立体几何中的翻折问题专题讲义-2025届高三数学一轮专题复习

立体几何中的翻折问题 考点 立体几何中的翻折问题 【例1】如图，在中，，，是上的高，沿把折起，使． （1）证明：平面⊥平面；（2）设为的中点，求与夹角的余弦值． 【方法技巧】求解翻折问题的基本方法 （1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些发生变化，那些没有变； （2）将不变的条件集中到立体几何图形中，将问题归结于立几问题． 【变式】在边长为的正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足 (如图1)．将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、(如图2)．图1 图2 （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【例2】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点.将沿折到的位置． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【方法技巧】翻折问题注意两点 （1）翻折应充分利用不变量和不变关系； （2）翻折前后始终位于折线同侧的几何量和位置关系不变． 【变式】在平行四边形中，，，，是线段的中点．如图所示，沿直线将翻折成，使得平面平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 1.如图，等腰直角三角形的直角边，沿其中位线将平面折起，使平面平面，得到四棱锥，设的中点分别. （1）求证：四点共面；（2）求证：平面平面； （3）求异面直线与所成的角. 2．如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面平面． （1）求证：； （2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何中的翻折问题 考点 立体几何中的翻折问题 【例1】如图，在中，，，是上的高，沿把折起，使． （1）证明：平面⊥平面；（2）设为的中点，求与夹角的余弦值． 【解析】（1）∵折起前是边上的高， ∴ 当折起后，， ∵，∴⊥平面， ∵平面，∴平面⊥平面． （2）由及（1）知、、两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如图： 设，则 ，∴，， ∴ ∴与夹角的余弦值是． 【方法技巧】求解翻折问题的基本方法 （1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些发生变化，那些没有变； （2）将不变的条件集中到立体几何图形中，将问题归结于立几问题． 【变式】在边长为的正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足 (如图1)．将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、(如图2)．图1 图2 （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：在图（1）中， 取的中点，连结， ∵， ∴，而， ∴为正三角形． 又，∴． 在图（2）中，， ∴为二面角的一个平面角， 由题设条件知此二面角为直二面角，∴平面． （2）以点为原点建立空间直角坐标系，如图， 则， 设平面的法向量为，则 ∵，， ，即， 取，． 设平面的法向量为，则∵，． ，即，取，．∴，由图可知，二面角为锐角，∴二面角的大小的余弦值为． 【例2】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点.将沿折到的位置． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：∵， ∴，∴∥． ∵四边形为菱形，∴， ∴，∴，∴． ∵，∴． ∵，，∴， ∴，∴， ∴，∴． ∵，∴平面． （2）建立如图坐标系．， ，，， 设面法向量， 则，即，取， 同理可得的法向量， ． 设二面角的平面角为，． ∴二面角的正弦值为． 【方法技巧】翻折问题注意两点 （1）翻折应充分利用不变量和不变关系； （2）翻折前后始终位于折线同侧的几何量和位置关系不变． 【变式】在平行四边形中，，，，是线段的中点．如图所示，沿直线将翻折成，使得平面平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：由题意可知： ，，， ∴，∴． ∵平面平面， 平面平面，平面， ∴平面． （2）由(1)知平面，且， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系． 则． ∵是线段的中点，∴，． 在平面中，，， 设平面的法向量为， ∴，即, 可取. 设直线与平面所成角为，则 . ∴直线与平面所成角的正弦值为． 1.如图，等腰直角三角形的直角边，沿其中位线将平面折起，使平面平面，得到四棱锥，设的中点分别. （1）求证：四点共面；（2）求证：平面平面； （3）求异面直线与所成的角. 【解析】（1）证明：∵的中点分别. ∴为的中位线，∴∥. ∵为梯形的中位线，∴∥. ∴∥, ∴四点共面. （2）作,垂足为,则． ∵是等边三角形，,∴,． 在中， ． ∵是等腰直角三角形， ，∴． ∴． 如图,以点为坐标原点, 建立空间直角坐标系, (2)在等腰直角三角形中， 为中位线，∴,∥， 沿其中位线将平面折叠后有, ∵，∴平面， ∵∥，∴平面， ∵平面，∴平面平面. (3)设所求异面直线所成的角为，由（2）得两两互相垂直， 以为原点建立空间直角坐标系，如图， 得, ∴． ， ∵，∴． ∴异面直线与所成的角大小为. 2．如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面平面． （1）求证：； （2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为． 【解析】（1）证明：∵长方形中， ，，为的中点， ∴，∴． ∴平面平面， 平面平面， ∵平面，∴平面． ∵平面，∴． （2）以的中点为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则, 设，， ∴， ∴， 即． 平面的一个法向量， 设平面的法向量为， ,， 则，即， 取，得， ∴，∴． ∴为的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$