运动而具有的能量叫动能，用符号Ek表示。 2．表达式：Ek＝mv2。 动能是状态量，动能公式中的速度v是瞬时速度。 3．单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳。 1 kg(m/s)2＝1 N·m＝1 J。 4．动能是标量，只有大小没有方向。计算动能时一般都是以地面为参考系。 动能定理 知识点二 1．动能定理的内容 (1)力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量。 (2)末状态的动能与初状态的动能之差，即ΔEk＝mv－mv。 (3)动能的变化量是过程量，ΔEk＞0，表示物体的动能增加；ΔEk＜0，表示物体的动能减少。 2．动能定理的表达式 (1)W＝mv－mv。 (2)W＝Ek2－Ek1。 说明：式中W为合外力做的功，它等于各力做功的代数和。 说明：力对物体做的功是指物体所受的一切外力合外力对它做的功。 3．动能定理的适用范围 不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况。 4．对动能定理的理解 (2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。 ①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。 ②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因， 做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。 对动能的理解 考点一 【例1.1】关于运动物体所受的合外力、合外力做的功、物体的动能的变化，下列说法正确的是(　 　) A．运动物体所受的合外力不为零，合外力必做功，物体的动能肯定要变化 B．运动物体所受的合外力为零，则物体的动能肯定不变 C．运动物体的动能保持不变，则该物体所受合外力一定为零 D．运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，其动能要变化 【例1.2】一物块由静止开始从粗糙斜面上的某点加速下滑到另一点，在此过程中重力对物块做的功等于(　 　) A．物块动能的增加量 B．物块重力势能的减少量与物块克服摩擦力做的功之和 C．物块重力势能的减少量和物块动能的增加量以及物块克服摩擦力做的功之和 D．物块动能的增加量与物块克服摩擦力做的功之和　 【练习1.1】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)速度大的物体动能也大。 ( ) (2)某物体的速度加倍，它的动能也加倍。 ( ) (3)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化。 ( ) (4)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零。 ( ) 【练习1.2】(多选)关于动能的理解，下列说法正确的是(　 　) A．一般情况下，Ek＝mv2中的v是相对于地面的速度 B．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关 C．物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等、方向相反 D．当物体以不变的速率做曲线运动时其动能不断变化 【练习1.3】关于物体的动能，下列说法正确的是(　 　) A． 物体速度变化，其动能一定变化 B． 物体所受的合外力不为零，其动能一定变化 C． 物体的动能变化，其运动状态一定发生改变 D． 物体的速度变化越大，其动能变化一定也越大 【练习1.4】（多选）某物体在力F的作用下从光滑斜面的底端运动到斜面的顶端，动能的增加量为ΔEk，重力势能的增加量为ΔEp，则下列说法正确的是(　 　) A．重力所做的功等于－ΔEp B．力F所做的功等于ΔEk＋ΔEp C．合外力对物体做的功等于ΔEk D．合外力对物体所做的功等于ΔEk＋ΔEp 动能定理的应用 考点二 【例2.1】一个25 kg的小孩从高度为3.0 m的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0 m/s.取g＝10 m/s2，关于力对小孩做的功，下列结论正确的是(　 　) A．合外力做功50 J　　　 B．阻力做功500 J C．重力做功500 J D．支持力做功50 J 【练习2.1】(多选)一物体在运动过程中，重力做了－2 J的功，合力做了4 J的功，则( 　) A．该物体动能减少，减少量等于4 J B．该物体动能增加，增加量等于4 J C．该物体重力势能减少，减少量等于2 J D．该物体重力势能增加，增加量等于2 J 【练习2.2】（多选）某人从一楼匀速率上到三楼的过程中，下列说法正确的是(　 　) A．