3.2双曲线练习基础版-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

双曲线练习基础版 一、单选题 1．已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 2．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 4．已知双曲线的离心率是2，则（    ） A．12 B． C． D． 5．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（    ） A． B．9 C． D．3 6．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则m=（　　） A． B．1或2 C．1或 D．1 7．双曲线的焦点分别为，，P是双曲线上一点满足，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 11．双曲线的渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D．2 12．若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 13．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 14．若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 16．已知双曲线：的焦点在轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的实轴长为6 B．双曲线的虚轴长为2 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 17．已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 18．已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是 . 19．若方程表示双曲线，则的取值范围是 ． 20．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 21．已知双曲线的方程是． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 22．已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为. (1)求椭圆的焦点坐标；(2)求双曲线的标准方程． 23．双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2， (1)求双曲线标准方程；(2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程. 24．在△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，直线AB，AC的斜率之积为求顶点A的轨迹方程． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B A D D C C 题号 11 12 13 14 15 16 17 答案 D B B D BC AB ACD 1．A 【详解】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线. 故选：A. 2．C. 【详解】由题意得，，解得，， 故， 故双曲线渐近线方程为. 故选：C 3．B 【详解】双曲线中，得，则， 由双曲线的定义可得， 因为，所以，解得， 故选：B 4．B【详解】由题意可得， 解得， 故选：B. 5．A【详解】的渐近线方程满足，所以渐近线与平行，所以渐近线方程为，故 故选：A 6．D【详解】双曲线的焦点在x轴上，依题意，，即， 又，解得， 所以. 故选：D 7．D【详解】依题意，， 所以， 由于双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的标准方程是. 故选：D 8．C【详解】由题意双曲线的焦点在轴上，则，， 又，则，故C的标准方程为. 故选：C 9．C【分析】将双曲线的方程化为标准方程判断焦点位置，写出焦点坐标即可. 【详解】因为双曲线方程为， 化为标准方程为：，所以， 由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：. 故选：C. 10．C 【分析】根据题意设出双曲线方程，在根据离心率公式，即可求出。 【详解】由题意知，双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为， 因为双曲线C经过点，所以， 因为，所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 11．D 【分析】借助渐近线的定义计算即可得. 【详解】由题意可得，又，故. 故选：D. 12．B 【分析】先求出椭圆的焦点，再由两曲线的焦点重合，列方程可求出的值. 【详解】因为椭圆的焦点为， 所以双曲线的焦点为， 故，解得. 故选：B. 13．B 【分析】先求出，然后根据双曲线的定义结合可求得. 【详解】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 14．D 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】由题意可知，即， 令. 故选：D 15．BC 【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可 【详解】若为椭圆，则 ，且 ，故A错误 若为双曲线，则 ， ，故B正确 若为圆，则 ， ，故C正确 若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误 故选：BC 16．AB 【分析】由题设可得，结合已知方程得双曲线方程为，进而判断各项正误. 【详解】由题设，而，故，则， 所以双曲线方程为，实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为， 故A、B对，C、D错. 故选：AB 17．ACD 【分析】根据双曲线、椭圆及圆的方程判断即可. 【详解】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 18． 【分析】直接由定义判断出M的轨迹是双曲线，再由待定系数法求方程即可. 【详解】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线， 设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是. 故答案为：. 19． 【分析】根据双曲线方程的特点列不等式求解即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 20．(1) (2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程； （2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案. 【详解】（1）由已知，， 又，则， 所以双曲线方程为. （2）由，得， 则， 设，，则，， 所以. 21．(1)； (2)2. 【分析】（1）由双曲线方程直接写出渐近线方程； （2）由双曲线定义有，结合已知求即可. 【详解】（1）由双曲线方程知：其渐近线方程为； （2）由双曲线定义，又，    所以，可得（负值舍）， 所以的大小为2. 22．(1)； (2). 【分析】（1）由椭圆方程及其参数关系求出参数c，即可得焦点坐标. （2）由渐近线及焦点坐标，可设双曲线方程为，再由双曲线参数关系求出参数，即可得双曲线标准方程. 【详解】（1）由题设，，又， 所以椭圆的焦点坐标为. （2）由题设，令双曲线为， 由（1）知：，可得， 所以双曲线的标准方程为. 23．(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据已知条件列方程求出a，b，c，然后可得标准方程； （2）根据（1）中a，b，c，的值直接写出所求即可. 【详解】（1）由题知，，解得，所以， 所以双曲线标准方程为：. （2）由（1）知，双曲线焦点在x轴上， 所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为，即. 24．． 【分析】设出点坐标，利用直线的斜率乘积列方程，化简求得的轨迹方程. 【详解】设A(x，y)，则， 根据题意有， 化简得 ∴顶点A的轨迹方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $$