19.5 角的平分线(5大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

19.5 角的平分线 知识点一 作已知角的平分线 1. 用尺规作已知角的平分线 已知:∠AOB.求:∠AOB的平分线. 作法:如图所示 (1)以点 0为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB 于点N (2)分别以点 M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧∠AOB的内部相交于点 C (3)画射线OC,射线OC即为所求. 2. 作图依据 构造，根据全等三角形的对应角相等,找到角的平分线. 注意： (1)画“射线 OC”不能叙述为“连接 OC”因为角的平分线是一条射线，而不是线段 (2)两弧的交点应在角的内部找,因为要作的是角的平分线 知识点二 角的平分线的性质 1. 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2. 书写格式 提示: (1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再通过证全等三角形得到相等线段; (2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，即构造“角的平分线性质”的基本图形,得到相等的两条垂线段. 知识点三 角平分线性质定理的逆定理 1.逆定理 在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 2.书写格式 如图所示, 知识点四 三角形角平分线的性质 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等 题型一、角平分线性质定理及证明 解题技巧提炼 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1．如图所示，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和外角∠ACE，若∠D﹦240，则∠A﹦ . 【答案】480 【分析】根据外角性质得∠ACD=∠DCE,∠ABD=∠DBC,即可得到∠A =2∠D,代入度数即可解题. 【详解】解：∵BD、CD分别平分∠ABC和外角∠ACE，∠D﹦24°， ∴∠ACD=∠DCE,∠ABD=∠DBC, ∵∠DCE=∠D+∠DBC,∠ACE=∠A+∠ABC,（外角性质） ∴2（∠D+∠DBC）=∠A+∠ABC, 即2∠D+∠ABC=∠A+∠ABC, ∴∠A =2∠D=48°. 【点睛】本题考查了三角形的外角性质,角平分线性质,属于简单题,熟悉外角性质,找准外角是解题关键. 2．对于平面直角坐标系中的点P与图形M，N给出如下定义：点P到图形M上的各点的最小距离为m，点P到图形N上各点的最小距离为n，当时，称点P为图形M与图形N的“等长点”．如：点，，中，点O就是点E与点F的“等长点”，已知点，，，连接，若点P既是点O与点A的“等长点”，也是线段与线段的“等长点”，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据题意画出图形，利用格点找出线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可得上的点到点O与点A的距离相等，直线与或的角平分线的交点即为所求． 【详解】解：如下图， 由图可知，直线垂直平分，因此直线上的点是点O与点A的“等长点”， 由图可知，是直线与的角平分线的交点，是直线与的角平分线的交点， 因此或到线段与线段距离相等，是线段与线段的“等长点”， 故点P的坐标为或． 故答案为：或． 3．教材第56页拓广探索12题： (1)如图，在中，是它的角平分线     ①求证：； ②另一方面，我们进一步探索，可以证明． 请你选择上述两结论中的其中一个进行证明； (2)由（1）的探索我们可以得到关于的角平分线的一个性质，请你总结这个性质（结合图1表述）； (3)运用你所得到的结论完成下列证明：如图2，是的平分线，交的延长线于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例（答案不唯一，合理即可）； (3)证明见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积公式等知识点，掌握等高（同高）的两个三角形的面积比等于底边之比是解题的关键． （1）①由角平分线的性质得，再根据三角形的面积公式即可解答；② 直接根据三角形的等面积法即可解答； （2）直接根据（1）总结归纳性质即可； （3）先根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定可得，再根据（1）的结论即可解答． 【详解】（1）①证明：过D作, ∵是角平分线，, ∴,           ∵， ∴；           ②证明：过A作于点H ，    ∵， ∴ ． （2）解：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例（答案不唯一，合理即可）． （3）证明:∵是的平分线, ∴,           ∵, ∴, ∴, ∴,           ∵是的角平分线， ∴， ∴． 4．如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点作交于，延长、交于点． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，的面积为求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得到，进而得到，根据，得到，即可得到，问题得证； （2）根据线段垂直平分线段性质得到，进而得到，即可得到，根据即可证明； （3）先证明，过点作，垂足为，根据的面积为求出，根据平分，，，即可求出． 【详解】（1）证明：∵所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）证明：∵所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 过点作，垂足为， ∵的面积为， ∴， 又∵， ∴， ∵平分，，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，角平分线的性质等知识，熟知相关知识并根据图形特点灵活应用是解题关键． 5．（1）如图1，用尺规作图，过点作直线的平行线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）小明的作法是（如图2）： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线于点，连接，并延长至点； ②以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点．分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．作直线． 请说明这样作图的理由． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的性质得到，再利用外角的性质得到，最后利用角平分线的性质可得到进而得到结论． 【详解】解：∵以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线于点，连接， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵根据作图可知：是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的判定，掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键． 6．如图，点在上，，，．求证：平分．    