地板对人的支持力做的功等于人的重力势能的增加 B．地板对人的支持力做的功等于人的机械能的增加 C．地板对人的支持力做的功为零 D．人克服重力做的功等于其重力势能的增加　 【练习2.3】质量为4 kg的物体被人由静止开始向上提升0.25 m后速度达到1 m/s，g取10 m/s2，则下列判断错误的是(　 　) A．人对物体做的功为12 J B．合外力对物体做的功为2 J C．物体克服重力做的功为10 J D．人对物体做的功等于物体增加的动能 【练习2.4】一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(方向与原来相反)，在这段时间内，水平力所做的功为( 　) A．mv2 B．－mv2 C．mv2 D．－mv2　 动能定理与曲线运动 考点三 【例3.1】(多选)如图所示，质量为m的小车在水平恒力F的推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止开始运动至高为h的坡顶B处，获得的速度为v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是(　 　) A．小车克服重力所做的功是mgh B．合力对小车做的功是mv2 C．推力对小车做的功是mv2＋mgh D．阻力对小车做的功是mv2＋mgh－Fx 【例3.2】如图用同种材料制成的一个轨道，AB段为圆弧，半径为R，水平放置的BC段长度为R.一小物块质量为m，与轨道间动摩擦因数为μ，当它从轨道顶端A由静止下滑时，恰好运动到C点静止，那么物块在AB段克服摩擦力做的功为(　 　) A．μmgR B．mgR(1－μ) C． D．　 【练习3.1】有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是(　 　) A．木块所受的合力为零 B．因木块所受的力对其都不做功，所以合力做功为零 C．重力和摩擦力的合力做的功为零 D．重力和摩擦力的合力为零 【练习3.2】如图所示。AB为固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道的B点与水平地面相切，其半径为R。质量为m的小球由A点静止释放，小球通过光滑的水平面BC滑上固定曲面，恰到达最高点D，D到地面的高度为h(已知h＜R)，求小球在曲面上克服摩擦力所做的功Wf。 【练习3.3】粗糙的圆弧的半径为0.45 m，有一质量为0.2 kg的物体自最高点A从静止开始下滑到圆弧最低点B，然后沿水平面前进0.4 m到达C点停止。 设物体与轨道间的动摩擦因数为0.5(取g＝10 m/s2)，求： (1)物体到达B点时的速度大小； (2)物体在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功。 【例3.3】如图所示，粗糙水平轨道AB与半径为R的光滑半圆形轨道BC相切于B点，现有质量为m的小球(可看成质点)以初速度v0＝，从A点开始向右运动，并进入半圆形轨道，若小球恰好能到达半圆形轨道的最高点C，最终又落于水平轨道上的A处，重力加速度为g，求： (1)小球落到水平轨道上的A点时速度的大小vA； (2)水平轨道与小球间的动摩擦因数μ。 【练习3.4】如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球(可视为质点)，现给小球一打击使其在瞬间得到一个水平初速度v₀，若v₀大小不同，则小球能够上升到的最大高度(距离底部)不同，下列说法中不正确的是（ ） A.如果，则小球能够上升的最大高度等于0.5R B.如果，则小球能够上升的最大高度等于2R C.如果，则小球能够上升的最大高度小于1.5R D.如果，则小球能够上升的最大高度等于2R 【练习3.5】如图所示，质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内作半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，求在此过程中小球克服空气阻力所做的功为多少？ 多过程问题与动能定理 考点四 【动能定理的两种列式方法】 【例4.1】一个物体从高出地面H处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面后又进入沙坑h停止(如图所示)．求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍． 【例4.2】如图所示，质量m＝1 kg的木块静止在高h＝1.2 m的平台上，木块与平台间的动摩擦因数μ＝0.2，用水平推力F＝20 N，使木块产生位移l1＝3 m时撤去，木块又滑行l2＝1 m后飞出平台，求木块落地时速度的大小？ 