18.2.2 菱形 压轴题常考题型分类训练（8大题型45题）2024-2025学年人教版数学八年级下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第18章 18.2.2 菱形 压轴题常考题型分类训练（8大题型45题）（解析版） 题型1：利用菱形的性质求角度（2题） 题型2：利用菱形的性质求线段长（6题） 题型3：利用菱形的性质求面积（5题） 题型4：利用菱形的性质证明（7题） 题型5：证明四边形是菱形（7题） 题型6：根据菱形的性质与判定求角度（6题） 题型7：根据菱形的性质与判定求线段长（7题） 题型8：根据菱形的性质与判定求面积（5题） 1．已知菱形中，点F是射线上一动点（不与C、D重合），连接并延长交直线于点，交于，连接． (1)若点F在边上，且，过点C按如图所示作并交于点 ①证明：； ②猜想的形状并说明理由． (2)若菱形边长为4，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)①见解析；②等腰三角形，理由见解析 (2)或2 【分析】（1）①根据证明可得结论； ②证明，可知：是等腰三角形； （2）分两种情况： ①如图1，，过点作于，则； ②如图2，，根据等腰三角形的性质和勾股定理可解答． 【详解】（1）①证明：四边形是菱形， ，， ， ， ； ②解：是等腰三角形，理由如下： 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 由①知：， ， ， 是等腰三角形； （2）解：分两种情况： ①如图1，当时，过点作于，则， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ， ； ②如图2，当时， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ， ∵，，， ∴， ， ， ， ； 综上，的长为或2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，菱形ABCD中，分别过点B作BC的垂线，过点D作CD的垂线交于点E． (1)如图1，若∠ABC=45°，连接AE，BD，求证：AE=BD； (2)如图2，若∠ABC=60°，点F是DE延长线上的一点，点G为EB延长线上的一点，且EF=BG．连接BF、DG，DG交FB的延长线于点H，连接AH，已知BH=2，AH=5，求线段DH的长； (3)如图3，在（2）的条件下，点M，N分别在线段BE，BD上，将△EBD沿直线MN折叠，使点B落在DE边上的点Q处，连接MQ，NQ，若EQ=mDQ，求的值．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长BA交DE于F，先根据“SSS”证明△EAB≌△EAD，得出∠BEA=∠DEA=22.5°，再根据“AAS”证明△EFA≌△BFD可得结论． （2）连接BD，取BF上一点N使BN=DH，连接AN，EC，过点A作AM⊥BF于M，首先证出△BEF≌△DBG，可得∠EBF=∠BDG，再证△ABN≌△ADH，可得出AH=AN，∠NAB=∠HAD，由∠BAD=120°可得出∠NAH=120°，在Rt△AMH中，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解． （3）设DQ=k，则EQ=km，设QN=x，QM=y，过点Q作QH⊥BE于H，则EH=km，QG=km，利用勾股定理求出x，y（用m表示），可得结论． 【详解】（1）证明：延长BA交DE于F， ∵BE⊥BC，CD⊥DE， ∴∠CBE=∠CDE=90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC=∠ADC=45°， ∴∠CBD=∠CDB=∠ADB=∠CDB=22.5°，∠EBA=45°，∠EDA=45°， ∴∠EBD=∠EDB=67.5°， ∴EB=ED， ∵AE=AE，AB=AD， ∴△EAB≌△EAD（SSS）， ∴∠BEA=∠DEA， ∵， ∴∠BEA=∠DEA=22.5°， ∵，CD⊥DE， ∴AF⊥DF， ∴， ∴∠FDA=∠FAD=45°， ∴AF=DF， ∵∠AFE=∠DFB，∠AEF=∠DBF=22.5°， ∴△EFA≌△BFD（AAS）， ∴AE=BD． （2）解：如图2中，连接BD，取BF上一点N使BN=DH，连接AN，EC，过点A作AM⊥BF于M， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ADC=∠ABC=60°， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴△EBD是等边三角形， ∴EB=ED， ∴∠FEB=∠GBD=120°， ∵在△BEF和△BDG中， ∴△BEF≌△DBG（SAS）， ∴∠EBF=∠BDG， ∵∠ABE=∠ADB=30°， ∴∠EBF+∠ABE=∠BDG+∠ADB，即∠FBA=∠HDA， ∵在△ABN和△ADH中，， ∴△ABN≌△ADH， ∴AH=AN，∠NAB=∠HAD， ∵∠BAD=120°，即∠HAD+∠BAH=120°， ∴∠NAH=∠NAB+∠BAH=∠HAD+∠BAH=120°， ∵AH=AN，AM⊥BF， ∴∠AHM=∠ANH==30°， ∴AH=2AM，AM=HM=NH， ∴NH=AH， ∵NH=BH+BN=BH+HD， ∴BH+HD=AH， ∵BH=2，AH=5， ∴DH=． （3）解：如图3中，设DQ=k，则EQ=km，设QN=x，QM=y， 根据折叠可知，BN=QN=x，BM=QM=y， ∵△BDE是等边三角形， ∴∠E=∠EDB=∠EBD=60°，EB=BD=DE=k+km， 过点Q作QH⊥BE于H，则EH=km，QH=km， 在Rt△QHM中，MQ2=QH2+MH2， ∴y2=（km+k﹣km﹣y）2+（km）2， 解得，y=， 过点Q作于点K，则，， 在Rt△QKN中，， ∴， 解得：x=， ∴=． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 3．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线相交于点，且． 【初步感知】 （1）当是线段的中点时（如图①），与的数量关系为___________； 【深入探究】 （2）如图②，将图①中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？说明理由； 【拓展应用】 （3）如图③，将图①中绕点A继续顺时针旋转，当时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）成立，详见解析；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质，如图所示，连接，可得是等边三角形，可证，可得，可证是等边三角形，由此即可求证； （2）同（1）的思路通过证明三角形全等，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质可得结论； （3）根据题意可得当时，，如图所示，过点作于点，过点作于点，连接，根据等腰直角三角形的性质可求出的长． 【详解】解：解：（1）∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是线段的中点， ∴， 如图所示，连接，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，且， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）成立，理由如下， 如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （3）如图所示，过点作于点，过点作于点，连接， 当时，， ∴， 在中， ∵，， ∴，， 在中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，含特殊角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 4．如图，四边形中，，，并且平分，，．点是上的动点，点在射线上． (1)如图1，求证：四边形为菱形； (2)如图2，连接，若，求的度数； (3)如图3，若，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据，，可得四边形为平行四边形，根据角平分线的性质可得，结合平行四边形的性质可得，由此即可求证； （2）连接，根据四边形为菱形，可得，，根据，，， 可得，根据平行四边形的性质可得； （3）过点作，且取，连接，，，可得则，，根据四边形为菱形，，可得是等腰直角三角形，则，根据三角形三边关系得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，即， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：连接， ∵四边形为菱形， ∴，是公共边， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是菱形，，是对角线， ∴，则， 如图所示，过点作，且取，连接，，， 在，中， ， ∴， ∴， ∵四边形为菱形，则，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由得， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，掌握菱形的判定和性质，合理构造辅助线是解题的关键． 5．数学课上，张老师出示了一个问题：在菱形中，连接，可在直线上平移，得到，的平分线交射线于点． (1)小芳想，当点在的沿长线上时，如图1，线段和线段之间会有怎样的数量关系呢？请你作出判断：_______（填“”，“”或“”） (2)当点在线段上时，如图2，小琳同学对线段和线段之间的数量关系作出了判断：． ①小迪认为在图2中，不用添画辅助线，可以证明出小琳的结论； ②小芮觉得可以添画如图3的辅助线，构造全等三角形来证明小琳的结论； 请你选择用小迪或小芮的思路，写出一种证明过程． (3)小怡突发奇想：点在线段上，若，，当是等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1；； 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，根据平移得出，，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，即可证明，得出结论； （2）①根据菱形的性质得出，，，根据平移得出，，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，即可证明，得出结论； ②证明，得出，证明，得出； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴，，， 根据平移可得：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：①∵四边形为菱形， ∴，，， 根据平移可得：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴， 根据平移可知：， ∴， 即， 根据①得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：菱形中，， 根据平移可知：，， 当时，如图所示： 根据解析（2）可知：， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据解析（2）可知：， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据解析（2）可知：， 设，则， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长度为：1；；． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平移的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 6．