4.2.1等差数列的概念（第1课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 （第1课时） 4.2 等差数列 1 展示学习目标 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式及运用. 3.掌握等差数列的判定方法. 4.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理能力与数学运算能力. 环节一 创设情境，感知概念 在了解数列的一般概念后，表示方法，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立他们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义和应用。 下面，我们从一类取值规律比较特殊的数列入手。 请看下面几个实例中的数列 【实例1】 北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81 ① 【实例2 】XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利尺码分别是： 34，36，38，40，42，44，46，48 ② 【实例3】 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为： 25，24.4，23.8，23.2，22.6 ③ 【实例4】 某人想银行贷款万元，贷款时间为年。如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息依次为： ar, ar－br, ar－2br, ar－3br, ... ④ 环节一 创设情境，感知概念 问题1 对于情境①，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 对于数列①：9，18，27，36，45，54，63，72，81 我们发现 18=9+9，27=18+9....81=72+9， 换一种写法，就是 18-9=9，27-18=9....81-72=9. 如果用{an}表示数列 ① ， 那么有 a2-a1=9，a3- a2 =9，...，a9-a8=9. 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 数列②~④，也有这样的取值规律. ①9，18，27，36，45，54，63，72， ②34，36，38，40，42，44，46，48 ③25.0，24.4，23.8，23.2，22.6 ④ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，... 环节一 创设情境，感知概念 环节二探究规律，生成概念 问题2 若数列{an}满足a1=9，a2 =18，a3=27...，你能写出该数列第n项与第n-1项的关系吗？ 追问：你能结合数列①②③运算规律的共性，用自己的语言描述等差数列的定义吗？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 环节三 追问辨析，完备概念 问题3：你能结合等差数列的定义写出其符号表达式吗？ 符号表示： an+1 - an=d（d为常数，n∈N*） an - an-1=d（d为常数，n≥2，n∈N*） 问题4 一个等差数列最少需要几项？ 若a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 等差中项 由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 由等差数列的定义，可知： 将各式累加得，等差数列的通项公式为:an＝a1＋(n－1)d. 问题5 你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？ 若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，根据定义得: an+1-an=d an+1-an=d就是等差数列{an}递推公式. 即 a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， …… an－an－1＝d， 即a2＝a1＋d； 即a3＝a2＋d＝a1＋2d； 即a4＝a3＋d＝a1＋3d； 即an＝a1＋(n－1)d； 由此可归纳得，等差数列的通项公式为: an＝a1＋(n－1)d (n ≥ 2) 当n=1时，a1＝a1＋(1－1)d=a1，上式也成立. 追问还有其它方法推导吗？ 累加法 环节四 回顾定义，推导公式 例1（1）已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n，求{an}公差和首项； （2）求等差数列8，5，2....的第20项. (1)当n≥2时，由{an}的通项公式为an＝5－2n，可得 an－1＝5－2(n－1) ＝7－2n. 于是 d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2， a1＝5－2＝3. ∴{an}公差为－2，首项为3. (2) 由已知条件，得 d＝5－8＝－3，a1＝8. ∴an＝ a1＋ (n－1)d ＝8－3(n－1)＝－3n＋11. ∴a20 ＝－3×20＋11＝－49. 解: 环节五 典例分析，巩固理解 例2 －401是不是等差数列 －5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？ 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解. 由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4， 得数列{an}的通项公式为 an＝ a1＋ (n－1)d ＝－5－4(n－1)＝－4n－1. 设 －4n－1＝－401，解得 n＝100. ∴－401是这个数列第100项. 解: 追问 －350是不是该数列中的项？ 环节五 典例分析，巩固理解 环节三 小结提升，形成结构 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？ 等差数列的概念 (1) 等差数列及等差中项的定义； (2) 等差数列的通项公式； 递推公式、归纳法. (3) 通项公式的应用. 函数与方程. 研究方法 递推公式 应用 通项公式 函数与方程 的思想 环节四 目标检测，检验效果 1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差. 2. 求下列各组数的等差中项: 3. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数. 4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4. a1 a3 a5 a7 d －7 8 2 －6.5 0.5 15.5 3.75 15 －11 －24 环节四 目标检测，检验效果 环节五 作业布置，迁移应用 必做题：课本第15页练习第4、5题 选做题：课本第25页习题4.2第4题 备选 $$