【练习4.1】如图物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°，求物体能在水平面上滑行的距离。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 【练习4.2】如图所示，质量为m的物体，从高为h、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，最后停在水平面上，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，求： (1)物体滑至斜面底端时的速度． (2)物体在水平面上滑过的距离． 【练习4.3】如图所示ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为θ的斜面，CD段是水平的，BC是与AB和CD都相切的一段圆弧，其长度可以略去不计．一质量为m的小滑块在A点从静止滑下，最后停在D点，现用一沿着轨道方向的拉力拉滑块，使它缓缓地由D点回到A点，则拉力对滑块做的功等于多少(设滑块与轨道间的动摩擦因数为μ)(　 　) A．mgh　　　　　　　　　 　 B．2mgh C．μmg(l＋) D．μmgl＋μmghcot θ　 【一题多问】(2)若不拉物体，仅在D点给物体一初速度v0，则v0多大时，恰能使物体沿原路径回到A点？ (3)使斜面倾角变小为θ′，若不拉物体，仅在D点给物体一初速度v0′，恰好能使物体沿路径DC′B′A回到A点，试比较v0′与v0的大小． 动能定理解决运动学问题 考点五 【例5.1】质量为3 000 t的火车，以额定功率自静止出发，所受阻力恒定，经过103 s行驶12 km达最大速度vm＝72 km/h，试分析： (1) 火车运动性质． (2) 火车的额定功率. (3) 运动中所受阻力． 【例5.2】（多选）一起重机用钢绳提升货物，当起重机的功率为P₁时，货物以速度v₁向上做匀速直线运动.货物的质量为m，重力加速度为g.起重机的功率增大为P₂且保持该功率不变，从该时刻开始计时，继续提升重物，经过时间t货物再次做匀速运动，空气阻力不计，下列说法正确的是( ) A.在时间t内，货物做匀加速直线运动 B.在时间t内，货物最大速度为 C.在时间t内，货物受到的最大加速度为 D.在时间t内，货物上升的高度为 【练习5.1】一辆汽车质量为m，从静止开始起动，沿水平面前进了L后，就达到了最大行驶速度vm，设汽车的牵引功率保持不变，所受阻力为车重的k倍．求：(1)汽车的牵引功率． (2)汽车从静止到开始匀速运动所需的时间． 方法总结：因为机车以额定功率启动并运动，因此汽车的牵引力是变力，其牵引力做的功表示为W＝Pt. 【练习5.2】在百度世界大会上，百度与一汽共同宣布：L4级别完全自动化无人驾驶乘用车将批量生产。有关资料检测表明，当无人驾驶车正以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，遇到紧急情况需立即刹车(忽略无人驾驶汽车反应时间)。设该车刹车时产生的加速度大小为8 m/s2。将上述运动简化为匀减速直线运动，直到汽车停下。已知无人驾驶汽车质量为1.8 t。求在此过程中该无人驾驶汽车： (1)动能如何变化？ (2)前进的距离x是多少？ 【练习5.3】甲、乙两车汽车的质量之比m1∶m2＝2∶1，它们刹车时的初动能相同，若它们与水平地面之间的动摩擦因数相同，则它们滑行的距离之比s1∶s2等于(　 　) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶4 D．4∶1 【练习5.4】一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行x1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s的速度行驶，在同样路面上急刹车后滑行的距离x2应为(　 　) A．6.4 m B．5.6 m C．7.2 m D．10.8 m　 应用动能定理求解变力做功 考点六 【例6】如图质量为m的物体置于光滑水平面上，绳子的一端固定在物体上，另一端通过定滑轮以恒定的速率v0拉动绳头．物体由静止开始运动，当绳子与水平方向成θ＝60°夹角时，绳中的拉力对物体做了多少功？ 【练习6.1】在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为(　 　) A．v0＋ B．v0－ C． D．　 【练习6.2】质量为m的汽车从A点出发做匀速圆周运动，圆周半径为R，汽车绕行一周后又回到A点．若路面对汽车的阻力是车重的k倍，则绕行一周牵引力做功等于(　 　) A．0 B．mgR C．kmgR D．2πkmgR　 【练习6.3】在离地面高为h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，当它落到地面时速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于(　 　) A．