【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】证明：， ， 在和中， ≌， ，， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 7．如图1，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点，若，． (1)求证：平分； (2)如图2，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，，求． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)1 【分析】（1）由外角的性质可得，，可得结论； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）如图2，连接，过点作于， 由（1）可知平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 题型二、角平分线的性质定理 解题技巧提炼 1.逆定理 在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 2.书写格式 如图所示, 8．三角形中到三条边距离相等的点是（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】此题考查了三角形角平分线的性质．角平分线上的点到这个角的两边距离相等，据此得到解答． 【详解】解：三角形中到三条边距离相等的点是三条角平分线的交点， 故选：D 9．如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（    ）    A．9 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质定理的应用，本题过作于，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，    ∵，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点到的距离为4． 故选D 10．如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积． 【详解】解：过作于， ，， ， ， 的面积． 故答案为：24． 11．如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的面积为 ．    【答案】20 【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键．过点D作于F，根据角平分线的性质定理得到，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点D作于F，如图，    ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴，又， ∴的面积为， 故答案为：20． 12．如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质．过点O作于点M，交于点N，根据，得出，求出，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点O作于点M，交于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵、分别平分，， ∵， ∴，， ∴， ∴两平行线、之间的距离为． 故答案为：． 13．如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于 ． 【答案】9 【分析】本题考查角平分线的性质．过点作，根据角平分线的性质得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，平分， ∴， ∴的面积等于； 故答案为：9． 14．在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是 ． 【答案】3 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得解． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴； 即：到的距离是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 15．如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 【答案】厘米 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法． 由角平分线的性质可得，，又，据此求解． 【详解】解：平分，于，于， ， ，厘米，厘米， ， 解得 即的长度为3厘米． 题型三、角平分线的判定定理 解题技巧提炼 角的平分线的判定的前提是:点在角的内部，且点到角两边的距商相等. 16．下列命题中，是假命题的是（      ） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ； B．每个命题都有逆命题； C．每个定理都有逆定理； D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定，命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可． 【详解】解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是正确； B、每个命题都有逆命题，所以B选项正确； C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误； D、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，正确． 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，命题与定理以及角平分线的判定方法，熟练利用这些判定定理是解题关键． 17．已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M(   ) A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上 C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质推出M在∠ABC的角平分线上，即可得到答案． 【详解】∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质， ∴点M应在∠ABC的平分线上． 故选C． 【点睛】本题主要考查对角平分线的性质的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的性质进行推理是解此题的关键． 18．已知△ABC内一点P，如果点P到AB、AC两边的距离相等，则点P（　　） A．在BC边的垂直平分线上 B．在BC边的高上 C．在BC边所对角的平分线上 D．在BC边的中线上 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质推出P在∠BAC的角平分线上，即可得到答案． 【详解】解： ∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF， ∴P在∠BAC的角平分线上， 故选C． 【点睛】考查对角平分线的性质的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的性质进行推理是解此题的关键． 19．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20．