综合与实践： 【提出问题】在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，， ， ， 又、， ______＋______， 化简整理得_______； 【类比探究】 （2）如图2，若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质及勾股定理补充过程，即可求解； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质得，，，证明， 得，，根据勾股定理得， ，继而得出的值即可； （3）由（2）可得得出，延长，过点A作于点G，过点作于点H，连接，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ． 化简整理得 故答案为：；；． （），理由如下， 过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴； （）∵四边形是平行四边形，，，， ∴由（）可得 ∴ 解得：（负值舍去）， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， 如图所示，延长，过点A作于点G，过点作于点H，连接， ∵分别为的中点， ∴，， 设，则， 在中根据勾股定理得：， 在中根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 7．如图1，在菱形中，，对角线，交于点O，P是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，， （）． (1)①填空： ， ； ②当时． 求证：，； (2)如图2，当时，连接，若，求的长； (3)如图3，当时，连接，若，直接写出的长． 【答案】(1)①，，②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①证明是等边三角形，，，，再进一步解答即可；②由等边三角形，是等边三角形，证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）由（1）得：，，，，求解，可得，结合（2）同理可得：， ，同理：，再进一步可得答案； （3）由（1）同理可得：，求解，同理：，而，，再进一步利用勾股定理可得答案； 【详解】（1）解：①在菱形中，，， ∴，，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵等边三角形，是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （2）解：由（1）得：，，，， ∵， ∴， ∴， 结合（2）同理可得：， ∴， 同理：， ∴； （3）解：由（1）同理可得：， ∵，， ∴， 同理：，而，， ∴，； 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，菱形的性质，化为最简二次根式，熟练的利用类比的方法解题是关键. 8．如图1，已知菱形，点E是对角线上任意一点（不与端点B、D重合），连结，，，． (1)求证：． (2)若，则的值． (3)如图2，延长交于点F，若是等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一中线段垂直平分线性质证明即可； （2）首先证明， 设，，利用勾股定求出，再根据菱形的对角线，根据面积公式即可解答； （3） 分三种情况讨论：，，，即可解答． 【详解】（1）连结交于点， 四边形是菱形， ，， 为等腰三角形， ； （2）连结交于点，由（1）得， ， ， ， ， 过点E作的垂线交于点G， 设，， ，， 在中， ， 解得：， 四边形是菱形，，， ，， （3）① 在菱形， ， ， ， ， 连结交于点， 在中， 过点B作的垂线交于点H， ，， ② 在菱形， ， ， 过点E作的垂线交于点，过点E作的垂线交于点G，E，H，三点共线 由（2）所得， ， 延长过点A作的垂线交于点I，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， ， ， 设 ③，不成立（舍去） 综上所述或 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确寻找全等三角形和学会分类讨论思想是解题的关键． 9．如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)． 【分析】（）四边形是菱形．根据题意和翻折的性质，可以得到，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （）根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积； 本题考查了翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形中，， ，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 10．如图，菱形，．    (1)若，则菱形的面积为 　 　； (2)点E、F分别为菱形边、上一个动点，连接、，且、交于点P，、交于点G，E、F在运动过程中，三角形的面积与四边形的面积相等． ①如图2，求证：； ②如图3，O为的中点，连接、，求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）过D作于E，则，，，在中，由勾股定理求的值，根据，计算求解即可； （2）①作于Q，于H．证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出； ②证出，作交于M．证明为正三角形，得出，，证明由全等三角形的性质得出，，延长至N．使，证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：如图，过D作于E，    ∵菱形，，， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． （2）①证明：作于Q，于H．    ∵菱形，， ∴， ∵三角形的面积与四边形的面积相等， ∴，∵，∴， ∵， ∴，∴， ∵， ∴， ∴． ②证明：∵， ∴， ∴， ∴， 作交于M． ∴为正三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，延长至N．使， 连接， ∵．    ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 11．如图，在边长为10的菱形中，对角线，对角线，相交于点G，点O是直线上的动点，于E，于F．    (1)求对角线的长及菱形的面积． (2)如图①，当点O在对角线上运动时，的值是否发生变化？请说明理由． (3)如图②，当点O在对角线的延长线上时，的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究，之间的数量关系． 【答案】(1)12，96 (2)不发生变化，9.6 (3)发生变化， 【分析】（1）连接与相交于点，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解； （2）连接，根据列式计算即可得解； （3）连接，根据列式整理即可得解． 【详解】（1）解：在菱形中，，，， 由勾股定理得， 所以． 所以菱形的面积． （2）解：不发生变化． 理由如下： 如图①，连接，    则， 所以， 即． 解得，是定值，不变． （3）解：发生变化． 如图②，连接，    则， 所以． 即． 解得，是定值，不变． 所以的值发生变化，，之间的数量关系为 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，第（2）（3）问作辅助线构造出两个三角形是解题的关键． 12．已知等边三角形的边长为12，D为射线上一动点（点不与，重合），以为边作菱形，使，连接． (1)如图，当点在边上时，求证：， (2)在点的移动过程中，当时，求的长度 (3)设与菱形的面积分别为，，直接写出的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)当时，求的长度为或； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，菱形的性质得出，，进而得出，根据证明，即可； （2）根据全等三角形的性质得出，分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分类讨论即可求解； （3）连接，过点作于点，依题意得出是等边三角形，则，设，则，勾股定理得出，进而得出，同理可得，进而可知当当时，取得最小值，即可得出的最大值． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， 即 在和中 ∴ （2）解：∵等边三角形的边长为12， ∴， ∵ ∴ 当点在线段上时，如图所示， 此时， 当点在线段的延长线上时，如图所示， 此时， 综上所述，当时，求的长度为或； （3）如图所示，连接，过点作于点， ∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形， ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， 同理， ， 当取得最小值时，有最大值， ∴当时，取得最小值， 此时， ∴ 即的最大值为 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 13．【教材呈现】 在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直． 【结论运用】 (1)如图①，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的面积是 　　； (2)如图②，四边形是平行四边形，点在上，四边形是菱形，连接、、，求证：； (3)如图③，四边形是菱形，点在上，四边形是菱形，连接，若，则　　度． 【答案】(1)24 (2)见解析 (3)30 【分析】（1）由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求，由菱形的面积公式可以求解； （2）先证四边形是平行四边形，可得，由线段垂直平分线的性质可得结论； （3）先证，可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， 菱形的面积， 故答案为：24； （2）证明：如图，连接，交于， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是菱形， ，，，， ，，垂直平分， 四边形是平行四边形，， ， ； （3）解：四边形是菱形，四边形是菱形， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：30． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 14．在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______________，与的位置关系是______________； (2)如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点P在直线上时，其他条件不变，连接．若，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)结论仍然成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接，延长交于，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由，即可证明； （2）连接，与交于点，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由即可证明； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接，延长交于，   四边形是菱形，， ∴ ，都是等边三角形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ∵是等边三角形， ， ，即 又， ． 