第28讲 圆的基本概念与性质(讲义PPT)-【中考拐点】2024年中考数学讲义（浙江专用）

第28讲　 圆的基本概念与性质 2024《中考拐点》 ——浙江数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 依标扣本 掌握必备知识 1 圆的基本概念与性质 基本概念 圆的对称性 垂径定理 圆周角 圆心角、弧、弦、弦心距的关系 圆内接四边形 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 基本概念 弧 定义：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧 等弧 在同圆或等圆中，能够①__________的两条弧叫等弧 【温馨提示】 等弧的长度和度数一定相等，长度或度数相等的弧不一定是等弧． 完全重合 弦 定义：连接圆上两点之间的线段叫弦 【温馨提示】 直径是弦，弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦. 弓形 定义：弦和弦所对弧组成的图形叫弓形 弓形高：弦中点和弧中点所连线段叫弓形高 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线(有无数条) 圆是中心对称图形，对称中心是圆心 圆的旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都能与它自身重合 圆的对称性 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 推论(知二推三)：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦； (4)平分优弧；(5)平分劣弧 特别：平分弦(非直径)的直径②______于弦，并且③_____弦所对的两条弧 运用：赵州桥专题(知二求三) 垂径定理 垂直 平分 如图，圆的半径为R，l是弦长(跨度)，d是弦心距， 两条平行弦之间所夹的弧④_______ 相等 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑤______ 圆周角 一半 推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角⑥__________ (2)直径所对的圆周角为⑦_______；90°的圆周角所对的 弦是⑧__________ 相等 90° 直径 弧的度数＝所对圆心角度数＝2倍所对圆周角度数 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦及两条弦的弦心距中有一组量相等，则其余各组量分别相等(知一推三) 圆心角 弧、弦、 弦心距 的关系 确定圆的条件 条件：(1)确定圆心；(2)确定半径 经过一个已知点：可以画无数个圆 经过二个已知点：可以画无数个圆(圆心在两点所在线段的垂直平分线上) 经过三个已知点 (1)三点在同一直线上：不能画圆 (2)定理：不在同一直线上的三点确定一个圆(确定：有且只有) 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 性质：圆内接四边形对角⑨______，一个外角等于它的内对角 圆内接四边形 互补 判定 (1)到定点的距离等于定长的四个点共圆 (2)对角互补的四边形的四个顶点共圆(一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点共圆) (3)两个三角形在公共边同侧，且公共边所对的角相等的四个点共圆 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 1.(源于人教九上P85练习T1)如图,点A,B,C均在半径为3的 ☉O上,连结AB, BC,AC,OB,且AC过点O. (1)☉O的弦有           ,最长的弦是           ,其长度为          ; (2)弦AB所对的圆心角是           ,所对的圆周角是           ; (3)☉O的劣弧有          ,优弧有           ; (4)∠AOB＝           ∠ACB＝           ∠OBC. (对照2022年版新课标) 课标要求1　理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念 AB,AC,BC AC 6 ∠AOB ∠ACB , , 2 2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 总目录 2.(源于浙教九上P78作业题T2)如图,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB＝8,DC＝2,则☉O的半径为           . 课标要求2　探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 5 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 总目录 3.(源于人教九上P83练习T2)如图,在☉O中,AB,AC为互相垂直的两条弦,已知OA＝5,AB＝8,则AC的长为           . 6 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 总目录 4.(源于浙教九上P91作业题T2)如图,∠A是☉O的圆周角, 若∠OBC＝50°,则∠A＝           °. 课标要求3　探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半;直径所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径 40 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 总目录 5.(源于浙教九上P86例4)如图,AB是☉O的直径,已知AC＝BD,∠A＝60°,则∠COD＝           °. 60 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 总目录 6. 一题多解法 (源于浙教九上P97作业题T2)如图,AB＝AC,求证:AD＝AE. 课标要求4　了解并证明圆内接四边形的对角互补 证明:(方法一)连结DE, 则∠ADE＝∠C,∠AED＝∠B. ∵AB＝AC,∴∠B＝∠C. ∴∠ADE＝∠AED,∴AD＝AE. (方法二)∵AB＝AC,∴∠B＝∠C. ∴.∴.∴BD＝CE. ∴AB－BD＝AC－CE,即AD＝AE. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 总目录 7.(源于浙教九上P69例2)如图,有A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使得超市到三个小区的距离相等,请仅用尺规作图,确定超市的位置.(保留作图痕迹,不要求写出作法) 课标要求5　能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆 解:如图,点P的位置即为所求. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 总目录 聚焦中考 培育核心素养 2 垂径定理及其推论(重点) 命题点 1 如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D. 若AD＝CD＝8, OD＝6,则BD的长为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 例 1 B [解析] ∵AD＝CD＝8,∴D为AC的中点.∵AO＝CO,∴OD⊥AC. 由勾股定理,得OC＝＝10.∴OB＝10. ∴BD＝OB－OD＝10－6＝4.故选B. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 变式 如图,AB是☉O的直径,D,M分别是弦AC,弧AC的中点,AC＝12,BC＝5,则MD的长是           . 4 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图.是☉O的一部分,D是的中点,连结OD,与弦AB交于点C,连结OA,OB.已知AB＝24 cm,碗深CD＝8 cm,则☉O的半径OA为( ) A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm 例 2 A 图1 图2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 [解析] ∵D的中点, ∴OD⊥AB,AC＝BC＝12 cm. 设OA＝r cm,则OC＝(r－8) cm. 由勾股定理,得122＋(r－8)2＝r2. 解得r＝13. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 变式 如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为           cm. 16 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 弧、弦、圆心角、圆周角的关系(重点) 命题点 2 如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连结BD,∠DCA＝41°,则∠ABC的度数是( ) A.41° B.45° C.49° D.59° 例 3 C [解析] ∵∠DCA＝41°,∴∠DBA＝41°. ∵CD是☉O的直径, ∴∠DBC＝90°.∴∠ABC＝49°. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 变式 如图,已知点A,B,C在☉O上,C为的中点.若∠BAC＝35°,则∠AOB等于( ) 　　 A.140° B.120° C.110° D.70° A 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 如图,四边形ABCD内接于☉O,BC∥AD,AC⊥BD.若∠AOD＝120°,则∠CAO的度数为( ) A.10° B.15° C.20° D.30° 例 4 B [解析] ∵BC∥AD,∴∠CBD＝∠ADB. ∵∠CBD＝∠CAD,∴∠CAD＝∠ADB. ∵AC⊥BD,∴∠AFD＝90°.∴∠CAD＝∠ADB＝45°. 又∵∠AOD＝120°,OA＝OD,∴∠OAD＝∠ODA＝30°. ∴∠CAO＝∠CAD－∠OAD＝15°. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 圆内接四边形的性质 命题点 3 如图,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,∠ABD＝20°,则∠BCD的度数是( ) A.90° B.100° C.110° D.120° 例 5 C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 变式 如图,圆内接四边形ABCD中,∠BCD＝105°,连结OB,OC,OD,BD, ∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是( ) 　　 A.25° B.30° C.35° D.40° A 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 课堂反馈 落实学业要求 3 1.(2022·温州)如图,AB,AC是☉O的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,连结OB,OC.若∠DOE＝130°,则∠BOC的度数为( ) A.95° B.100° C.105° D.130° B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 2.(2023·杭州)如图,在☉O中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧AB上.若∠ABC＝19°,则∠BAC＝( ) A.23° B.24° C.25° D.26° D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 3.(2021·丽水)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥OA于点E,连结OC,OD.若☉O的半径为m,∠AOD＝∠α,则下列结论一定成立的是( ) A.OE＝m·tan α B.CD＝2m·sin α C.AE＝m·cos α D.S△COD＝m2·sin α B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 4.(2023·绍兴)如图,四边形ABCD内接于圆O,若∠D＝100°,则∠B的度数是           . 80° 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 5.(2023·金华)如图,点A在第一象限内,☉A与x轴相切于点B,与y轴相交于点C,D,连结AB,过点A作AH⊥CD于点H. (1)求证:四边形ABOH为矩形; (1)证明:∵☉A与x轴相切于点B, ∴AB⊥x轴. 又∵AH⊥CD,HO⊥OB, ∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°. ∴四边形ABOH是矩形. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 (2)已知☉A的半径为4,OB＝,求弦CD的长. (2)解:连结AD. ∵四边形ABOH是矩形, ∴AH＝OB＝. ∵AD＝AB＝4, ∴DH＝＝3. ∵AH⊥CD,∴CD＝2DH＝6. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 6.(2023·江西)如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第28讲　圆的基本概念与性质 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》B28~29素养综合练测28 h表示弓形高，α是圆心角，则R2＝＋(R－h)2 $$