mgh－mv2－mv B．－mv2－mv－mgh C．mgh＋mv－mv2 D．mgh＋mv2－mv　 动能定理的整体法与隔离法 考点七 【例7.1】如图所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮K，一条不可伸长的轻绳绕过K分别与物块A、B相连，A、B的质量分别为mA、mB，开始时系统处于静止状态。现用一水平恒力F拉物块A，使物块B上升。已知当B上升距离为h时，速度为v。求此过程中物块A克服摩擦力所做的功。(重力加速度为g) 【例7.2】（多选）如图所示，质量为M的木块静止在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射中木块并最终留在木块中与木块一起以速度v运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L，子弹进入木块的深度为L′.若木块对子弹的阻力F视为恒定，则下列关系式中正确的是(　 　) A．FL＝Mv2 B．FL′＝mv2 C．FL′＝mv－(M＋m)v2 D．F(L＋L′)＝mv－mv2　 课后巩固 1.【难度2】关于物体动能变化与做功的关系，下列说法正确的是(　 　) A．只要动力对物体做功，物体的动能就增加 B．只要物体克服阻力做功，物体的动能就减少 C．动力、阻力都做功，物体动能不变 D．外力对物体做功的代数和等于物体末动能与初动能的差 2．【难度2.5】物体在合外力作用下做直线运动的v­t图像如图，下列表述正确的是( 　) A．在0～1 s内，合外力做正功 B．在0～2 s内，合外力总是做负功 C．在1～2 s内，合外力不做功 D．在0～3 s内，合外力总是做正功 3.【难度3】(多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中速度的变化和动能的变化分别是(　 　) A．Δv＝10 m/s　　 B．Δv＝0 C．ΔEk＝1 J D．ΔEk＝0 4．【难度3】人在距地面h高处抛出一个质量为m的小球，落地时小球的速度为v，不计空气阻力，人对小球做的功是(　 　) A．mv2 B．mgh＋mv2 C．mgh－mv2 D．mv2－mgh 5．【难度3】一质点做匀加速直线运动，在通过某段位移s内速度增加了v，动能变为原来的9倍。则该质点的加速度为(　 　) A． B． C． D． 6．【难度3】（多选）A、B两个质量相同的小球分别从图示高和宽都相同的台阶边缘位置水平抛出，A球从第一级台阶抛出，B球从第四级台阶抛出，都落在第五级台阶边缘M点。忽略空气阻力，关于A、B两小球的说法正确的是（ ） A．A球下落的时间是B球的两倍 B．A球的初速度是B球初速度的两倍 C．落到M点时A球的动能是B球的两倍 D．A、B两小球到达M点时速度方向相同 7．【难度3】如图质量m＝10 kg的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.4，g取10 m/s2，今用F＝50 N的水平恒力作用于物体上，使物体由静止开始做匀加速直线运动，经时间t＝8 s后，撤去F，求： (1)力F所做的功． (2)8 s末物体的动能． (3)物体从开始运动直到最终静止的过程中克服摩擦力所做的功． 8.【难度3】如图一质量为2 kg的铅球从离地面2 m高处自由下落，陷入沙坑2 cm深处，求沙子对铅球的平均阻力大小。(g取10 m/s2) 9.【难度3】如图所示，运动员驾驶摩托车做腾跃特技表演．运动员从斜坡底部的A处，以v0＝10 m/s的初速度保持摩托车以额定功率P＝1.8 kW行驶．经t＝13 s的时间冲上斜坡，然后从斜坡顶部的B点水平飞出，已知人和车的总质量m＝180 kg，坡顶高度h＝5 m，落地点距B点的水平距离x＝16 m，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.求：摩托车在冲上坡顶的过程中克服摩擦力做的功． 10.【难度3】如图所示为皮带传输机简图，其顶端为水平且高度为3 m．将质量为50 kg的货物轻轻放在皮带传输机底端，运动至顶端后抛至高度为2.2 m的平板车上，落点与抛出点间的水平距离为0.8 m．求在输送货物期间皮带对货物做的功(g＝10 m/s2) 1.【难度3】(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s。如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是(　 　) A．力F对甲物体做功多 B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多 C．甲物体获得的动能比乙大 D．甲、乙两个物体获得的动能相同 2.