如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示） 【答案】 【分析】如图，过点E作三边的垂线，垂足分别为D，F，G，先根据角平分线的性质证得EF=DE，然后根据角平分线的判定证得，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求得∠EBA=，∠BAE=，最后根据三角形内角和求解． 【详解】解：过点E作于点D，于点F，于点G， ∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角， ∴， ∴AE也是∠BAC外角的平分线， ∴∠EBA=，∠BAE=， ∴∠EBA+∠BAE==， ∴∠AEB==． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，正确理解三角形的有关性质是解本题的关键． 21．平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ． 【答案】角平分线 【分析】根据角平分线的判定可知． 【详解】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线， 故答案为：角平分线． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题关键是明确在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 22．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN． 【答案】证明见解析. 【分析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM=PD，PN=PD，得到PM=PN，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】证明：作PD⊥BC于点D， ∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC， ∴PM=PD， 同理，PN=PD， ∴PM=PN，又PM⊥AB，PN⊥AC， ∴PA平分∠MAN． 【点睛】考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 题型四、角平分线性质的实际应用 解题技巧提炼 1.角平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. 23．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案． 【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等， ∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点， 而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点， 如图， ∴货物中转站可以供选择的地址有4处． 故选：D 24．如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过I点作于E，于F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过I点作于E，于F， 、、分别平分、、， ， ． 故选：C． 25．如图，直线，，表示三条公路.现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键．由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件;然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个． 【详解】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三角形外角平分线的交点，共三处． 故选：D． 26．如图，△ABC中，AD是角平分线，AC=4㎝．DE⊥AB，E为垂足．DE=3cm．则△ADC的面积是 cm2． 【答案】6 【分析】作辅助线,通过角平分线性质得DE=DF,再利用三角形面积公式即可求出△ADC的面积. 【详解】解：过点D作DF⊥AC与点F,如下图, ∵AD是角平分线， DE⊥AB，DE=3cm, ∴DE=DF=3, 又AC=4, ∴△ADC的面积= cm2. 【点睛】本题考查了三角形角平分线性质和三角形的面积,属于简单题,熟悉三角形角平分线的性质是解题关键. 27．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF    【答案】见解析 【分析】由角平分线的性质可知，再利用三角形全等证明，根据线段垂直平分线的判定定理可得结论. 【详解】解：∵是中的平分线，， ∴， ∵，， ∴ ∴点、D都在的垂直平分线上 ∴ 【点睛】本题综合考查了角平分线及线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质定理及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键. 28．已知：如图，，平分,平分，交于点，于点，求证：点到与的距离相等． 【答案】见解析． 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC=90°，进一步得到△CDO≌△CBO(ASA)，得出DO=BO，则CE是BD的垂直平分线，根据等腰三角形的三线合一的性质得出EC平分∠BED，从而得证． 【详解】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD=180°， ∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD， ∴∠ODC+∠OCD==90°， ∴∠DOC=90°， 又CE平分∠BCD， ∴∠DCO=∠BCO， ∵CO=CO，∠COD=∠COB， ∴△CDO≌△CBO(ASA)， ∴DO=BO， ∴CE是BD的垂直平分线， ∴EB=ED，又∠DOC=90°， ∴EC平分∠BED， ∴点O到EB与ED的距离相等． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 29．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 30．如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连结，若，求证：是的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，再根据证明即可； （2）由得到，根据垂直平分得到，推出，由此证得，即可得到是的角平分线． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵垂直， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线． 题型五、作角平分线（尺规作图） 解题技巧提炼 用尺规作已知角的平分线 已知:∠AOB.求:∠AOB的平分线. 作法:如图所示 (1)以点 0为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB 于点N (2)分别以点 M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧∠AOB的内部相交于点 C (3)画射线OC,射线OC即为所求. 31．如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，根据角平分线上的点到两边的距离相等，作出与的角平分线，角平分线交点，即为所求点I． 