19.1.1 变量与函数 教学设计 2023-2024学年人教版八年级数学下册

教学设计 课题 变量与函数 课型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□ 1.教学内容分析 概念解析 本节课的主要概念是函数.在一个变化过程中，如果两个变量x与y具有单值对应关系，即对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，则称x为自变量，y为x的函数，也称x和y具有函数关系.“单值对应”是函数的本质属性. 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法.这种式子称为函数的解析式.自变量的取值范围有两种呈现方式，第一是由自变量的本身的意义和问题背景所确定的范围，第二是由函数解析式的意义所确定的自变量的范围. 思想方法 本节课的主要内容是函数概念的学习，从三类实际问题中抽象出函数的概念，体现认识事物的一般方法：从具体到抽象.数学抽象是数学的核心素养，在抽象出函数概念的过程中，注重渗透变化与对应的思想. 知识类型 函数属于概念性知识.由知识类型决定，概念性知识需要通过丰富的例子，从归纳共性中获得数学抽象. 根据问题背景求函数解析式的本质是数学抽象，由函数解析求自变量取值范围、求函数值都属于原理与规则类知识.由知识类型决定，原理与规则知识的学习，需要在理解原理的基础上通过强化实践，加深对于规则的理解和掌握. 2.学情分析 函数是描述运动变化规律的重要数学模型，刻画了变化过程中变量之间的对应关系.本节通过典型实例的分析，从中抽象出函数的概念，再次渗透变化、对应的思想.函数概念是中学数学的核心概念，是继续学习一次函数、二次函数、反比例函数等内容的基础. 求函数解析式是用函数模型表示和解决实际问题的首要和关键步骤.会求自变量取值范围，会求函数值是学习函数知识所需的基本技能，是后续画函数图象、应用函数模型解决问题的基础. 3.学习目标 1.知道函数的概念，会判断具体事例中两个变量间的关系是否为函数关系.能举出函数的实例，并指出自变量与因变量的函数. 2.知道函数与函数值的区别，体会变化与对应的思想. 3.能根据具体情境求函数解析式，根据函数值的意义，确定自变量的取值范围，并能求出当自变量取某一确定值时的函数值. 4.评价任务 1.能通过简单实际问题的分析，归纳共性，抽象出函数的概念，能在具体实例（包括解析式、表格、图象表示的情境）中辨别变量之间的关系是否是函数关系.能从实际问题和数学内部给出函数的实例，并指出自变量与自变量的函数；了解自变量选取的任意性，以及因变量随自变量的改变而改变. 2.知道函数是变量，函数值是变量所取的某个具体数值，是常数；在已知自变量取值及其对应函数值的情况下，识别并阐述当自变量取某一确定值时的函数值.在函数概念的形成过程中，初步体会变量之间的联系，感受变化与对应的思想. 3.能理清具体情境中的数量关系，列出函数解析式.会根据函数解析式求自变量的取值范围；会求具有实际意义的自变量的取值范围.会求自变量为确定值时的函数值；会求确定函数值所对应的自变量的值. 5.教学评活动过程 教师活动 学生活动 环节一：情景引入 通过前面的学习，我们体会到万物皆变，在运动变化过程中往往蕴含着量的变化，研究变量之间的关系是把握变化规律的关键. 设计意图 通过引言教学，复习上一节课所学内容，提出本节课需要研究的问题，引起合理的选择性注意，起先行组织者作用. 环节二：探究活动 问题1：下面各题的变化过程中，各有几个变量？其中一个变量的变化怎样影响另一变量的变化？ （1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶时间为t h，行驶的路程为s km. （2）每张电影票的售价10元，某场电影售出x张票，票房收入为y元. （3）圆形水波慢慢扩大，在这一过程中，圆的半径为r cm，面积为S cm2. （4）用10 m长的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m. 问题2：能用自己的语言说说这些问题中变量之间关系的共同特点吗？试一试！ 问题3：下面是我国体育代表团在第23至30届夏季奥运会上获得的金牌统计表.把届数和金牌数分别记作两个变量x和y，对于表中的每一个确定的届数x，都对应着一个确定的金牌数吗？ 问题4：如图是北京某天的气温变化图，你能说出14:00，18:00，20:00，4:00的气温吗？ 追问：虽然20:00，4:00时的温度具体为多少无法确定，但是这两个时刻的温度是不是确定的？一天中，当时间确定时，气温的数值也是唯一确定的吗？ 问题5：上述实际问题中两个变量之间的关系，当一个变量取定一个值时，既有通过公式确定另一个变量唯一的值，又有通过对应表格确定另一变量唯一的值，还有通过图象确定另一个变量唯一的值.综合这些现象，你能归纳出上面实例中变量之间关系的共同特点吗？请大家相互讨论. 追问：请结合问题（1）（2）说说函数定义中“变化”、“对应”、“唯一确定”的含义. 问题6：你如何理解函数值？能说说函数与函数值的区别吗？ 仿照前一节课的取值，求值的方式分析理解两个变量之间关系.师生一起分析变化过程（1），学生合作分析过程（2）—（4）.引导学生得到具体结论，如变化过程（1）有两个变量t，s，当t取定一个值时，s有唯一确定的值与之对应. 