4.2.1等差数列的概念第2课时等差数列通项公式和性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1　等差数列的概念 第2课时　等差数列通项公式和性质 1 展示学习目标 1、体会等差数列与一元一次函数的关系，培育直观想象的核心素养 2、能判断或证明等差数列，培育逻辑推理的核心素养 3、掌握等差数列的性质及其应用，培育逻辑推理、数学运算的核心素养 环节一 学以致用，巩固理解 [例3] 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的范围. 分析:这台设备使用满n年时得价值构成一个数列{an}.由题意可知，使用满10年时，这台设备得价值不小于(220×5％=)11万元；而第11年底，这台设备的价值应小于11万元。可以利用{an}的通项公式列不等式求解. 设使用n年后，这台设备的价值为an万元， 则可得数列{an}. 由已知条件，得an＝an－1－d (n≥2)， ∴数列{an}是一个公差为－d的等差数列， 且a1＝220－d . ∴ an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10 ≥ 220×5％=11，a11 < 220×5％=11， 解: [例4] 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由. 分析:(1){an}是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为{bn}中的项，就可以用等差数列的定义得出{bn}的通项公式. 解: 如果插入k(k∈N*)个数，那么{bn}的公差是多少？ 环节一 学以致用，巩固理解 [例4] 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由. 分析:(2)设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系，由此即可判断b29是不是{an}的项. 解1: 对于第(2)小题，你还有其他解法吗？ 解2: 环节一 学以致用，巩固理解 环节二 探索发现，归纳性质 [例5] 已知数列{an} 是等差数列，p, q, s, t∈N*, 且p+q=s+t，求证: ap+aq= as +at . 证明: 问题 例5是等差数列的一条性质，下图是它的一种情形. 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗? n an O ‧ ‧ ‧ ‧ s p q t as ap aq at S(s,as) P(p,ap) Q(q,aq) T(t,at) 环节二 探索发现，归纳性质 由例5可得等差数列的如下性质： （若下标和相等，则对应项的和也相等.） (1)特别地: 若m＋n＝2p(m,n,p∈N*)，则有am＋an＝a2p. 追问 其它条件不变，若am＋an＝ap＋aq，能得到m＋n＝p＋q吗？ 反例： 常数列 不能 推广 (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 思考 2+3=5，a2+a3=a5 成立吗？ 【注】等式两边作和的项数必须一样多！ 环节二 探索发现，归纳性质 环节三 等差数列的判断与证明 环节三 等差数列的判断与证明 环节四 知识迁移 作业布置 高效作业4：必做A组 挑战B组 $$