重庆市长寿实验中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年重庆市长寿实验中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应月的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列长度的三条线段，哪一组不能构成三角形（　　） A．3，3，3 B．3，4，5 C．5，6，10 D．4，5，9 3．（4分）下列计算中，正确的是（　　） A．x3•x2＝x4 B．（x+y）（x﹣y）＝x2+y2 C．3x3y2÷xy2＝3x4 D．x（x﹣2）＝﹣2x+x2 4．（4分）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　） A．12 B．16 C．20 D．16或20 5．（4分）如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b） 6．（4分）已知xy＝﹣2，x+y＝4，则x2y+xy2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 7．（4分）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定P点的方法正确的是（　　） A．P是∠A与∠B两角平分线的交点 B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC、AB两边上的高的交点 D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 8．（4分）如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm2 9．（4分）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形ADH中（　　） A．AH＝DH≠AD B．AH＝DH＝AD C．AH＝AD≠DH D．AH≠DH≠AD 10．（4分）已知A＝ax2﹣4x+3，B＝2x2﹣bx﹣3，则下列说法： ①若a＝2，b＝4，则A﹣B＝0； ②若2A+B的值与x的取值无关，则a＝﹣1，b＝﹣4； ③当a＝1，b＝4时，若|2A﹣B|＝6，则或； ④当a＝﹣1，b＝1时，|2A+B﹣4|+|2A+B+3|有最小值为7，则． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11．（4分）点A（2，﹣3）关于y轴的对称点A'的坐标为 　 　． 12．（4分）因式分解：x2﹣y2＝　 　． 13．（4分）等腰三角形的一个角为80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 　 　． 14．（4分）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 　 　． 15．（4分）已知（x2+mx+1）（x2﹣2x+n）的展开式中不含x3项和x项，则m•n＝ 　 　． 16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，若DE，FG分别垂直平分AB和AC，则∠EAF＝ 　 　． 17．（4分）若整数m使得关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x、y的二元一次方程组有整数解，则符合条件的所有m的和是 　 　． 18．（4分）若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数”．将一个“不同数”m的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为P（m）．例如，“不同数”m＝2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为135+235+215+213＝798，798÷3＝266，所以P（2135）＝266．计算：P（1933）＝ 　 　，若“不同数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且P（n）能被13整除，则n的值为 　 　． 三、解答题（本大题8个小题，共78分） 19．（8分）因式分解： （1）8a2﹣2； （2）a3b﹣2a2b2+ab3． 20．（10分）计算： （1）x（x﹣2y）+（x+y）2； （2）m（m+1）+（m+2）（m﹣2）． 21．求（a﹣b）2+（﹣4a3b+8a2b2）÷4ab的值，其中． 22．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°． （1）请用基本尺规作图：作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BC的延长线于点N（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，设直线MN交AC于E，连接BE，且∠A＝22.5°，求证：AB＝NE，请完成下面的证明过程： 证明：∵MN垂直平分AB， ∴①　 　， ∴∠A＝∠EBA， ∵∠A＝22.5°， ∴∠CEB＝∠A+∠EBA＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠CEB＝45°， ∴②　 　， ∴CE＝BC， ∵MN⊥AB， ∴∠BMN＝90°， ∴∠N+∠ABC＝③　 　， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∴④　 　， 在△ABC和△NEC中， ， ∴⑤　 　， ∴⑥　 　． 23．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）； （2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（　 　），B′（　 　），C′（　 　）． （3）计算△ABC的面积． 24．