1.4 解直角三角形课件 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

北师版·九年级下册 1.4 解直角三角形 第一章 直角三角形的边角关系 1 A C B c b a (1) 三边之间的关系：a2 + b2 = _____； (2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____， tanA=_____，sinB=_____，cosB=_____，tanB=____. 在 Rt△ABC 中，共有六个元素(三条边，三个角)，其中∠C = 90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ c2 90° 问题 直角三角形中，除直角外，至少需要几个元素就可以求出其它元素? A C B c b a 新课导入 探究1 如果已知 Rt△ABC 中两边的长，你能求出这个三角形其他的元素吗？ 已知两边解直角三角形 1 A C B c b a 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a，b ，c，且a= ，b= ，求这个三角形的其他元素. 解：Rt△ABC中，a2+b2=c2，a= ，b= ， ∴sinB= ， 则∠B=30°，∠A=60°. ∴c= . A C B a c b 1.在如图的 Rt△ABC 中，根据 AC ＝ 2.4，斜边 AB＝ 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 解： 练一练 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 探究2 如果已知 Rt△ABC 中一边和一锐角，你能求出这个三角形其他的元素吗？ 已知一边及一锐角解直角三角形 2 A C B c b a 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 b = 30，∠B＝ 25°，求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1). A B C b 30 c a 25° 解： 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠B = 25°， ∴∠A = 65°. 2. 在图中的 Rt△ABC 中，根据 ∠A＝75°，斜边 AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 75° ） 解： 练一练 在Rt△ABC中，如果已知∠A=60°，∠B=30°，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 两角 不能 两边 一角一边 √ √ × 你发现了什么？ 规律总结 在直角三角形的6个元素中， 直角是已知元素， 如果再知道一条边和第三个元素，那么就可以求得这个三角形的所有元素. 事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素． A B a b c C 归纳总结 构造直角三角形解决问题 3 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. 例3 如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°， AC = 2，求 BC 的长. D A B C 在△ACD 中，∠C = 45°，AC = 2， ∴ CD = AD = sinC · AC = 2sin45° = . ∴ BC = CD + BD = ∴ BD = 在△ABD 中，∠B = 30°， 3. 如图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米? 解：如图所示，依题意可知，当 ∠B = 60° 时， 答：梯子的长至少 4.62 米. C A B 练一练 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°， AB = 8，则 BC 的长是（　　） D 2. 在 △ABC 中，AB = AC = 3，BC = 4，则 cosB 的值是_________. A C B  3. 如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高AD = 3，cosB = ，则 AC 的长为（　　） A．3 B．3.75 C．4.8 D．5 B 4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC = 6， ∠BAC 的平分线 ，解这个直角三角形. D A B C 6 解： ∵AD 平分 ∠BAC， ∴∠CAB = 60°，∠B = 30°. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（角度精确到1°）. （1）a=4，b=8； （2）b=10，∠B=60°； （3）c=20，∠A=60 ° . 解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=8. ∴c= ∵tanA= ∴∠A≈27°，∠B≈63°. 随堂练习 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（角度精确到1°）. （1）a=4，b=8； （2）b=10，∠B=60°； （3）c=20，∠A=60 ° . 解：（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°， ∴∠A=30°. ∵ tanB= ，b=10， ∴a= . ∵ sinB= ，b=10， ∴c= . 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（角度精确到1°）. （1）a=4，b=8； （2）b=10，∠B=60°； （3）c=20，∠A=60 ° . 解：（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， ∴∠B=30°. ∵ cosA= ，c=20， ∴b=10. ∵ sinA= ，c=20， ∴a= . 练习 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素. （1）a=19，c= ； （2）a= ，b= . 解：（1）b ∴ tanA= 则∠A=∠B=45° （2） c ∴ sinA= 则∠A=30°，∠B=60° 解直角三角形 依据 解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素. 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结 在直角三角形的6个元素中， 直角是已知元素， 如果再知道一条边和第三个元素，那么就可以求得这个三角形的所有元素. 课后练习 习题1.5 $$