故答案为：，； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图2，连接，   ， ，为等边三角形， 在和中，，， 又， ， ， ，， 则， ， 又， ． （3）解：如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 四边形是菱形， ，平分， ，， ， ， ， ，， 由（2）知， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 同理得：， 由（2）知， ， ， 是等边三角形，， ， ， ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题． 15．【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”． 问题情境：在菱形中，，为边上一点（与、不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为． 【操作感知】 （1）小华取，如图1，射线与射线交于点，请你帮小华同学补全下面两个问题的答案： ①线段与的数量关系是 　　； ②线段、、的数量关系是 　　． 【猜想论证】 （2）小强取，如图2，射线与射线交于点，小强在笔记本上记录了自己的思考过程： 线段与的数量关系与（1）①相同 但线段、、的数量关系好像不再成立 我发现线段、、之间好像具有与（1）②类似的数量关系 请你帮小强同学完成线段、、之间数量关系的猜想并给出证明． 【拓展探究】 （3）小毅测量得到，，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在边所在的直线上时，记点到直线的距离为，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②；（2）,理由见解析 ；（3）或 【分析】（1）①由“”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，由线段的和差关系可得结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）①四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ，， ， 由旋转可得：， ， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； （2）．理由如下： 证明：在上截取，连接， 四边形是菱形，， ，， ， ， 又， 为等边三角形， ，， ，， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， ； （3）如图3，当点在线段的延长线上时，过点作直线于， ，， ， ， ， ， ， ，； 当点在的延长线上时，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ，； 的值为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 16．在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，详见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （2）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （3）根据菱形的性质及直角三角形可知，再根据全等三角形的判定与性质可知，最后利用直角三角形的性质 及勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：仍然成立，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，，， ∵是等边三角形 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： 当点在的延长线上时，连接交于点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，平分，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键． 17．综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点． (1)【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系 ． (2)【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，（）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由； (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)同意，理由见解析； (3)或． 【分析】（）连接，证明即可得证； （）连接，同法()证明即可得证； （）过点作于点，分点在点的两侧进行讨论求解即可； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】（1）解：连接， ∵在菱形中，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：同意，理由如下： 连接， 同理（）可得， ∴； （3）解：过点作于点， 同理（）可知，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由（）知，， ∴， ∴或． 18．【问题提出】 （1）如图①，点P为菱形的对角线上一点，连接，，若，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，， ，，点E，F分别在线段，上，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图③，在矩形的边的中点H处有一个凉亭，在上取一点E（不与端点重合），下方取一点F，点G为矩形内一点．根据需求，要将区域规划为休闲垂钓区，四边形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，计划沿，修建两条休闲通道，为了让空间更加和谐、美观，需使四边形为菱形，且，，经测量米，米，请你帮助王大爷计算“民宿”区域（菱形）的面积 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）王大爷民宿区域的面积为12800平方米． 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形． （1）根据菱形的性质，证明，即可得到； （2）过点F作交的延长线于点G，先得到是等腰直角三角形，得到，再证明，即可求解； （3）连接，，，过点F作于点P，由矩形的性质，得到米，米，证明为等腰直角三角形，得到，（米），证明，得到，，，再证明A，H，F三点共线，由菱形的性质得到米，米，米，米，再得到（米），（米），（米），即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图②，过点F作交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图③，连接，，，过点F作于点P， ∵在矩形中，米，米，点H为边的中点， ∴，米． ∴为等腰直角三角形， ∴，（米）， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴，即A，H，F三点共线， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴米，米， 记与的交点为点O， ∵（米）， （米）， ∴（米）， ∴菱形的面积（平方米）， ∴王大爷民宿区域的面积为12800平方米． 19．问题情境： 在菱形中，，．点是对角线上的动点，连接，以为边作菱形，且． 特例感知： (1)如图①，当点落在上时，试判断与的数量关系，并说明理由； 深入研究： (2)当点运动到如图②所示的位置上时，即点落在上方时，连接，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： (3)在点的运动过程中，当点、、在同一条直线上时，直接写出此时的长． 【答案】(1)，理由见解析； (2)成立，证明见解析； (3) 【分析】（1）连接，根据菱形的性质和，，可推出，是等边三角形，从而得到，，则，所以，即； （2）连接，，，由菱形中，可推出，，，然后由菱形中，可推出，，从而得到，可证，所以，即； （3）连接，，，由，得，由点、、在同一条直线上，可推出，，则，最后利用勾股定理，即可求得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接，如图 四边形是菱形， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形 ， （2）解：成立，证明如下， 连接，，，如图 四边形是菱形， ，，垂直平分 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 是等边三角形 ， （3）解：连接，，，如图 由（2）可知， ，点、、在同一条直线上 ， ， 是等边三角形 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，30度所对直角边等于斜边的一半，勾股定理等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 20．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析，② (2)或 【分析】（1）①连接，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可证明； ②连接交于点，利用菱形的性质和等边三角形性质得到，利用勾股定理得到，证明，利用等腰三角形性质得到，最后根据求解，即可解题； （2）根据与射线交于点E，分以下两种情况讨论，①当在线段上时，作于点，作于点，②当在延长线上时，作于点，以上两种情况分别结合勾股定理和直角三角形性质，以及角平分线性质求解，即可解题． 【详解】（1）①证明：连接， 四边形是菱形，， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ． ②解：连接交于点， 四边形是菱形， 于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：①当在线段上时， 作于点，作于点， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ； ②当在延长线上时，作于点， ，， ， ， ，， 由①同理可知，，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，勾股定理，直角三角形性质，角平分线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理并灵活运用． 21．如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，．    (1)求证：四边形是菱形： (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键． （1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，，由菱形的判定可证结论； （2）过点D作，由菱形的性质可得，，由直角三角形中角的性质可得，，求出 的长，即可求． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵垂直平分， ∴，． ∴，． ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是菱形． （2）过点D作， ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴．    22．