第24讲 解直角三角形及其实际应用(讲义PPT)-【中考拐点】2024年中考数学讲义（浙江专用）

第24讲　 解直角三角形及其实际应用 2024《中考拐点》 ——浙江数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 依标扣本 掌握必备知识 1 解直角三角形及其实际应用 解直角三角形 坡度(坡比)、坡角 解直角三角形的实际应用 仰角、俯角 方位角 模型 方法 应用测量 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 解直角三角形 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线③_______的角叫仰角，视线在水平线④_______的角叫俯角 上方 下方 坡度(坡比)、 坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)， 用字母i表示，坡面与水平面的夹角叫 坡角． i＝tan α＝⑤__________ 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 方位角：南北∥南北，东西∥东西；南北偏东西，图中讨 论的每个点都画“十字架”，如东南方指南偏东45°；如 图，A点在B点北偏东50°，则B点在A点⑥__________ 南偏西50° 模型：(1)靠背型　(2)母抱子型　　(3)组合型　　(4)爬坡型　　 (5)叠型 方法：(1)勾股定理；(2)三角函数；(3)设k法(方程思想)；(4)射影定理；(5)数形结合；(6)作垂线；(7)两个△：用一个△设未知数，用另一个△列方程 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 (1)底部可以到达　　　　(2)底部不能到达 应用测量 GF＝GE＋EF EC＝ED＋CD＝AD·tan α＋AB 1．一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位，如1.00精确到百分位， 1.0精确到十分位． 2．在计算过程中，比计算结果要求多保留一位数进行计算． 【提分点拨】 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 1.(源于人教九下P73例2)如图,小兵同学从A 处出发向正东方向走x米到达B 处,再向正北方向走到C 处,已知∠BAC＝α,则A,C 两处相距( ) 　 　　　　　　　　　　　　 A.米 B.米 C.x·sin α米 D.x·cos α米 (对照2022年版新课标) 课标要求　能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际问题 B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 2.(源于浙教九下P26作业题T3)如图,某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度,在点A处测得树顶C的仰角为45°,在点B处测得树顶C的仰角为60°,且A,B,D三点在同一直线上,若AB＝16 m,则这棵树CD的高度是( ) A.8(3－) m B.8(3＋) m C.6(3－) m D.6(3＋) m A 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 3.(源于人教九下P77练习T2)如图,一河坝横断面的迎水坡AB的坡度为1∶2,坝高BC＝3 m,则AC的长度为( ) A.6 m B.3 m C.9 m D.6 m A 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 4.(源于人教九下P35例2)如图,已知四边形ABCD中,∠ABC＝90°,∠ADC＝90°,AB＝6,CD＝4,BC的延长线与AD的延长线交于点E. (1)若∠A＝60°,求BC的长; 解:(1)∵∠A＝60°,∠ABE＝90°,∴∠E＝30°. 在Rt△ABE中,∵AB＝6,tan A＝, ∴BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6. ∵∠CDE＝90°,CD＝4,sin E＝,∴CE＝＝8. ∴BC＝BE－CE＝6－8. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 (2)若sin A＝,求AD的长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号) (2)∵∠ABE＝90°,AB＝6,sin A＝, ∴设BE＝4x,则AE＝5x,AB＝3x. ∴3x＝6,解得x＝2,∴BE＝8,AE＝10. ∴tan E＝,∴DE＝. ∴AD＝AE－DE＝10－. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 5.(源于人教九下P76例5)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远?(结果取整数,参考数据:sin 72°≈0.95, cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08,sin 40°≈0.64,cos 40°≈ 0.77,tan 40°≈0.84) 解:如图,由题意,得PC⊥AB,EF∥AB, ∴∠A＝∠EPA＝72°,∠B＝∠BPF＝40°. 在Rt△APC中,AP＝100海里, ∴PC＝AP·sin 72°≈100×0.95＝95(海里). 在Rt△BCP中,BP＝≈≈148(海里),∴B处距离灯塔P约有148海里. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 聚焦中考 培育核心素养 2 解直角三角形 命题点 1 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),点B(0,－3),点C在x轴上,且点C在点A右方,连结AB,BC,若tan ∠ABC＝,则点C的坐标为            . 例 1 (,0) 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 [解析] 设C(a,0),∴OC＝a. ∵A(1,0),B(0,－3),∴OA＝1,AC＝a－1,OB＝3,BC＝. 在Rt△OAB中,tan ∠OBA＝. ∵tan ∠ABC＝,∴∠OBA＝∠ABC. 过点C作CD∥y轴交BA的延长线于点D, ∴∠OBA＝∠D,∠AOB＝∠ACD. ∴△OBA∽△CDA,∠ABC＝∠D.∴,CD＝BC. ∴.∴.解得a＝0(舍去)或a＝.∴C(,0). 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 变式 已知,在△ABC中,∠A＝45°,AB＝4,BC＝5,则△ABC的面积为            . 2或14 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 解直角三角形的实际应用 命题点 2 为了防洪需要,某地决定新建一座拦水坝,如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长度为20米,∠C＝18°,求斜坡AB的长.