广东省东莞市翰林高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题卷

2024—2025学年第一学期高二年级数学学科期中考试试题卷 试卷满分：150分；答题时长：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上正确书写班级、姓名、试室号，座位号，准考证号．用2B铅笔将学校准考证号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案答在试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 2. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，则在上的投影向量为 B. 若空间向量满足，则与夹角为锐角 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 10. 已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 圆心到直线的距离最大为4 11. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A. B. 离心率为 C. 的面积为6 D. 的面积为12 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为__________. 13. 由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为______. 14. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点P使得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆离心率的取值范围是______ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤） 15. 已知顶点、、 （1）求边上中线所在的直线方程； （2）求边上高线所在的直线方程； （3）求的面积. 16. 已知圆心在直线上的圆C经过两点和 （1）求圆C的方程; （2）设点，若圆C上存在点P满足，求实数a的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 18. 在平面直角坐标系Oxy中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值； （3）求面积的最大值. 19. 《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2） 埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与 （1）求异面直线与成角余弦值； （2）求平面与平面的夹角正弦值； （3）求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）. 2024—2025学年第一学期高二年级数学学科期中考试试题卷 试卷满分：150分；答题时长：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上正确书写班级、姓名、试室号，座位号，准考证号．用2B铅笔将学校准考证号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案答在试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】5 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） （3）5 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：因为平面，所以，， 又，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，且，，平面， 所以平面， 所以平面平面. （2） （3）不能，理由：由（1）得，，，， 设，则，可得， 所以， 由（2）知是平面的一个法向量， 若平面，可得，则，该方程无解， 所以直线不能与平面垂直. 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明：设，为线段AB的中点，所以， 因为A，B两点在椭圆上， 所以，两式相减可得：， 则， 即， 而直线OM的斜率为， 直线的斜率为，所以. 故直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值. （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）表面积为，体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $