2.2 切线长定理 教学课件 2023--2024学年浙教版九年级数学下册

浙教版 九年级下册 2.2 切线长定理 第2章 直线与圆的位置关系 课前复习 【1】切线的判定定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 【2】切线的性质归纳 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件。这三个条件是： (1)过圆心； (2)过切点； (3)垂直于切线。 知二求一 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 2 课前练习 12或4 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 3 课前练习 【解析】 分情况讨论： ①当边BC所在直线与⊙O相切于点K时，如答图1，过点G作GN⊥CD，交AB于点N，连结OE，OK. ∵CD与⊙O相切于点G，∴GN经过圆心O. 易知GN⊥AB，∴EN＝NF. 答图1 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 4 课前练习 GN＝AD＝8. 由勾股定理，得GE2＝EN2＋GN2， 解得x＝4(负值舍去). 设⊙O的半径为r， 由勾股定理，得OE2＝EN2＋ON2，即r2＝16＋(8－r)2，解得r＝5， ∴NB＝OK＝5，∴EB＝9. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 课前练习 ②当边AD所在直线与⊙O相切于点H时，如答图2，过点G作GN⊥CD，交直线AB于点N，连结OH. 同①可得AN＝OH＝5，EN＝4， ∴AE＝1. ∴AB＝4. 综上所述，AB的长是12或4. 答图2 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 新知学习 【引例】同学们见过空竹表演吗？ 在空竹旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 新知学习 【问题1】（1）过圆上一点P可作几条圆的切线. （2）过圆外一点P可作几条圆的切线呢？（可目测来作） （3）猜想在所做⊙O的切线上，两条过点P与切点之间的线段长度有什么关系？ 1条 O. P 2条 （4）在⊙O外取其他一些点，分别作⊙O的切线，量一量是否有同样的结果？ A B （5）你能证明这一结果吗？ PA = PB P A B 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 新知学习 O. P B 【新知1】圆的切线长 从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长. 如图，P是⊙O外一点，PA，PB 分别切⊙O于A，B两点，线段PA，PB的长就是点P到⊙O的切线长。 A 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 新知学习 已知：如图，P为⊙O为外一点，PA，PB分别与⊙O相切与点A，B. 求证：PA = PB O. P B A ∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB 证明：如图，连结PO、AO、BO， 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 新知学习 【新知2】切线长定理 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等。 O. P B 符号语言： ∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴PA＝PB. A 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 新知学习 O. P B A 【探究】如图，除切线长相等之外，你还能得出哪些结论？ 1.OP平分∠APB，OP平分∠AOB 2.OP⊥AB,且OP平分AB 3.∠OAC =∠OBC =∠APC =∠BPC = ∠APB. C 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 新知学习 解：如图，连结OA，OB. ∵AC，BC分别与⊙O相切于点A、B， 【例1】如图，点O是弧AB所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A，B. 已知∠ACB=80°，OC=102 m. 求点C到⊙O的切线长(结果精确到1m). 在Rt△OAC中，∠OAC=90°， 答：点C到⊙O的切线长约为 78 m. ∴AC=OC•cos 40°=102•cos 40°≈78(m). ∴AC=BC . 又OA=OB，OC=OC， ∴△OΑC≌△OBC. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 新知学习 解：如图，连结AB，OA，OB. ∵MP，NP分别切⊙O于点A，B， ∴OA⊥AP，OB⊥BP，AP=BP ， 又∵∠APB=60°， ∴△ABP为等边三角形， ∴AB=AP=24cm. ∵OA=OB，∴OP平分∠APB， ∴∠OPA=30°， 【例2】如图，⊙O表示皮带传动装置中一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B. 延长MA，NB，相交于点P. 已知∠APB=60°，AP=24cm， 求两切点间的距离和弧AB的长（精确到1cm). 答：两切点间的距离为24cm,弧AB的长约为 29 cm. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 学以致用 1. 如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点. 以OC为半径的半圆与斜边AB相切于 点D，交AC于点E. （1）若AB=5，AC=4，求BD的长和⊙O的半径. A B D C O r r 4-r 2 E 解：在Rt△ABC中，BD=BC= 3 3 方法三： tan∠OAD=tan∠BAC = r= = 方法一： 在Rt△AOD中 r2+22=(4-r)2 方法二： △ADO∽△ACB = . = 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 学以致用 1. 如图，O为Rt△ABC 的直角边AC上一点. 以OC为半径的半圆与斜边AB相切于 点 D，交AC于点E. （2）求证：OB∥DE. A B D C O E 证明：连接OD，CD. ∵AB切⊙O点D，BC切⊙O点C， ∴BC=BD， ∵OC=OD，OB=OB， ∴Rt△OBC≌Rt△OBD， ∴∠BOC=∠BOD， ∵OC=OD，∴CD⊥OB. ∵CE为⊙O的直径，∴CD⊥DE， ∴OB∥DE． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 16 学以致用 2. 如图，P 为⊙O 外一点，PA，PB分别切⊙O 于点 A，B，CD切⊙O 于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝5，则△PCD的周长为______. 若记PO=d，OA=r，则△PCD的周长为定值，即 PA、PB分别与☉O相切于点A、B，CD切☉O 于点E， △PCD的周长等于2PA=10. PA=PB，CA＝CE，DE＝DB， 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 17 学以致用 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F. (2)若AC＝6，BC＝8，求S△ACD∶S△EDF的值． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 18 学以致用 解：(1)由题意得，EC，ED都是⊙O的切线， ∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC. ∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°， ∴∠EDC＋∠EDB＝90°， ∠ECD＋∠B＝90°， ∴∠EDB＝∠B，∴DE＝BE， 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 19 学以致用 (2)在Rt△ABC中， ∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10. 易知△ADC∽△ACB， ∴BD＝AB－AD＝6.4， ∴S△ACD∶S△BCD＝AD∶BD＝9∶16. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 20 课堂总结 切线长 切线长定理 作用 提供了证线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. O. P B A 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 21 【练习】如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AE＝AB.已知⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角)，与边AB所在直线相交于另一点F，且EG∶EF＝∶2.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是________. ∵ED＝EB，EF⊥BD，∴S△EDF＝S△EBD. 又易得S△EBD＝S△BCD， ∴S△EDF＝S△BCD，∴S△ACD∶S△EDF＝9∶4. $$