综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点F为的中点，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）与的数量关系为：，理由见解析；（3）的值为或 【分析】（1）先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据菱形的判定即可得； （2）连接，证出，根据全等三角形的性质即可得； （3）分两种情况：①当点为的三等分点，且时，②当点为的三等分点，且时，利用折叠的性质和勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）四边形为菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为菱形， 故答案为：菱形； （2）与的数量关系为：，理由如下： 如图2，连接PF， ∵F为的中点， ， ∵四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ，， 在和Rt△PBF中， ， ， ； （3）分两种情况： ①如图3，若点E为的三等分点，且， ， ，， ∵四边形是矩形， ，， 过点E作于M， 则四边形为矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， ； ②如图4，若点E为的三等分点，且， 则，， 过点E作于N， 则， 同理可得：，， 在中，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 23．如图①，是矩形的对角线，，．将沿射线方向平移到的位置，使为中点，连接，，，，如图②． (1)求证：四边形是菱形； (2)四边形的周长为 ； (3)将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或． 【分析】（）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此进行证明即可； （）先证明四边形是菱形，再根据边长，即可得到四边形的周长； （）根据两种不同的拼法，分别求得可能拼成的矩形周长即可． 【详解】（1）证明：∵矩形，， ∴，，， 由平移可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵为中点， ∴中，， 又∵， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴四边形是菱形； （2）解：由平移可得，，， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， 由（）可得，， ∴四边形是菱形， ∵， 则由勾股定理得：， ∴四边形的周长为， 故答案为：； （3）解：将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下： ∴矩形的周长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 24．在中，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作． (1)如图1，求证：为菱形； (2)如图2，若，连接， ①求证：； ②判断的形状，并加以证明． (3)如图3，若，M是的中点，连结，若，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②等边三角形，证明见解析 (3) 【分析】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． （1）平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出，再判断出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； （3）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （2）证明①四边形是平行四边形， ，，， ， ， 由（1）知，四边形是菱形， ，， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ； 解②：， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， （3）解：如图3中，连接，， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形， ， 四边形为正方形． ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， 是等腰直角三角形． ， ， ， 故答案为：． 25．综合与实践：在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，，．    (1)操作发现 操作一：如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，将纸片展平再次叠，使点与点重合，折痕为，然后展平得到图2，则以点，，，为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由； (2)实践探究 操作二：如图3，在矩形纸片中，点为的中点，将纸片沿折叠，使点落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②求的长． (3)拓展应用 将矩形纸片裁剪为，，在图3的情形下，若为上任意一点，其他条件不变，当点与点距离最小时，直接写出的长． 【答案】(1)菱形；理由见解析 (2)①；理由见解析；② (3)3 【分析】（1）连接，，设与交于点，证明四边形是平行四边形，由翻折性质可得，所以四边形是菱形； （2）①证明是的中位线，进而可以解决问题； ②如图，连接交于点，由翻折可得垂直平分，利用三角形的面积求出的长，再利用勾股定理即可解决问题； （3）如图，连接，利用勾股定理求出的长，当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，此时，设，则，根据勾股定理列出方程求出的值，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：以点，，，为顶点的四边形是菱形，理由如下：    如图2，连接，，设与交于点， 由翻折可知：，， 是的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ∴， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：①，理由如下：连接交于点， 由翻折可知：垂直平分， ，， 点为的中点， 是的中位线， ∴， ∴； ②如图，连接交于点，    由翻折可知：垂直平分， ，， 在矩形纸片中，，， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ∵，， ， ； （3）解：如图，连接，    在矩形中，，， ， ， 当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，此时， 设，则， 由翻折可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，翻折变换，三角形中位线定理，勾股定理，三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握有关基础知识． 26．如图1，是平行四边形对角线的交点，过点作，，垂足分别为，，若，我们称是平行四边形的心距比． (1)如图2，四边形是平行四边形，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，四边形是矩形，，求四边形的心距比； (3)如图，在中，，，动点从点出发，沿线段向终点运动，动点自出发，沿线段向终点运动，、两点同时出发，运动速度均为每秒1个单位，连接．以、为邻边作平行四边形，若四边形的心距比，则点运动时间为____秒． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由角平分线的判定可得，由平行线的性质可得，可得，可得结论； （2）根据矩形性质以及可得为等边三角形，设，分别求出此时的长度，即可求得结果； （3）四边形对角线交点为O，过点O作于H，于M，设运动时间为t秒，由题意得：，根据勾股定理可得，根据平行四边形面积可得，得到且，代入计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵O是平行四边形对角线的交点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 设，则， 在中：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）四边形对角线交点为O，过点O作于H，于M， 设运动时间为t秒，由题意得：， 在中，， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴， 解得： (舍)， ∴心距比，则点P运动时间为秒， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识点，能够正确理解题目中的新定义，运用相应四边形的性质是解题的关键． 27．综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点与点重合，点的对应点记为，折痕与边分别交于点．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点为的中点，，延长交于点．试证明：； 【深入探究】 （3）如图3，若，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1）菱形，理由见详解；（2），理由见详解；（3）或． 【分析】本题考查折叠的性质，菱形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）先由矩形的性质得，则，再由折叠的性质证明四边形是平行四边形，即可得出其为菱形； （2）连接，先证明，再证明即可； （3）分两种情况：若和若，分别求解即可，具体见详解． 【详解】解：（1）四边形为菱形，理由如下： 四边形是矩形 由折叠知，， 四边形是平行四边形 四边形是菱形 故答案为：菱形； （2）数量关系为：，理由如下： 如图，连接， 为的中点 四边形是矩形 由折叠知，， 在和中 ； （3）分两种情况： 如图，若， 四边形是矩形 过点作于，则四边形为矩形 由折叠知， ； 如图，若，则， 过点作于，则， 同理可得 由折叠知，， ． 综上，的值为或． 28．已知：矩形的对角线与相交于点，点关于直线的对称点是，连结． (1)如图，试判断四边形的形状，说明理由； (2)如图，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有长度等于的线段． 【答案】(1)菱形，理由见解析； (2)图中所有长度等于的线段为． 【分析】（）根据矩形的性质及轴对称的性质可知，最后利用菱形的判定即可解答； （）利用矩形的性质及菱形的性质可知，再利用等边三角形的性质及菱形的性质可知，最后利用全等三角形的性质及锐角三角函数即可解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点关于直线的对称点是， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点是， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴图中所有长度等于的线段为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握菱形的判定与性质及锐角三角函数是解题的关键． 29．