19.1.1 变量与函数 教学设计 2024-2025学年人教版八年级数学下册

教学设计 课题 变量与函数 课型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□ 教学内容分析 概念解析 本节课的主要概念是常量和变量．在一个变化过程中，称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．变量和常量都是针对某个变化过程而言的． 思想方法 本节课将从四个实际问题中抽象出变量与常量的概念，体现认识事物的一般方法：从具体到抽象．数学抽象是本节课主要的素养，在抽象出两个概念的过程中，注重渗透变化与对应的思想． 知识类型 常量与变量是概念性知识．由知识类型决定，概念性知识需要通过丰富的例子，从归纳共性中获得数学抽象． 学情分析 从本章开始，通过引入常量和变量的概念，讨论一个量随另一个量的变化而变化的现象，帮助学生建立研究运动变化规律的基本模型：函数．能指出变化过程中的常量和变量，是学习函数的起点．为了让学生适应由常量数学进入到变量数学的阶段跨越，本节通过典型实例的分析，从中抽象出两个重要的概念（常量和变量），初步渗透变化、对应的思想，为进一步学习函数概念奠定基础． 学习目标 1.能指出简单实际问题中的常量、变量． 2.能说明简单实际问题中常量和变量的意义和它们之间的关系． 3.初步体会变量间的变化和对应关系． 重难点 1.能通过简单实际问题的分析，抽象出常量和变量的概念，并能识别简单实际问题中的常量和变量． 2.在一个运动变化过程中，能在识别常量和变量的基础上，说明它们的具体意义以及它们之间的关系（如匀速运动中，速度v是常量，时间t、距离s是变量，距离随时间的变化而变化，有确定的关系s＝vt）． 3.在对实际问题的分析中，体验一个过程中有些量不断变化，有些量保持不变，并存在某种对应关系，常量往往是联系变量的纽带． 教学评活动过程 教师活动 学生活动 环节一：情景引入 问题1：在我们身边“万物皆变”，例如：行星在宇宙中的位置随时间而变化；气温随海拔而变化；树高随树龄而变化……在你周围的事物中，你还能再举出其中一个量随另一个量的变化而变化的例子吗？ 通过教师介绍，图片播放（星空图；雪上草甸图等），让学生感知周边有很多东西（量）是随着另一个东西（量）的变化而变化的．通过举例让学生进一步加深这种印象，体会到有必要对这样的现象进行进一步的研究． 设计意图 (1)为了使学生体验一个变化过程中的常量、变量，这里聚焦了两个关键：“量”在“过程中”；突出“一个量随另一个量的变化”的现象．(2)不急于从数量关系上确定量与量之间的关系，通过具体而熟悉的例子体会这种关系即可。 环节二：探究活动 和这些问题一样，一个量随着另一个量变化的现象在现实中大量存在．我们继续看： 问题2：（1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶的路程为s km，行驶时间为t h．请你取几个t的值，并算出相应的s值： ① 在汽车行驶过程中，哪些量发生变化？哪些量始终不变？ ② 填写表格，并思考：s的值随t的值的变化而变化吗？ ③ 观察表格，显然s的值会随着t的值的变化而变化．你认为s和t的值有怎样的对应关系？ （2）电影票的售价10元/张．第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元． ① 在计算票房收入的过程中，哪些量发生变化？哪些量始终不变？ ② 请你算出相应的y值，并填入对应的空格中： 思考：你认为y和x的值有怎样的对应关系？ ③ 观察所填数值，显然票房收入y的值会随着票数x的值的变化而变化．请你说说y和x有怎样的对应关系？ （3）你见过水中涟漪吗？图中的圆形水波慢慢扩大，在这一过程中，圆的半径为r cm，面积为S cm2．当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？ （4）用10 m长的绳子围成一个矩形．当矩形的一边长x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？ 问题3：你能对题（1）—（4）中出现的不发生变化的量和发生变化的量下个定义吗？ 题（1）和（2）通过师生合作，题（3）和（4）通过小组讨论或自主学习完成． 问题3：引导学生归纳常量与变量的定义．归纳得出：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 设计意图 题（1）和（2）通过师生合作，获得研究的一般方法：由经验聚焦变化过程中的常量和变量，通过计算体验在这个过程中一个变量是如何随另一个变量变化，初步体会两个变量之间的单值对应特征．题（3）和（4）通过小组讨论或自主学习，获得进一步的体验，巩固研究方法．通过下定义的方式小结第一环节，获得从经验到理性的提升． 环节三：典例分析 一家快递公司的收费标准如图所示．用t表示邮件的质量，p表示每件快递费，n表示快递邮件的件数． ①填写下表． ②当1＜t≤10时，邮寄n件快递的费用记为 w，这时哪些量是常量？哪些是变量？ ③当11＜t≤12时，p是否为常量？当11≤t≤12时呢？谈谈你对常量和变量的理解？ 针对学生的回答，先由其它同学补充完善，最后教师根据学生的回答，总结常量和变量的适用范围，进一步理解“在一个过程中”的含义．通过学生的回答归纳得到：在某一过程中，一个t值对应一个p值． 学生活动 设计意图 加深理解“常量和变量存在于一个过程中”，是用来描述“一个过程中”某些量的特征的概念．初步体会一个变量随另一个变量变化的对应规律． 环节四：随堂检测 某快递公司收费标准的部分数据如图所示（其中t表示邮件的质量，P表示每件快递费）． ①当2.5 kg＜t≤3 kg时，P是_______．当2 kg≤t≤2.5 kg时，P是________（填“常量”或“变量”）． ②若t＝2.7 kg，P＝_______元；若P＝37元，则t的取值范围是_______． 学生活动 独立思考，完成检测。 设计意图 检测目标(1—3)是否达成，巩固新知，强化方法。 作业与拓展学习设计 1.球的体积V与半径R之间的关系式为V=，下列说法正确的是（ ） A.变量为V，R，常量为，3 B.变量为V，R，常量为 C.变量为V，R，，常量为 D.变量为V，R3，常量为 2.某地某一时刻的地面温度为10℃，高度每增加1km，温度下降4℃，则有下列说法：①10℃是常量；②高度是变量；③温度是变量；④该地某一高度这一时刻的温度y（℃）与高度x（km）的关系式为.其中正确的是（ ） A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 3.弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧的弹性限度内，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系，下列说法不正确的是（ ） A.弹簧不挂重物时的长度为0cm B.x与y都是变量，且x是自变量 C.在弹簧的弹性限度内，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm D.在弹簧的弹性限度内，所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm ⭐星级挑战（选做题） 用围棋子按如下图所示的规律摆图形，根据图形的排列规律，解答下列问题： （1）按图中的①②③的规律这样摆下去，序号为④的图形中需要多少枚围棋子？ （2）如果用n表示上述图形的序号，m表示相应的图形中棋子的枚数，写出m关于n的函数解析式，并指出这个问题中哪些量是常量，哪些量是变量，哪个量是哪个量的函数； （3）在序号为的图形中，一共需要多少枚棋子？ 特色学习资源分析、技术手段应用说明 希沃白板，投屏 学科网（北京）股份有限公司 $$