（10分）如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连结BD并延长到点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，交AB于点G． （1）若BD＝DE，求证：CD＝DF； （2）若BG＝GE，∠ACB＝70°，∠E＝25°，求∠A的度数． 25．（10分）为了保障广大师生的身体健康，某校初三返校复学后，采购了甲种免洗消毒液20瓶，乙种免洗消毒液30瓶，已知甲消毒液的单价比乙贵10元，两种消毒液的采购费用相等． （1）甲种消毒液和乙种消毒液的单价分别是多少元？ （2）初一和初二年级复学后，学校再次采购甲、乙两种消毒液，甲消毒液的采购数量是第一次采购数量的2倍，采购单价比第一次提高了20%，乙消毒液比第一次多采购了m瓶，单价与第一次采购单价相同，结果第二次采购的总费用是第一次总费用的2倍，求m的值． 26．（10分）在△ABC中，AC＝BC，D为边CB上一点，点E在AB的延长线上，连接AD、DE，∠CAD＝∠EDB． （1）如图1，求证：AD＝ED； （2）如图2，若∠ADE＝60°+2∠BDE，求证：AE＝2BE+BD； （3）如图3，点F是CB延长线上一点，连接AF，FA＝FD，∠C＝2∠FAE，过D作DH⊥AB于H，延长DH交AF于点G，BF＝AG，△DBE的面积为4，求线段DG的长度． 2024-2025学年重庆市长寿实验中学八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应月的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（4分）下列长度的三条线段，哪一组不能构成三角形（　　） A．3，3，3 B．3，4，5 C．5，6，10 D．4，5，9 【分析】先回顾一下三角形的三边关系定理，根据判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A、3+3＞3，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误； B，3+4＞5，3+5＞4，5+4＞3，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误； C、5+6＞10，5+10＞6，6+10＞5，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误； D、4+5＝9，不符合三角形的三边关系定理，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，注意：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 3．（4分）下列计算中，正确的是（　　） A．x3•x2＝x4 B．（x+y）（x﹣y）＝x2+y2 C．3x3y2÷xy2＝3x4 D．x（x﹣2）＝﹣2x+x2 【分析】根据同底数幂的乘法法则、平方差公式、单项式除单项式的运算法则、单项式乘多项式的运算法则计算，判断即可． 【解答】解：A、x3•x2＝x3+2＝x5，本选项计算错误； B、（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，本选项计算错误； C、3x3y2÷xy2＝3x2，本选项计算错误； D、x（x﹣2）＝x2﹣2x＝﹣2x+x2，本选项计算正确； 故选：D． 【点评】本题考查的是整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法法则、平方差公式、单项式除单项式的运算法则、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 4．（4分）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　） A．12 B．16 C．20 D．16或20 【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析． 【解答】解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在； ②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意． 故此三角形的周长＝8+8+4＝20． 故选：C． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解． 5．（4分）如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b） 【分析】可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式． 【解答】解：正方形中，S阴影＝a2﹣b2； 梯形中，S阴影＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）； 故所得恒等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 6．（4分）已知xy＝﹣2，x+y＝4，则x2y+xy2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【分析】先提公因式xy因式分解，然后将已知式子整体代入即可求解． 【解答】解：∵xy＝﹣2，x+y＝4， ∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝﹣2×4＝﹣8． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 7．（4分）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定P点的方法正确的是（　　） A．P是∠A与∠B两角平分线的交点 B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC、AB两边上的高的交点 D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 【分析】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答． 【解答】解：∵点P到∠A的两边的距离相等， ∴点P在∠A的角平分线上； 又∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 即P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线及线段垂直平分线的判定定理． 到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 8．（4分）如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm2 【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积． 【解答】解：延长AP交BC于E， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∠ABP＝∠EBP， 又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°， ∴△ABP≌△BEP， ∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC＝S△PCE， ∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝5（cm2）， 故选：B． 【点评】本题主要考查面积及等积变换的知识点．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点． 9．（4分）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形ADH中（　　） A．AH＝DH≠AD B．AH＝DH＝AD C．AH＝AD≠DH D．AH≠DH≠AD 【分析】利用图形的对称性特点解题． 【解答】解：由图形的对称性可知：AB＝AH，CD＝DH， ∵正方形ABCD， ∴AB＝CD＝AD， ∴AH＝DH＝AD． 故选：B． 【点评】解决本题的关键是利用图形的对称性把所求的线段进行转移． 10．（4分）已知A＝ax2﹣4x+3，B＝2x2﹣bx﹣3，则下列说法： ①若a＝2，b＝4，则A﹣B＝0； ②若2A+B的值与x的取值无关，则a＝﹣1，b＝﹣4； ③当a＝1，b＝4时，若|2A﹣B|＝6，则或； ④当a＝﹣1，b＝1时，|2A+B﹣4|+|2A+B+3|有最小值为7，则． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】运用整式的加减运算对各个说法进行逐一辨别． 【解答】解：∵A＝ax2﹣4x+3，B＝2x2﹣bx﹣3， ∴当a＝2，b＝4时， A﹣B＝（2x2﹣4x+3）﹣（2x2﹣4x﹣3） ＝2x2﹣4x+3﹣2x2+4x+3 ＝6， ∴说法①不符合题意； ∵2A+B＝2（ax2﹣4x+3）+（2x2﹣bx﹣3） ＝2ax2﹣8x+6+2x2﹣bx﹣3 ＝（2a+2）x2﹣（8+b）x+3， ∴当其值与x的取值无关时， 2a+2＝0，8+b＝0， 解得a＝﹣1，b＝﹣8， ∴说法②不符合题意； ∵|2A﹣B|＝|2（ax2﹣4x+3）﹣（2x2﹣bx﹣3）| ＝|2ax2﹣8x+6﹣2x2+bx+3| ＝|（2a﹣2）x2+（﹣8+b）x+9|， ∴当a＝1，b＝4时， |2A﹣B|＝|（2×1﹣2）x2+（﹣8+4）x+9| ＝|﹣4x+9| ＝6， ∴﹣4x+9＝6或﹣4x+9＝﹣6， 解得或， ∴说法③符合题意； ∵当a＝﹣1，b＝1时， |2A+B﹣4|+|2A+B+3| ＝|2（ax2﹣4x+3）+（2x2﹣bx﹣3）﹣4|+|2（ax2﹣4x+3）+（2x2﹣bx﹣3）+3| ＝|2ax2﹣8x+6+2x2﹣bx﹣3﹣4|+|2ax2﹣8x+6+2x2﹣bx﹣3+3| ＝|（2a+2）x2﹣（8+b）x﹣1|+|（2a+2）x2﹣（8+b）x+6| ＝|[2×（﹣1）+2]x2﹣（8+1）x﹣1|+|[2×（﹣1）+2]x2﹣（8+1）x+6| ＝|﹣9x﹣1|+|﹣9x+6|， 当﹣9x﹣1≤0且﹣9x+6≥0，即﹣≤x≤时， |2A+B﹣4|+|2A+B+3|有最小值为7， ∴说法④符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了绝对值的应用和整式加减的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地讨论、求解． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11．（4分）点A（2，﹣3）关于y轴的对称点A'的坐标为 　（﹣2，﹣3）　． 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答． 【解答】解：点A（2，﹣3）关于y轴的对称点A′的坐标为（﹣2，﹣3）． 故答案为：（﹣2，﹣3）． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 12．（4分）因式分解：x2﹣y2＝　（x﹣y）（x+y）　． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）． 故答案为：（x+y）（x﹣y）． 【点评】此题主要考查了利用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键． 13．（4分）等腰三角形的一个角为80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 　20°或80°　． 【分析】等腰三角形的一个内角是80°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论． 【解答】解：分两种情况： 当80°的角是底角时，则顶角度数为180°﹣80°×2＝20°； 当80°的角是顶角时，则顶角为80°． 故答案为：20°或80°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 14．