如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，． (1)【基础巩固】 求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形； (2)【操作思考】 如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长； (3)【拓展探究】 如图3，连结，若四边形为菱形，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）设，根据勾股定理，建立方程求解即可； （3）延长交于点，证明，得，所以是等腰直角三角形，然后根据菱形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 如图2，连接交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 整理得， 解得：或（舍去）， ． 当时，四边形能成为菱形； （3）解：如图3，连结，延长交于点， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形为菱形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 30．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3） 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，根据即可得是等边三角形； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，则 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于，则    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，，即：， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 31．在中，点是上任意一点，延长交的延长线于点． (1)在图1中，当时，求证：是的平分线； (2)根据（1）的条件和结论， ①如图2，若，点是的中点，请求出的度数； ②如图3，若，且，连接、，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据等边对等角，利用四边形是平行四边形，可得，由等量关系可得即可证明结论； （2）①先说明是等腰直角三角形可得，再证明可得，然后证明是等腰直角三角形即可证明结论；②延长相较于H，连接，求证四边形是平行四边形，再求证是等边三角形，求证，再根据全等三角形的性质及角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：①如图2，连接 ∵在平行四边形中，， ， ， ， 又， ∴是等腰直角三角形，即：， 由（1）可得：， ， 又∵是的中点， ， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，即：； ②如图3，延长相较于H，连接． ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形为平行四边形 由（1）可得：AD=DF，CE=CF ∴平行四边形是菱形．平行四边形是菱形． ∵， ∴,, ∴是等边三角形，即， 在与中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，综合运用相关知识成为解题的关键． 32．【问题探究】 （1）如图①，在矩形中，，，点为边上一点，且，连接，过点作DF//BE交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （2）小丽和小勇在玩折纸片游戏，如图②，有一块矩形纸片，小丽将该纸片沿（点、分别在边、上）所在直线折叠后，点恰好与点重合，点落在点处，并测得，，的角平分线交于点，小勇根据小丽的折纸过程和测量结果，计算出了的长度，你知道小勇是怎么计算的吗？请你写出正确的计算过程． 【答案】（1）四边形是菱形，见详解；（2） 【分析】（1）根据，证明四边形是平行四边形，再根据已知条件和勾股定理得出，即可证出四边形是菱形； （2）连接，连接，根据四边形沿着折叠，点恰好与点重合，点与点重合，得，又，可得，即有 ，四边形是菱形，平分，根据平分，可得，故、、共线，在中， ，在中， ，即得． 【详解】（1），， 四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，连接，如图： ∵四边形沿着折叠，点恰好与点重合，点与点重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ， ∴平分， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴、、共线， 在中， ∴， 在中， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形判定，矩形的性质，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，用勾股定理解决问题． 33．已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，．    (1)如图①，求证； (2)如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，进而有，从而利用即可证明结论成立； （2）先证四边形是菱形，得，又证，得，由（）得得，根据等角的补角相等即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∵， ∴．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及等角的补角相等．熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 34．在菱形中，，点是线段上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随着点的位置变化而变化． (1)如图，当点在菱形内部或边上时，连接， 判断： 与的数量关系是__________请写出证明过程． 与的位置关系是___________请写出证明过程． (2)若，点为的中点，则线段的长最小值为_______最大值为________． (3)如图，当点在线段的延长线上时，连接，若，，直接写出四边形的面积________． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】（）连接，交于点，根据题意可得和为等边三角形, 从而，又有为等边三角形，可得，，可证得到，，再根据等边三角形的性质，菱形的性质，平行线的性质可得，即可解答； （）由（）知，由此可以判断点轨迹为射线，当时，最小，当点运动当点时，此时最大，过作，分别求解即可； （）连接，，设与交于点，与交于点，由（）可得，根据勾股定理，然后分别求出和即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴和为等边三角形， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，，， 即， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，点为的中点， ∴， 由（）知，由此可以判断点轨迹为射线， ∴当时，最小， ∵，是等边三角形， ∴， ∴， 即的最小值为， 当点运动当点时，此时最大，过作， ∵为等边三角形，此时， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 由此可知， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴的最大值为， 故答案为：，； （3）解：如图，连接，，设与交于点，与交于点， 由（）可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴的高为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，垂线段中点，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用解题的关键． 35．如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，，，将沿着的方向以每秒的速度运动到图②中的位置，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，沿着的方向运动时间为秒， ①当为何值时，是菱形？请说明你的理由； ②能是矩形吗？若能，求出的值及此矩形的面积；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见详解． (2)①当秒时，四边形是菱形； ②能,的值为，及此矩形的面积． 【分析】（1）根据平移和全等三角形的性质可得，，即可得出，再根据全等三角形的性质易得，，即可证明四边形是平行四边形； （2）①当秒时，根据等边三角形的性质和判定，即可得出四边形是菱形； ②根据矩形的性质可得，，在根据含的直角三角形可得，再根据勾股定理可得，，从而得出． 【详解】（1）证明：由题意可得， ∴， 根据平移的性质得到：． 在与中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：①当秒时，四边形是菱形． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． ②能．∵是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当四边形是矩形， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，平移和全等三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形，平行四边形，矩形和菱形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 36．如图1，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，若，，，求的面积； (3)如图3，连接，作关于直线对称的，其中点A，B的对应点分别为点C，，恰好有，垂足为G，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)52 (3) 【分析】（1）根据平行四边形性质得出：，，，利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图2，过点A作于点G，则，再证明四边形是矩形，推出，设，则，利用勾股定理求得，再运用平行四边形面积公式即可求得答案； （3）如图3，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，运用轴对称性质可得出：，，，推出、是等腰直角三角形，再证得是等腰直角三角形，得出，运用角平分线性质可得，进而得出，再利用等腰三角形性质可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，∵四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ， ， 即， 四边形为平行四边形； （2）解：如图2，过点A作于点G， 则， ， ， ， ， 四边形是矩形，，， 由（1）得：，， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， ， 的面积为； （3）解：如图3，过点E作交于点M，过点F作于点T，连接交的延长线于点N， 由（1）知， 四边形是平行四边形， 由（1）知， 四边形是菱形，，， 又关于直线对称的，其中点的对应点分别为点，， ，，， 由（1）知四边形为平行四边形， ， 又， ， ， 、是等腰直角三角形， 垂直平分， 即， 又，， ， ， 即是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又，， ， ， 又是等腰直角三角形， ， 故的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，平行四边形面积，轴对称性质等知识点，综合性较强，难度较大，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 37．