第一章勾股定理单元测试2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第一章勾股定理2024-2025学年八年级上册数学北师大版( 时间:90 mìn 满分:120分 一、选择题(每小题3分，共30分.每小题给出的选项中只有一个选项符合题意) 1.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 ( ) A.50 B.16 C.25 D.41 2.下列各选项的三角形中，各有一边长为6，一边长为8，若第三边长分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是 ( ) 3.如图，正方形ABCD 由9个边长为1 的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF= ( ) A.30° B.45° C.60° 4.有下列说法:①因为0.6,0.8,1不是勾股数，所以三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形；②因为三边长分别为 的三角形是直角三角形，所以 是勾股数；③若整数a，b，c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数.其中错误的有 ( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 5.若 的三边长a，b，c满足 则△ABC是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6.如图，某自动感应门的正上方A 处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开，此时这名学生到感应门的距离 BC为1.2米，头顶到感应器的距离AD为1.5米，则这名学生的身高CD为( ) A.0.9米 B.1.3米 C.1.5米 D.1.6米 7.如图是一个上底面和下底面都是等边三角形的三棱柱盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240 cm，M为AB 的中点，在盒子里面，有一只飞蛾要从M 处飞到E 处，它的最短行程为 ( )1 A. 70 cm B. 240 cm C. 250 cm D.625 cm 8. 如图，四边形 ABCD中,AC⊥BD于点O,若AD=1,BC=4,则 等于 ( ) A.15 B.16 C.17 D.20 9.如图，四边形ABCD 是学校的一块空地，经数学兴趣小组测量可知∠B=90°,BC=3 米,AB=4 米,CD=13米，AD=12米.为了增大校园的绿化面积，学校决定在空地内铺设草坪，若铺设每平方米草坪需要30元，则将这块空地全部铺设一层草坪的费用是 ( ) A.1 080元 B.1530元 C.1800元 D.2 160元 10. 如图(1)，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图(2)的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S₁, S₂,S₃,已知 则两个较小正方形重叠部分(四边形 DEFG)的面积为 ( ) A.7 B.10 C.13 D.15 二、填空题(每小题4分，共24分) 11.如图，已知 中， 8, AB的垂直平分线分别交AC,AB 于点 D,E,连接BD,则CD的长为 . 12.2023年中秋节，王城公园的园艺师按如下方法新建造了一处如图所示的花坛，他们先以直角三角形ABC 的三边为直径分别向外作半圆，又将金色的菊花摆放至半圆内，若斜边 ，则摆放菊花的三个半圆的面积为 m². 13.如图，在离水面8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点 D 的位置，此时绳子CD 的长为10米，问船向岸边移动了 米. 14.如图，四边形ABCD 是长方形地面，长 10m,宽 ，中间竖有一堵砖墙，高 一只蚂蚁从A点爬到 C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要爬 m的路程. 15.如图所示，第七届国际数学教育大会 会徽的主体图案是由一连串有公共顶点O的直角三角形演化而成的.如果 1，那么 为 . 16.如图，长方形纸片ABCD 中， 3,BC=4,点E 是BC边上一动点,连接AE,把长方形纸片ABCD沿AE 折叠,使点 B 落在点 F 处,连接CF,当 为直角三角形时,BE 的长为 . 三、解答题(本题共6个小题，共66分) 17. (8分)意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法验证了勾股定理，其中图(1)的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图(2)的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成.设图(1)中空白部分的面积为 图(2)中空白部分的面积为 (1)请用含a，b，c的代数式分别表示 (2)请利用达·芬奇的方法验证勾股定理. 18.(10分)如图是由边长为1 的小正方形组成的网格，点A，B，C，D均在格点(小正方形的顶点)上. (1)求四边形ABCD 的面积. (2)判断AD 与CD 的位置关系，并说明理由. 19.(10分)某校综合与实践小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表(不完整). 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长: xxx;组员: xxx, xxx, xxx 工具 皮尺等 测量 示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，AB垂直地面于点 B，如图(1)，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度；如图(2)，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点 D 处，用皮尺测出 BD 的长度 测量数据 测量项目 数值 图(1)中BC的长度 1米 图(2)中BD的长度 5.2米 … … 根据以上测量结果，请你帮助该综合与实践小组求出学校旗杆AB 的高度. 20.(12分)定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形该边的“中偏度值”. (1)如图,在 中， 求 中AB 边的“中偏度值”. (2)在 中， ，BC边上的高 求 中 BC边的“中偏度值”. 21.(12分)【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论.像3，4，5这样能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数. 【应用举例】 观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起不间断. 当勾为3时，股 弦 当勾为5时，股 弦 当勾为7时，股 弦 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： (1) 如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示，请用含有n的式子表示股和弦,则股= ,弦= . 【问题解决】 (2)古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式.具体表述如下：如果 (m为大于 1 的整数)，则a，b，c为勾股数.请你验证柏拉图公式的正确性. (3)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用 (a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，请你写出另外两个数分别是多少. 22.(14分)近期某市受台风影响，出现雷雨天气. 台风风力影响半径为 250 km(即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响).如图，线段BC是台风中心从C 市向西北方向移动到 B市的大致路线，A是某个大型农场，且 ,A,C 之间相距300 km,A,B 之间相距400 km. (1)判断农场A 是否会受到台风的影响，并说明理由. (2)若台风中心的移动速度为25 km/h，则台风影响该农场持续时间有多长? 学科网（北京）股份有限公司 $$