（4分）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 　7或﹣1　． 【分析】根据已知完全平方式得出2（m﹣3）x＝±2•x•4，求出即可． 【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式， ∴2（m﹣3）x＝±2•x•4， 解得：m＝7或﹣1， 故答案为：7或﹣1． 【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的内容是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2． 15．（4分）已知（x2+mx+1）（x2﹣2x+n）的展开式中不含x3项和x项，则m•n＝ 　2　． 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x3项和x项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（x2+mx+1）（x2﹣2x+n）＝x4+（m﹣2）x3+（﹣2m+n+1）x2+（mn﹣2）x+n不含x3项和x项， ∴m﹣2＝0且mn﹣2＝0， 解得m＝2，n＝1， ∴mn＝2×1＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，若DE，FG分别垂直平分AB和AC，则∠EAF＝ 　60°　． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C＝60°，再根据线段垂直平分线的性质求出∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C，然后便不难求出∠EAF． 【解答】解：∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝180°﹣120°＝60°， ∵DE、FG分别垂直平分AB和AC， ∴∠BAE＝∠B，∠CAF＝∠C， ∴∠BAE+∠CAF＝60°， ∴∠EAF＝120°﹣60°＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；得到∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C是正确解答本题的关键． 17．（4分）若整数m使得关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x、y的二元一次方程组有整数解，则符合条件的所有m的和是 　34　． 【分析】先求出不等式组的解集和二元一次方程组的解，再根据题意，找出符合题意的m的值，即可得到符合条件的所有m的和． 【解答】解：由不等式组可得≤x＜7， ∵关于x的不等式组有且只有四个整数解， ∴这四个整数解为6，5，4，3， ∴2＜≤3， 解得13＜m≤19， 由可得， ∵关于x、y的二元一次方程组有整数解， ∴m＝15或19， ∴符合条件的所有m的和是15+19＝34， 故答案为：34． 【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法和解二元一次方程组的方法． 18．（4分）若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数”．将一个“不同数”m的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为P（m）．例如，“不同数”m＝2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为135+235+215+213＝798，798÷3＝266，所以P（2135）＝266．计算：P（1933）＝ 　484　，若“不同数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且P（n）能被13整除，则n的值为 　4648　． 【分析】先根据“不同数”的定义求出P（1933）＝816；设“异友数”n的千位数字为x，百位数字为x+2，十位数字为y，个位数字是2y，根据“不同数”的定义求出x，y的取值范围，进而得到P（n）＝13（10x+6）+10x+9y+2，即10x+9y+2能被13整除，最后分别当y＝1，2，3，4时讨论即可． 【解答】解：∵1933去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：933、133、193、193，这四个三位数之和为933+133+193+193＝1452，1452÷3＝484， ∴P（1933）＝484； 设“不同数”n的千位数字为x，百位数字为x+2，十位数字为y，个位数字是2y， ∵一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数” ∴x≠2y，x+2≠y，且， ∴x≠2y，x+2≠y，， ∴n去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：100（x+2）+10y+2y、100x+10y+2y、100x+10（x+2）+2y、100x+10（x+2）+y， 这四个三位数之和为100（x+2）+10y+2y+100x+10y+2y+100x+10（x+2）+2y+100x+10（x+2）+y＝420x+27y+240，（420x+27y+240）÷3＝140x+9y+80， ∴P（n）＝140x+9y+80＝13（10x+6）+10x+9y+2， ∵P（n）能被13整除， ∴10x+9y+2能被13整除， 当y＝1时，10x+9y+2＝10x+11，x≠2，存在x＝8使10x+9y+2能被13整除，但1≤x≤7，故不符合题意； 当y＝2时，10x+9y+2＝10x+20＝13+10x+7，x≠4，在1≤x≤7范围内不存在整数x使10x+9y+2能被13整除； 当y＝3时，10x+9y+2＝10x+29＝26+10x+3，存在x＝1使10x+9y+2能被13整除，此时n＝1336；（不符合题意，舍去） 当y＝4时，10x+9y+2＝10x+38＝26+10x+12，存在x＝4使10x+9y+2能被13整除，此时n＝4648； 综上所述，n＝4648； 故答案为：484；4648． 