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图，连接，若，，，求的面积； (3)如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，，恰好有，垂足为若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 (3)的长为． 【分析】（1）根据平行四边形性质得出：，，，利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图，过点A作于点，则，再证明四边形是矩形，推出，设，则，利用勾股定理求得，再运用平行四边形面积公式即可求得答案； （3）如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，运用轴对称性质可得出：，，，推出、是等腰直角三角形，再证得是等腰直角三角形，得出，运用角平分线性质可得，进而得出，再利用等腰三角形性质可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ， ， 即， 四边形为平行四边形； （2）解：如图，过点作于点， 则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 由（1）得：，， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， ， ▱的面积为； （3）解：如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点， 由（1）知， 四边形是平行四边形， 由（1）知， 四边形是菱形， ，， 又关于直线对称的，其中点，的对应点分别为点，， ，，， 由（1）知四边形为平行四边形， ， 又， ， ， 、是等腰直角三角形， 垂直平分， 即， 又，， ， ， 即是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又，， ， ， 又是等腰直角三角形， ， 故的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，平行四边形面积，轴对称性质等知识点，综合性较强，难度较大，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 38．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中，，． (1)操作发现∶ 如图2，固定，使绕点C旋转，当点D恰好落在边上时，填空∶ ①线段与的位置关系是 ； ②设的面积为， 的面积为，则与的数量关系是 ． (2)猜想论证∶ 当绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想． (3)拓展探究 已知，点D是角平分线上一点，，交于点E（如图4），若在射线上存在点F，使，请直接写出的长． 【答案】(1)①  ② (2)见解析 (3)存在； 或 【分析】（1）①根据旋转的性质结合、的大小可得是等边三角形，从而可得； ②根据等边三角形性质和角所对的直角边等于斜边的一半可得，从而可得即； （2）过点 D作于 M， 过点A 作 与 N，根据旋转的性质易证，可得，结合，即可证得； （3）作交于 F． 延长交于 H，可得四边形是平行四边形，从而可得，结合角平分线性质和，可得四边形是菱形，再根据勾股定理可求得菱形边长，得出第一种情况，根据图形可知点F的情况存在两种，结合平行线的性质和锐角三角函数即可求得另一种情况下的长． 【详解】（1）解：①如图2中， 由旋转可知： 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ②，， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）解：如图3中， 过点 D作于 M， 过点A 作 与 N． 是由 绕点 C 旋转得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图4中， 作交于 F． 延长交于 H． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 作点F关于的对称点， 连接 ， ， 在中， ， ， 综上所述，满足条件的的值为： 或 ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等角对等边，等边三角形性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，平行线的性质与判定，角平分线性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 39．【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若是边的中点，则线段与之间的数量关系是______； (2)【探究】如图2，若为边上任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)【应用】在如图3所示的菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，求线段的长． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)线段的长为或4． 【分析】（1）证明，得出； （2）证明，得出； （3）先求出，再求出，最后分类讨论得到的长度，由此得出的长度． 【详解】（1）解：，证明如下： 连接， 四边形是菱形，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 连接， 四边形是菱形，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：过点作于，连接， 四边形是菱形，且，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧（图中处）时，， 由（2）知， ， 线段的长为或4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，分类讨论等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 40．[问题提出] （1）如图①，为矩形的对角线，点E为的中点，连接，若，，则的长为 ； [问题探究] （2）如图②，为的对角线，且，点E、F分别为边、的中点，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由； [问题解决] （3）如图③，是王叔叔家的果园平面示意图，王叔叔欲对该果园进行扩建，扩建部分为平行四边形，其中点D在的延长线上，E、F分别为边、的中点，在四边形内种植某种新品种果树，经测量，，，米，，P、H为两个临时仓库，其中H为的中点，点P在上，现要沿、修建两条运输通道，问运输通道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）的最小值为米． 【分析】（1）先求解，可得； （2）证明，，结合，可得四边形是平行四边形，结合，F为边的中点，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，连接交于，证明四边形是矩形，可得，结合（2）可得：四边形为菱形；可得，此时最小，证明为等边三角形，可得，证明，，再进一步可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵点E为的中点， ∴； （2）四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E、F分别为边、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，F为边的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （3）如图，连接，连接交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E、F分别为边、的中点， 结合（2）可得：四边形为菱形； ∴，，，互相垂直平分， ∴，此时最小， ∵， ∴， ∴为等边三角形，而， ∴， ∵H为的中点， ∴，， ∴； ∴的最小值为米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，化为最简二次根式，掌握几何基础知识是解本题的关键． 41．在中，，点M在的延长线上，点N在的延长线上，平分，． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，连接，交于点O，过点D作，交于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与面积相等的4个三角形． 【答案】(1)见解析； (2)，，，． 【分析】（1）根据等边对等角可推出，根据角平分线的定义可推出，再结合三角形外角的性质可得出，即推出，结合题意，即证明四边形是平行四边形； （2）首先证明平行四边形是菱形，然后证明是等边三角形，得到，再根据等底等高的三角形面积相等可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，四边形是平行四边形， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴、、、的面积都与的面积相等． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质，平行线间的距离处处相等，等底等高的三角形面积相等等知识．熟知特殊四边形的判定和性质是解题关键． 42．如图，已知菱形，为延长线上一点．且． (1)求证：； (2)如图（2），点为线段上一点，连接，为的中点，连接，．求证：； (3)在（2）的条件下，若，，菱形的面积为，直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由菱形的性质得到，根据等边对等角得，，再根据三角形内角和定理求出，即可得证； （2）延长至点，使，连接、，根据三角形中位线定理得到，证明四边形是菱形，得到，，证明，得，即可得证； （3）过点作交的延长线于点，过点作交于点，设，由勾股定理得，根据菱形的面积公式求得，继而求得，，根据等腰三角形三线合一性质得到，根据角的直角三角形的性质得到，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即； （2）延长至点，使，连接、， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作交的延长线于点，过点作交于点，设， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角直角三角形的性质，菱形的面积，三角形的面积等知识点，掌握菱形的判定和性质，通过作适当辅助线以利用三角形中位线定理及构造直角三角形是解题的关键． 43．在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．    初步思考 （1）若点P落在矩形的边上（如图1）． ①当点P与点A重合时，_________°，当点E与点A重合时，_________°， ②当点F与C重合时，_________； 深入探究 （2）当点E在上，点F在上，、交于点O时（如图2）， ①求证：四边形为菱形； ②若，则_________ ③若的面积为S，则S的取值范围为_________； 拓展延伸 （3）若点F与点C重合，点E在上，射线与射线交于点M（如图3）．当时，_________． 【答案】（1）①，②，②；（2）①证明见解析；②当时，菱形的边长为；③；（3）或． 