(结果精确到0.1米.参考数据:sin 18°≈0.31,cos 18°≈0.95,tan 18°≈0.32) 例 2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 [解答] 解:过点D作DE⊥BC于点E.由题意,得AF⊥BC,DE＝AF. ∵斜面AB的坡度i＝3∶4,∴. 设AF＝3x米,则BF＝4x米. 在Rt△ABF中,AB＝＝5x. 在Rt△DEC中,CD＝20,∠C＝18°, ∴DE＝CD·sin C＝20×sin 18°≈20×0.31＝6.2. ∴AF＝DE＝6.2.∴3x＝6.2,解得x＝. ∴AB＝5x＝5×≈10.3(米).答:斜坡AB的长约为10.3米. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 变式1 (2019·宁波)如图,某海防哨所O发现在它的西北方向,距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处,则此时这艘船与哨所的距离OB约为           米.(精确到1米,参考数据:＝1.414,≈1.732) 566 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 变式2 如图,校园内有一株枯死的大树AB,距树12米处有一栋教学楼CD,为了安全,学校决定砍伐该树,站在楼顶D处,测得点B的仰角为45°,点A的俯角为30°.小青计算后得到如下结论:①AB≈18.8米;②CD≈8.4米;③若直接从点A处砍伐,树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有 影响;④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐,不会对 教学楼CD造成危害.其中正确的是　 　.(填写序号, 参考数值:≈1.7,≈1.4)  ①③④ 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 课堂反馈 落实学业要求 3 1.(2022·金华)一配电房示意图如图所示,它是一个轴对称图形.已知BC＝ 6 m,∠ABC＝α,则房顶A离地面EF的高度为 ( ) A.(4＋3sin α) m B.(4＋3tan α) m C. m D. m B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 2.(2021·绍兴)如图,Rt△ABC中,∠BAC＝90°,cos B＝,点D是边BC的中点,以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE,使∠ADE＝∠B,连结CE,则的值为( ) A. 　B. C. 　D.2 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 3.(2023·台州)教室里的投影仪投影时,可以把投影光线CA,CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC,∠BAC＝90°,黑板上投影图像的高度AB＝120 cm,CB与AB的夹角∠B＝33.7°,求AC的长.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 33.7°≈0.55,cos 33.7°≈0.83,tan 33.7°≈0.67) 解:在Rt△ABC中,AB＝120 cm,∠BAC＝90°, ∠B＝33.7°,tan B＝, ∴AC＝AB·tan 33.7°≈120×0.67＝80.4≈80(cm). ∴AC的长约为80 cm. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 4.(2023·宁波)某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角,利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪,如图1所示. (1)如图2,在P点观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上A,B两点均在视线PC上时,测得视线与铅垂线所夹的锐角为α,设仰角为β,请直接用含α的代数式表示β; 解:(1)根据题意,得β＝90°－α. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 (2)如图3,为了测量广场上空气球A离地面的高度,该小组利用自制简易测角仪在点B,C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°,∠ACD为45°,地面上点B,C,D在同一水平直线上,BC＝20 m,求气球A离地面的高度AD.(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) (2)设AD＝x m. ∵∠ACD＝45°,∠ADB＝90°,∴CD＝AD＝x m. ∵BC＝20 m,∴BD＝(20＋x) m. 在Rt△ABD中,tan ∠ABD＝,∴tan 37°＝,即0.75≈. 解得x≈60.∴AD≈60 m.答:气球A离地面的高度AD约为60 m. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 5.(2023·黄石)“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务,也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 如图,当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时,从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点,已知PF＝ km,∠FOQ＝20°, cos 20°≈0.9,则圆心角∠POQ所对的弧长约为           km(结果保留π). π 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第24讲　解直角三角形及其实际应用 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》B24~25素养综合练测24 (1)已知斜边和一直角边(c，a)，由sin A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝①__________ (2)已知两直角边(a，b)，由tan A＝，求∠A；∠B＝90° －∠A；c＝②__________ (3)已知斜边和锐角(c，∠A)，则∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A；b＝c·cos A (4)已知一直角边和锐角(a，∠A)，则∠B＝90°－∠A，b＝，c＝ ＝＋AB $$