【难度3】一人用力踢质量为1 kg的静止足球，使足球以10 m/s的水平速度飞出，设人踢足球的平均作用力为200 N，足球在水平方向滚动的距离为20 m，则人对足球做的功为(g取10 m/s2)(　 　) A．50 J　　　 B．200 J　　　 C．4 000 J　　　 D．6 000 J 3.【难度3】如图所示，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度，木箱获得的动能一定(　 　) A．小于拉力所做的功 B．等于拉力所做的功 C．等于克服摩擦力所做的功 D．大于克服摩擦力所做的功 4.【难度3】如图所示，ABC是一条长轨道，斜面和水平面动摩擦因数相同，一质量为m的木块(可视为质点)，在A点由静止释放，最后停在C点；现在改变斜面的倾角，如图中虚线AB′所示，仍从A点由静止释放该小木块，则木块最终将停在(不计木块通过转折点B点或B′点的能量损失)(　 　) A．C点左侧 B．C点 C．C点右侧 D．无法确定 5.【难度3】在水平路面上，有一辆以36 km/h行驶的客车，在车厢后座有一位乘客甲，把一个质量为4 kg的行李以相对客车5 m/s的速度抛给前方座位的另一位乘客乙，则行李的动能是(　 　) A．500 J　　　 B．200 J　　　 C．450 J　　　 D．900 J 1.【难度3】在某田赛训练基地备战运动员在艰苦地训练，设某运动员臂长为L，将质量为m的铅球推出，铅球出手的速度大小为v0，方向与水平方向成30°角，则该运动员对铅球所做的功是(　 　) A.　　　　　　 B．mgL＋mv C.mv D．mgL＋mv　 2.【难度3】如图板长为l，板的B端静止放有质量为m的小物体P，物体与板间动摩擦因数为μ，开始时板水平，若缓慢转过一个小角度α的过程中，物体保持与板相对静止，则这个过程中(　 　) A．摩擦力对P做功为μmgcos α·l(1－cos α) B．摩擦力对P做功为mgsin α·l(1－cos α) C．弹力对P做功为mgcos α·lsin α D．板对P做功为mglsin α　 3.【难度3.5】如图光滑斜面的顶端固定一弹簧，一物体向右滑行并冲上固定在地面上的斜面．设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是(　　) A．mgh－mv2 B．mv2－mgh C．－mgh D．－(mgh＋mv2)　 4．【难度3.5】（多选）质量为m的炮弹飞出炮筒时速度为v，炮筒长L，设火药对炮弹推力恒定不变，则(　 　) A．火药推力对炮弹做功为mv2 B．火药推力的平均功率为 C．火药推力的大小为 D．炮弹在炮筒中运动时间为　 5．【难度3.5】从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是(　 　) A　　　　 B　　　　　 C　　　　 D 6.【难度3.5】在光滑的水平面上，一物体以10 m/s的速度匀速运动，某时刻(t=0)受到一个大小随时间变化、方向处于物体初速度所在竖直平面内的外力F，力F作用了2s，在0~2s内物体在水平面上运动的加速度大小a随时间t变化的关系图象如图所示。已知物体的质量为m=2.0 kg。下列说法正确的是（ ） A．外力F的最大值是8N B．2s末物体的速度大小是14 m/s C．物体在0～2s内的位移大小可能是24 m D．0~2 s内外力F对物体做的功可能为96 J 7.【难度3.5】滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，经一平台后水平飞离B点，地面上紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图所示．斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数均为μ.假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变．求： (1)滑雪者离开B点时的速度大小． (2)滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离x. 8.【难度4】如图斜面的倾角为θ，质量为m的滑块距挡板P为l，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块重力沿斜面向下的分力．若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块经过的路程． 9.【难度4】一轻弹簧的左端固定在墙壁上，右端自由，一质量为m的滑块从距弹簧右端L0的P点以初速度v0正对弹簧运动，如图所示，滑块与水平面的动摩擦因数为μ，在与弹簧碰后反弹回来，最终停在距P点为L1的Q点，求：在滑块与弹簧碰撞过程中弹簧最大压缩量为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$