【分析】（1）①当点P与点A重合时，如图1，画出图形可得结论； 当点E与点A重合时，如图2，则平分；②如图3，利用勾股定理求解，可得的长度； （2）①证明得，根据一组对边平行且相等得：四边形是平行四边形，加上对角线互相垂直可得为菱形， ②当时，设菱形的边长为x，根据勾股定理列方程得：，求出x的值即可；③分别画出面积最大的菱形与面积最小的菱形，结合菱形的性质可得答案； （3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）①当点P与点A重合时，如图1，    ∴是的中垂线， ∴， 当点E与点A重合时，如图2，    此时； ②如图3，∵矩形，，， ∴，，，    由对折可得：，， ∴， ∴； （2）①当点E在上，点F在上时，如图4，    ∵是的中垂线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形， ②当时，设菱形的边长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ， ∴当时，菱形的边长为； ③由①得：四边形为菱形， ∴， 当A，E重合时，，此时面积最小，    最小面积为， 如图6，当，B重合时，最大，此时面积最大，    设，则， ∴，解得：， 最大面积为：， ∴． （3）如图7，连接，    ∵， ，， ∴， ∴， 设，则，则， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 即， 如图8，    ∵， ，， ∴， ∴，，则， 设，则，则，， 则，，， ∴， 解得：．即． 综上：的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想． 44．已知，在四边形中，与相交于点，，平分． (1)如图，求证：四边形是菱形； (2)如图，过点作于，若，，求的长； (3)如图，，点为延长线上一点，连接交于点，点、分别是、边上一点，且，过点作的垂线，垂足为，，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）利用菱形面积的两种求法，构建关系式解决问题即可； （3）过点作于点，过点作于证明≌，推出，证明≌，推出，设，则，，在中，，根据勾股定理，构建方程求出即可． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：▱是菱形， ，，， ， 在中，根据勾股定理， ， ， ； （3）解：，， ， 是等边三角形， ， 过点作于点， ， ， ， 在中，根据勾股定理， 过点作于． 四边形是菱形， ， ， ，， ， 又， ≌， ， ，， 即， 又,为公共边， ≌， ， 设，则，， 在中，，根据勾股定理， ， 解得， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 45．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形PBFE为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）①；②36， 【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论； （2）①根据矩形的性质和勾股定理求得AE的长，再在Rt△APE中求得PE，即菱形的边长； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ， ∴点B与点E关于PQ对称， ∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF， 又∵EF∥AB， ∴∠BPF＝∠EFP， ∴∠EPF＝∠EFP， ∵EP＝EF， ∴BP＝BF＝EF＝EP， ∴四边形BFEP为菱形； （2）①∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠D＝90°， ∵点B与点E关于PQ对称， ∴CE＝BC＝10， 在Rt△CDE中，DE＝＝8， ∴AE＝AD﹣DE＝2； 在Rt△APE中，AE＝2，AP＝6-PB＝6﹣PE， ∴，解得：， ∴菱形BFEP的边长为； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2，， ， 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，， ∴菱形的面积范围：． 菱形PBFE面积的最大值是36，最小值是． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE是本题的关键． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第18章 18.2.2 菱形 压轴题常考题型分类训练（8大题型45题）（原卷版） 题型1：利用菱形的性质求角度（2题） 题型2：利用菱形的性质求线段长（6题） 题型3：利用菱形的性质求面积（5题） 题型4：利用菱形的性质证明（7题） 题型5：证明四边形是菱形（7题） 题型6：根据菱形的性质与判定求角度（6题） 题型7：根据菱形的性质与判定求线段长（7题） 题型8：根据菱形的性质与判定求面积（5题） 题型1：利用菱形的性质求角度（2题） 1．已知菱形中，点F是射线上一动点（不与C、D重合），连接并延长交直线于点，交于，连接．(1)若点F在边上，且，过点C按如图所示作并交于点 ①证明：；②猜想的形状并说明理由． (2)若菱形边长为4，当为等腰三角形时，求的长． 2．如图，菱形ABCD中，分别过点B作BC的垂线，过点D作CD的垂线交于点E． (1)如图1，若∠ABC=45°，连接AE，BD，求证：AE=BD； (2)如图2，若∠ABC=60°，点F是DE延长线上的一点，点G为EB延长线上的一点，且EF=BG．连接BF、DG，DG交FB的延长线于点H，连接AH，已知BH=2，AH=5，求线段DH的长； (3)如图3，在（2）的条件下，点M，N分别在线段BE，BD上，将△EBD沿直线MN折叠，使点B落在DE边上的点Q处，连接MQ，NQ，若EQ=mDQ，求的值．（用含m的代数式表示） 题型2：利用菱形的性质求线段长（6题） 3．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线相交于点，且． 【初步感知】（1）当是线段的中点时（如图①），与的数量关系为___________； 【深入探究】（2）如图②，将图①中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？说明理由； 【拓展应用】（3）如图③，将图①中绕点A继续顺时针旋转，当时，直接写出的长． 4．如图，四边形中，，，并且平分，，．点是上的动点，点在射线上．(1)如图1，求证：四边形为菱形；(2)如图2，连接，若，求的度数； (3)如图3，若，连接，求的最小值． 5．数学课上，张老师出示了一个问题：在菱形中，连接，可在直线上平移，得到，的平分线交射线于点． (1)小芳想，当点在的沿长线上时，如图1，线段和线段之间会有怎样的数量关系呢？请你作出判断：_______（填“”，“”或“”） (2)当点在线段上时，如图2，小琳同学对线段和线段之间的数量关系作出了判断：． ①小迪认为在图2中，不用添画辅助线，可以证明出小琳的结论； ②小芮觉得可以添画如图3的辅助线，构造全等三角形来证明小琳的结论； 请你选择用小迪或小芮的思路，写出一种证明过程． (3)小怡突发奇想：点在线段上，若，，当是等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 6．综合与实践： 【提出问题】在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，， ， ， 又、， ______＋______， 化简整理得_______； 【类比探究】（2）如图2，若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系； 【拓展应用】（3）如图3，四边形为平行四边形，对角线相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 7．如图1，在菱形中，，对角线，交于点O，P是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，， （）．(1)①填空： ， ； ②当时． 求证：，；(2)如图2，当时，连接，若，求的长； (3)如图3，当时，连接，若，直接写出的长． 8．如图1，已知菱形，点E是对角线上任意一点（不与端点B、D重合），连结，，，． (1)求证：．(2)若，则的值． (3)如图2，延长交于点F，若是等腰三角形，求的长． 题型3：利用菱形的性质求面积（5题） 9．如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接．(1)判断四边形的形状，并说明理由.(2)若，，求四边形的面积． 10．如图，菱形，．  (1)若，则菱形的面积为 　 　； (2)点E、F分别为菱形边、上一个动点，连接、，且、交于点P，、交于点G，E、F在运动过程中，三角形的面积与四边形的面积相等．①如图2，求证：； ②如图3，O为的中点，连接、，求证：． 11．如图，在边长为10的菱形中，对角线，对角线，相交于点G，点O是直线上的动点，于E，于F．  (1)求对角线的长及菱形的面积．(2)如图①，当点O在对角线上运动时，的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线的延长线上时，的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究，之间的数量关系． 12．已知等边三角形的边长为12，D为射线上一动点（点不与，重合），以为边作菱形，使，连接．(1)如图，当点在边上时，求证：，(2)在点的移动过程中，当时，求的长度(3)设与菱形的面积分别为，，直接写出的最大值． 13．【教材呈现】在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直． 【结论运用】(1)如图①，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的面积是 　　； (2)如图②，四边形是平行四边形，点在上，四边形是菱形，连接、、，求证：； (3)如图③，四边形是菱形，点在上，四边形是菱形，连接，若，则　　度． 题型4：利用菱形的性质证明（7题） 14．在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______________，与的位置关系是______________； (2)如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点P在直线上时，其他条件不变，连接．若，请直接写出的面积． 15．【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”． 问题情境：在菱形中，，为边上一点（与、不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为． 【操作感知】（1）小华取，如图1，射线与射线交于点，请你帮小华同学补全下面两个问题的答案： ①线段与的数量关系是 　　；②线段、、的数量关系是 　　． 【猜想论证】（2）小强取，如图2，射线与射线交于点，小强在笔记本上记录了自己的思考过程： 线段与的数量关系与（1）①相同 但线段、、的数量关系好像不再成立 我发现线段、、之间好像具有与（1）②类似的数量关系 请你帮小强同学完成线段、、之间数量关系的猜想并给出证明． 【拓展探究】（3）小毅测量得到，，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在边所在的直线上时，记点到直线的距离为，请直接写出的值． 16．在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 17．综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点． (1)【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系 ． (2)【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，（）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由； (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 18．