【详解】解：所作点I如下图所示： 32．如图，已知， (1)根据要求作图，在边上求作一点D．使得点D到点AB、AC的距离相等，在边上求作一点E．使得点E到A、D的距离相等；（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论） (2)在第（1）小题所作的图中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）到、的距离相等，则点D在的角平分线上，作的角平分线与的交点即为点D；到点A、的距离相等，则点E在的垂直平分线上，作的垂直平分线与的交点即为点E； （2）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得，再根据平行线的判定即可求解． 【详解】（1）解：点D、E为所求作的点，如图所示： （2）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的尺规作图，角平分线的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的定义和性质、以及两条直线平行的判定定理，判定直线平行的常用方法有：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行． 33．已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和尺规作图，线段垂直平分线的性质和尺规作图，点到、的距离相等，则点在的角平分线上，，则点在线段的垂直平分线上，据此作出的角平分线和线段的垂直平分线，二者的交点即为点． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 34．如图，在△ABC中，AC=6，BC=10． (1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等； （不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）作∠ACB的角平分线与AB的交点即为点P； （2）如图：过点P作PE⊥CA延长线于点E，PF⊥BC于点F，然后证得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：如图：点P即为所求； （2）解：如图：过点P作PE⊥CA延长线于点E，PF⊥BC于点F ∵CP平分∠ACB， ∴PE=PF， ∴ ∵=15 ∴ ∴=25． 【点睛】本题主要考查了作角平分线、角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是灵活运用角平分线的性质． 35．作图：已知和线段r，请在内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹） 【答案】图见解析． 【分析】根据题意点P到AC和BC的距离相等，可知点P在的角平分线上，点A到点P的距离等于定长r，可知点P在以点A为圆心，以定长r为半径的圆上，由此作图即可． 【详解】如图，先作的角平分线，再以点A为圆心，以定长r为半径作圆弧，圆弧与角平分线的交点即为点P． 【点睛】本题主要考查角平分线的画法，属于基础题，需要有一定的画图能力，熟练掌握角平分线的画法是解题的关键． 36．已知：∠O、点A及线段a（如图），求作：点P，使点P到∠O的两边的距离相等，且PA=a．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】答案见解析. 【分析】先利用尺规作图作出∠O的平分线，再以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧，与角平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P1和点P2即为所求． 【点睛】考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质． 37．如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10．点D在边AC上，且点D到边AB和边BC的距离相等． （1）用直尺圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点D）； （2）求点D到边AB的距离． 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于D，则根据角平分线的性质可判断点D到边AB和边BC的距离相等； （2）过点D作DE⊥AB于E，如图，利用勾股定理计算出BC=8，设DE=x，则DC=x，利用S△ADB+S△BCD=S△ABC得到x+x=×6×8，然后解方程求出x即可． 【详解】解：（1）如图，点D就是所要求作的点； （2）过点D作DE⊥AB于E，如图， 在Rt△ABC中，BC= =8， 设DE=x，则DC=x， ∵S△ADB+S△BCD=S△ABC， ∴10x+8x=×6×8 ∴x=， ∴点D到边AB的距离为． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.5 角的平分线 知识点一 作已知角的平分线 1. 用尺规作已知角的平分线 已知:∠AOB.求:∠AOB的平分线. 作法:如图所示 (1)以点 0为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB 于点N (2)分别以点 M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧∠AOB的内部相交于点 C (3)画射线OC,射线OC即为所求. 2. 作图依据 构造，根据全等三角形的对应角相等,找到角的平分线. 注意： (1)画“射线 OC”不能叙述为“连接 OC”因为角的平分线是一条射线，而不是线段 (2)两弧的交点应在角的内部找,因为要作的是角的平分线 知识点二 角的平分线的性质 1. 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2. 书写格式 提示: (1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再通过证全等三角形得到相等线段; (2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，即构造“角的平分线性质”的基本图形,得到相等的两条垂线段. 知识点三 角平分线性质定理的逆定理 1.逆定理 在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 2.书写格式 如图所示, 知识点四 三角形角平分线的性质 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等 题型一、角平分线性质定理及证明 解题技巧提炼 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1．如图所示，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和外角∠ACE，若∠D﹦240，则∠A﹦ . 2．对于平面直角坐标系中的点P与图形M，N给出如下定义：点P到图形M上的各点的最小距离为m，点P到图形N上各点的最小距离为n，当时，称点P为图形M与图形N的“等长点”．如：点，，中，点O就是点E与点F的“等长点”，已知点，，，连接，若点P既是点O与点A的“等长点”，也是线段与线段的“等长点”，则点P的坐标为 ． 3．教材第56页拓广探索12题： (1)如图，在中，是它的角平分线     ①求证：； ②另一方面，我们进一步探索，可以证明． 请你选择上述两结论中的其中一个进行证明； (2)由（1）的探索我们可以得到关于的角平分线的一个性质，请你总结这个性质（结合图1表述）； (3)运用你所得到的结论完成下列证明：如图2，是的平分线，交的延长线于点．