教师引导学生归纳，变化过程中有两个变量，当一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应.如由s=60t，当t=1，2，3时能分别求出唯一的s的值. 引导学生说出届数与金牌数的对应关系，体会用表格也可以由一个变量的值确定出另一个相关变量的值. 引导学生阅读气温变化图，体会由气温图可以根据时间确定气温数值，体会这也是变量之间的单值对应关系. 学生分组讨论，归纳出如下结论：在一个变化过程中，有两个变量，当一个变量取定一个值时，另一变量有唯一确定值与之对应.教师与学生一起概括出函数概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 学生交流，教师引导学生进行点评，并顺势带出函数值的概念：设y是x的函数，如果当x=a时，对应的y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 结合问题1、3、4让学生说出几个具体的函数值，然后说说函数与函数值的区别，教师进行补充完善. 设计意图 通过对问题(1)—(4)的分析，为发现这些对应关系的共同特征，实现函数概念的第一次概括提供归纳的样例.对能用解析式表示的变量之间对应关系的共同特征进行初步概括.让学生感受到当一个变量取定一个值时，可以通过查表唯一确定出另一个变量的值，突出函数的本质属性，剥离“用公式表示变量关系”这一非本质属性.让学生体会到，当一个变量取定一个值时，通过图象也可以唯一确定另一个变量的值，突出函数的本质属性，剥离“用公式表示变量关系”这一非本质属性.在前面分步概括的基础上，概括出三类不同表现形式的变量对应关系的共同特征，形成函数概念.通过问题6，让学生感知函数值是变量所取的某个具体数值，是常数；在已知自变量取值及其对应函数值的情况下，识别并阐述当自变量取某一确定值时的函数值. 环节三：典例分析 1.下表是我国大陆地区若干年份的人口统计表，表中的人口数y是年份x的函数吗？ 2.下列问题中哪些是自变量？哪些是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子： （1）每分钟一水池注水0.1 m3，注水量y（单位：m3）随注水时间x（单位：min）的.变化而变化. （2）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化. （3）某汽车油箱中有40 L油，它在高速公路上行驶，耗油量为0.07 L/km，汽车行驶的里程为x km，油箱中剩下的汽油量为y L. 3.在表中，记录了一个同学10次练习立定跳远的成绩： y是x的函数吗？为什么？ 4.下列各题中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系： （1）在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度. （2）在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的波纹的周长与半径. （3）三角形的面积一定，它的一边和这边上的高. （4）正方形的面积和梯形的面积. （5）水管中水流的速度和水管的长度. （6）圆的面积和它的周长. （7）底是定长的等腰三角形的周长与底边上的高. 独立思考，完成例题。 学生活动 设计意图 检测目标(2)是否达成 环节四：随堂检测 1.P是数轴上的一个动点，它所表示的实数是m，P点到坐标原点的距离为s. （1）s是m的函数吗？为什么？ （2）m是s的函数吗？为什么？ 2.下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　），反过来能表示x是y的函数的是（　　） 3.请举出一个y是x的函数的例子. 学生活动 同学们分别列举了如下4个x、y之间的关系： （1）判断每个例子是否正确，并说明理由； （2）指出所有正确例子中x=2时的函数值. 设计意图 检测学生对于函数概念掌握的情况，巩固新知，强化方法。 作业与拓展学习设计 ⭐星级习题（必做题） 1.下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2.函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A.x≠0 B.x>-2 C.x>0 D.x≥-2且x≠0 3.已知A，B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/时，若用x表示行走的时间（时），y表示余下的路程（千米），则y与x之间的关系可表示为（ ） A.y=4x（x≥0） B.y=4x-3（x） C.y=3-4x（x≥0） D.y=3-4x ⭐星级挑战（选做题） 已知，其中f（a）表示当x=a时对应的函数值，如： ; ; ; .…… . 请根据该函数反映出的规律解决下列问题. （1）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）的值； （2）猜想：f（n）+f（n+1）=____. 特色学习资源分析、技术手段应用说明 希沃白板，投屏 学科网（北京）股份有限公司 $$