【点评】本题考查整除问题，考查方式比较新颖，理解“异友数”的具体特征是解决问题的关键． 三、解答题（本大题8个小题，共78分） 19．（8分）因式分解： （1）8a2﹣2； （2）a3b﹣2a2b2+ab3． 【分析】（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝2（4a2﹣1） ＝2（2a+1）（2a﹣1）； （2）原式＝ab（a2﹣2ab+b2） ＝ab（a﹣b）2． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 20．（10分）计算： （1）x（x﹣2y）+（x+y）2； （2）m（m+1）+（m+2）（m﹣2）． 【分析】（1）根据单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）根据单项式乘多项式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）x（x﹣2y）+（x+y）2 ＝x2﹣2xy+x2+2xy+y2 ＝2x2+y2； （2）m（m+1）+（m+2）（m﹣2） ＝m2+m+m2﹣4 ＝2m2+m﹣4． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 21．求（a﹣b）2+（﹣4a3b+8a2b2）÷4ab的值，其中． 【分析】先根据完全平方公式，整式的除法法则计算，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代入计算即可． 【解答】解：（a﹣b）2+（﹣4a3b+8a2b2）÷4ab ＝a2﹣2ab+b2+（﹣a2+2ab） ＝a2﹣2ab+b2﹣a2+2ab ＝b2， ∵， ∴， ∵（a﹣2）2≥0，， ∴a﹣2＝0，a﹣2b＝0， ∴a＝2，b＝1， ∴原式＝1． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则以及非负数的性质是解题的关键． 22．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°． （1）请用基本尺规作图：作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BC的延长线于点N（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，设直线MN交AC于E，连接BE，且∠A＝22.5°，求证：AB＝NE，请完成下面的证明过程： 证明：∵MN垂直平分AB， ∴①　AE＝BE　， ∴∠A＝∠EBA， ∵∠A＝22.5°， ∴∠CEB＝∠A+∠EBA＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠CEB＝45°， ∴②　∠CEB＝∠CBE　， ∴CE＝BC， ∵MN⊥AB， ∴∠BMN＝90°， ∴∠N+∠ABC＝③　90°　， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∴④　∠A＝∠N　， 在△ABC和△NEC中， ， ∴⑤　△ABC≌△NEC　， ∴⑥　AB＝NE　． 【分析】（1）根据要求画图即可； （2）根据证明过程填空即可． 【解答】（1）解：如图： （2）证明：∵MN垂直平分AB， ∴AE＝BE①， ∴∠A＝∠EBA， ∵∠A＝22.5°， ∴∠CEB＝∠A+∠EBA＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠CEB＝45°， ∴∠CEB＝∠CBE②， ∴CE＝BC， ∵MN⊥AB， ∴∠BMN＝90°， ∴∠N+∠ABC＝90°③， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠N④， 在△ABC和△NEC中， ， ∴△ABC≌△NEC⑤， ∴AB＝NE⑥． 故答案为：AE＝BE，∠CEB＝∠CBE，90°，∠A＝∠N，△ABC≌△NEC，AB＝NE． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图，能熟练应用垂直平分线的性质． 23．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）； （2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（　2，3　），B′（　3，1　），C′（　﹣1，﹣2　）． （3）计算△ABC的面积． 【分析】（1）分别找出点A、B、C关于y轴的对应点A′、B′、C′，然后顺次连接即可得到△A′B′C′； （2）利用平面直角坐标系写出点的坐标即可； （3）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可． 【解答】解：（1）如图； （2）A′（2，3），B′（3，1），C′（﹣1，﹣2）；（3分） （3）S△ABC＝5×4﹣×1×2﹣×3×4﹣×5×3， ＝20﹣1﹣6﹣7.5， ＝5.5． （2分） 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，找出对应点的位置是正确作图的关键，网格题求三角形的面积是通常都是利用三角形所在的矩形的面积减去四周小三角形的面积进行求解，需要熟练掌握． 24．（10分）如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连结BD并延长到点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，交AB于点G． （1）若BD＝DE，求证：CD＝DF； （2）若BG＝GE，∠ACB＝70°，∠E＝25°，求∠A的度数． 【分析】（1）由平行线的性质证得∠E＝∠CBD，根据全等三角形判定证得△BCD≌△EFD，由全等三角形的性质即可得到CD＝DF； （2）由平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠A． 