求证：． 4．如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点作交于，延长、交于点． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，的面积为求的长． 5．（1）如图1，用尺规作图，过点作直线的平行线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）小明的作法是（如图2）： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线于点，连接，并延长至点； ②以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点．分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．作直线． 请说明这样作图的理由． 6．如图，点在上，，，．求证：平分．    7．如图1，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点，若，． (1)求证：平分； (2)如图2，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，，求． 题型二、角平分线的性质定理 解题技巧提炼 1.逆定理 在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 2.书写格式 如图所示, 8．三角形中到三条边距离相等的点是（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 9．如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（    ）    A．9 B．6 C．5 D．4 10．如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 11．如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的面积为 ．    12．如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 13．如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于 ． 14．在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是 ． 15．如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 题型三、角平分线的判定定理 解题技巧提炼 角的平分线的判定的前提是:点在角的内部，且点到角两边的距商相等. 16．下列命题中，是假命题的是（      ） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ； B．每个命题都有逆命题； C．每个定理都有逆定理； D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 17．已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M(   ) A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上 C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上 18．已知△ABC内一点P，如果点P到AB、AC两边的距离相等，则点P（　　） A．在BC边的垂直平分线上 B．在BC边的高上 C．在BC边所对角的平分线上 D．在BC边的中线上 19．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 20．如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示） 21．平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ． 22．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN． 题型四、角平分线性质的实际应用 解题技巧提炼 1.角平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. 23．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 24．如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 25．如图，直线，，表示三条公路.现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 26．如图，△ABC中，AD是角平分线，AC=4㎝．DE⊥AB，E为垂足．DE=3cm．则△ADC的面积是 cm2． 27．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF    28．已知：如图，，平分,平分，交于点，于点，求证：点到与的距离相等． 29．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 30．如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连结，若，求证：是的角平分线． 题型五、作角平分线（尺规作图） 解题技巧提炼 用尺规作已知角的平分线 已知:∠AOB.求:∠AOB的平分线. 作法:如图所示 (1)以点 0为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB 于点N (2)分别以点 M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧∠AOB的内部相交于点 C (3)画射线OC,射线OC即为所求. 31．如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 32．如图，已知， (1)根据要求作图，在边上求作一点D．使得点D到点AB、AC的距离相等，在边上求作一点E．使得点E到A、D的距离相等；（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论） (2)在第（1）小题所作的图中，求证：． 33．已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 34．如图，在△ABC中，AC=6，BC=10． (1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等； （不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少． 35．作图：已知和线段r，请在内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹） 36．已知：∠O、点A及线段a（如图），求作：点P，使点P到∠O的两边的距离相等，且PA=a．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 37．如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10．点D在边AC上，且点D到边AB和边BC的距离相等． （1）用直尺圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点D）； （2）求点D到边AB的距离． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$