【问题提出】（1）如图①，点P为菱形的对角线上一点，连接，，若，则的长为______； 【问题探究】（2）如图②，在四边形中，，， ，，点E，F分别在线段，上，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）为响应国家“乡村振兴”号召，王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图③，在矩形的边的中点H处有一个凉亭，在上取一点E（不与端点重合），下方取一点F，点G为矩形内一点．根据需求，要将区域规划为休闲垂钓区，四边形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，计划沿，修建两条休闲通道，为了让空间更加和谐、美观，需使四边形为菱形，且，，经测量米，米，请你帮助王大爷计算“民宿”区域（菱形）的面积 19．问题情境：在菱形中，，．点是对角线上的动点，连接，以为边作菱形，且． 特例感知：(1)如图①，当点落在上时，试判断与的数量关系，并说明理由； 深入研究：(2)当点运动到如图②所示的位置上时，即点落在上方时，连接，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 解决问题：(3)在点的运动过程中，当点、、在同一条直线上时，直接写出此时的长． 20．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，．(1)当点E在线段上时，①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长．(2)当时，求的长．（直接写出答案） 题型5：证明四边形是菱形（7题） 21．如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，．   (1)求证：四边形是菱形：(2)若，，，求的面积． 22．【问题情境】数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．四边形的形状为 ，请说明理由；（2）如图2，若点F为的中点，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由；【深入探究】（3）如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 的值． 23．如图①，是矩形的对角线，，．将沿射线方向平移到的位置，使为中点，连接，，，，如图②．(1)求证：四边形是菱形；(2)四边形的周长为 ；(3)将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长． 24．在中，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作． (1)如图1，求证：为菱形；(2)如图2，若，连接，①求证：； ②判断的形状，并加以证明．(3)如图3，若，M是的中点，连结，若，则 ． 25．综合与实践：在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，，．   (1)操作发现：操作一：如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，将纸片展平再次叠，使点与点重合，折痕为，然后展平得到图2，则以点，，，为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由； (2)实践探究：操作二：如图3，在矩形纸片中，点为的中点，将纸片沿折叠，使点落在点处，连接．①判断与折痕的位置关系，并说明理由；②求的长． (3)拓展应用：将矩形纸片裁剪为，，在图3的情形下，若为上任意一点，其他条件不变，当点与点距离最小时，直接写出的长． 26．如图1，是平行四边形对角线的交点，过点作，，垂足分别为，，若，我们称是平行四边形的心距比． (1)如图2，四边形是平行四边形，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，四边形是矩形，，求四边形的心距比； (3)如图，在中，，，动点从点出发，沿线段向终点运动，动点自出发，沿线段向终点运动，、两点同时出发，运动速度均为每秒1个单位，连接．以、为邻边作平行四边形，若四边形的心距比，则点运动时间为____秒． 27．【问题情境】数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． 【特例探究】（1）如图1，使点与点重合，点的对应点记为，折痕与边分别交于点．四边形的形状为 ，请说明理由；（2）如图2，若点为的中点，，延长交于点．试证明：； 【深入探究】（3）如图3，若，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值． 题型6：根据菱形的性质与判定求角度（6题） 28．已知：矩形的对角线与相交于点，点关于直线的对称点是，连结． (1)如图，试判断四边形的形状，说明理由；(2)如图，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有长度等于的线段． 29．如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，． (1)【基础巩固】求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形； (2)【操作思考】如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长； (3)【拓展探究】如图3，连结，若四边形为菱形，且，求的度数． 30．问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究：（1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ． 问题解决：（2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 31．在中，点是上任意一点，延长交的延长线于点．(1)在图1中，当时，求证：是的平分线；(2)根据（1）的条件和结论，①如图2，若，点是的中点，请求出的度数；②如图3，若，且，连接、，请直接写出的度数． 32．【问题探究】（1）如图①，在矩形中，，，点为边上一点，且，连接，过点作DF//BE交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】（2）小丽和小勇在玩折纸片游戏，如图②，有一块矩形纸片，小丽将该纸片沿（点、分别在边、上）所在直线折叠后，点恰好与点重合，点落在点处，并测得，，的角平分线交于点，小勇根据小丽的折纸过程和测量结果，计算出了的长度，你知道小勇是怎么计算的吗？请你写出正确的计算过程． 33．已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，．   (1)如图①，求证；(2)如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等． 题型7：根据菱形的性质与判定求线段长（7题） 34．在菱形中，，点是线段上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随着点的位置变化而变化．(1)如图，当点在菱形内部或边上时，连接， 判断： 与的数量关系是__________请写出证明过程． 与的位置关系是___________请写出证明过程．(2)若，点为的中点，则线段的长最小值为_______最大值为________． (3)如图，当点在线段的延长线上时，连接，若，，直接写出四边形的面积________． 35．如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，，，将沿着的方向以每秒的速度运动到图②中的位置，连接． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，沿着的方向运动时间为秒， ①当为何值时，是菱形？请说明你的理由； ②能是矩形吗？若能，求出的值及此矩形的面积；若不能，说明理由． 36．如图1，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形为平行四边形；(2)如图2，连接，若，，，求的面积； (3)如图3，连接，作关于直线对称的，其中点A，B的对应点分别为点C，，恰好有，垂足为G，若，求的长． 37．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)如图，连接，若，，，求的面积； (3)如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，，恰好有，垂足为若，求的长． 38．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中，，． (1)操作发现∶如图2，固定，使绕点C旋转，当点D恰好落在边上时，填空∶①线段与的位置关系是 ；②设的面积为， 的面积为，则与的数量关系是 ． (2)猜想论证∶当绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想． (3)拓展探究：已知，点D是角平分线上一点，，交于点E（如图4），若在射线上存在点F，使，请直接写出的长． 39．【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若是边的中点，则线段与之间的数量关系是______； (2)【探究】如图2，若为边上任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)【应用】在如图3所示的菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，求线段的长． 40．[问题提出]（1）如图①，为矩形的对角线，点E为的中点，连接，若，，则的长为 ； [问题探究]（2）如图②，为的对角线，且，点E、F分别为边、的中点，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由； [问题解决]（3）如图③，是王叔叔家的果园平面示意图，王叔叔欲对该果园进行扩建，扩建部分为平行四边形，其中点D在的延长线上，E、F分别为边、的中点，在四边形内种植某种新品种果树，经测量，，，米，，P、H为两个临时仓库，其中H为的中点，点P在上，现要沿、修建两条运输通道，问运输通道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 题型8：根据菱形的性质与判定求面积（5题） 41．在中，，点M在的延长线上，点N在的延长线上，平分，． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形；(2)如图2，当时，连接，交于点O，过点D作，交于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与面积相等的4个三角形． 42．如图，已知菱形，为延长线上一点．且．(1)求证：； (2)如图（2），点为线段上一点，连接，为的中点，连接，．求证：； (3)在（2）的条件下，若，，菱形的面积为，直接写出的面积． 43．在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．   初步思考：（1）若点P落在矩形的边上（如图1）． ①当点P与点A重合时，_________°，当点E与点A重合时，_________°， ②当点F与C重合时，_________； 深入探究：（2）当点E在上，点F在上，、交于点O时（如图2），①求证：四边形为菱形；②若，则_________③若的面积为S，则S的取值范围为_________； 拓展延伸：（3）若点F与点C重合，点E在上，射线与射线交于点M（如图3）．当时，_________． 44．已知，在四边形中，与相交于点，，平分．(1)如图，求证：四边形是菱形；(2)如图，过点作于，若，，求的长； (3)如图，，点为延长线上一点，连接交于点，点、分别是、边上一点，且，过点作的垂线，垂足为，，当，时，求的长． 45．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形PBFE为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$