【解答】（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠E＝∠CBD， 在△BCD和△EFD中， ， ∴△BCD≌△EFD（ASA）， ∴CD＝DF； （2）解：∵BG＝GE， ∴∠GBE＝∠E＝25°， 由（1）知∠E＝∠CBD＝25°， ∴∠ABC＝∠GBE+∠CBD＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质．解题的关键：（1）证明△BCD≌△EFD；（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠ABC的度数． 25．（10分）为了保障广大师生的身体健康，某校初三返校复学后，采购了甲种免洗消毒液20瓶，乙种免洗消毒液30瓶，已知甲消毒液的单价比乙贵10元，两种消毒液的采购费用相等． （1）甲种消毒液和乙种消毒液的单价分别是多少元？ （2）初一和初二年级复学后，学校再次采购甲、乙两种消毒液，甲消毒液的采购数量是第一次采购数量的2倍，采购单价比第一次提高了20%，乙消毒液比第一次多采购了m瓶，单价与第一次采购单价相同，结果第二次采购的总费用是第一次总费用的2倍，求m的值． 【分析】（1）设甲种消毒液的单价为x元，乙种消毒液的单价为（x﹣10）元，根据题中等量关系列出一元一次方程，求解即可； （2）根据题意列出关于m的一元一次方程，求解即可． 【解答】解：（1）设甲种消毒液的单价为x元，则乙种消毒液的单价为（x﹣10）元， 由题意得：30（x﹣10）＝20x， 解得：x＝30， ∴x﹣10＝30﹣10＝20， 答：甲种消毒液的单价为30元，则乙种消毒液的单价为20元． （2）由题意得：20×2×30（1+20%）+20（30+m）＝（30×20+20×30）×2， 解得：m＝18， 答：m的值为18． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 26．（10分）在△ABC中，AC＝BC，D为边CB上一点，点E在AB的延长线上，连接AD、DE，∠CAD＝∠EDB． （1）如图1，求证：AD＝ED； （2）如图2，若∠ADE＝60°+2∠BDE，求证：AE＝2BE+BD； （3）如图3，点F是CB延长线上一点，连接AF，FA＝FD，∠C＝2∠FAE，过D作DH⊥AB于H，延长DH交AF于点G，BF＝AG，△DBE的面积为4，求线段DG的长度． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形外角性质推出∠DAE＝∠E，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）过D作DS∥AB交于AC于S，根据题意推出△ABC为等边三角形，△CSD为等边三角形，根据等边三角形的性质得出SA＝DB，DS＝CD，利用SAS证明△ASD≌△DBE，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （3）设∠FAE＝α，根据三角形外角性质及等腰三角形的性质推出DH＝AH，证明△DFH≌△AHF（SSS），△DHB≌△AHG（ASA），△DBE≌△BHF（ASA），根据全等三角形的性质及三角形面积公式求出BE＝2，DH＝HE＝4，HG＝BH＝2，根据线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA， ∵∠CAB＝∠CAD+∠DAB，∠CBA＝∠BCE+CE， ∴∠CAD+∠DAB＝∠BDE+∠E， ∴∠DAE＝∠E， ∴AD＝DE； （2）证明：过D作DS∥AB交于AC于S， ∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠CAD＝∠BDE， ∴∠ADB＝∠C+∠BDE， ∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝∠C+2∠BDE， ∵∠ADE＝60°+2∠BDE， ∴∠C＝60°， ∵AC＝BC， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠C＝∠CAB＝∠CBA＝60°， ∴∠CSD＝∠CAB＝60°，∠CDS＝∠CBA＝60°， ∴△CSD为等边三角形， ∴CS＝CD， ∴AC﹣CS＝BC﹣CD， ∴SA＝DB， ∵△CSD为等边三角形， ∴DS＝CD， 在△ASD和△DBE中， ， ∴△ASD≌△DBE（SAS）， ∴SD＝BE＝CD， ∴BC＝BD+CD＝BD+BE， ∴AE＝AB+BE＝BD+2BE； （3）解：设∠FAE＝α， ∵∠C＝2∠FAE， ∴∠C＝2α， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝90°﹣α， ∵∠CBA＝∠BAF+∠DFA， ∴∠DFA＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∵AF＝FD， ∴∠FAD＝∠FDA， ∵∠DFA+∠FAD+∠ADF＝180°， ∴∠FAD＝∠ADF＝45°+α， ∴∠DAB＝45°， ∵DH⊥AB， ∴∠ADH+∠DAH＝90°， ∴∠ADH＝∠DAH＝45°， ∴DH＝AH， 连接HF， ∵DF＝AF，HF＝HF， ∴△DFH≌△AHF（SSS）， ∴∠1＝∠2，∠GDB＝∠HAG＝α， ∵DH⊥AE， ∴∠DHB＝∠AHG＝90°，AH＝DH， ∴△DHB≌△AHG（ASA）， ∴DB＝AG， ∵AG＝BF， ∴DB＝BF， ∵，∠3＝∠HDE﹣∠HDB＝45°﹣α， ∴∠1＝∠3， ∵∠DBE＝∠HBF， ∴△DBE≌△BHF（ASA）， ∴ ∵DH＝HE， ∴DH＝2BE， ∵， ∴BE＝2，BE＝﹣2（舍）， ∴DH＝HE＝4， ∵△AHG≌△DHB， ∴HG＝BH＝2， ∴DG＝DH+HG＝6． 【点评】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积公式并作出合理的辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$