第20讲 直角三角形及勾股定理(讲义PPT)-【中考拐点】2024年中考数学讲义（浙江专用）

第20讲　 直角三角形及勾股定理 2024《中考拐点》 ——浙江数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 依标扣本 掌握必备知识 1 直角三角形与勾股定理 判定 勾股数 性质 勾股定理 探索方法 运用 特例 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形 (2)两个锐角互余的三角形是直角三角形 (3)一条边上的①__________等于这条边的一半的三角形是直角三角形 (4)勾股定理逆定理：若三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 判定 中线 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 (1)直角三角形两锐角互余 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的②__________ (3)30°角所对直角边等于斜边的③__________，且三边之比为 ④____________；反之，若一条直角边等于斜边的一半，则该 直角边所对的锐角等于⑤__________ (4)勾股定理：直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方 性质 一半 一半 30° 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 探索方法 (1)割补法(面积法)：S1＋S2＝S3(无字证明) (3)青朱出入图 (1) (2) (3) (4) 勾股数：满足a2＋b2＝c2的整数叫勾股数． 如(3，4，5)，(6，8，10)，(5，12，13)，(8，15，17)，(7，24，25) 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 运用 计算直角三角形的边、面积 蚂蚁怎样走最近 圆柱： 正方体： 长方体： (1) (2) (3) 两个数之和最小的走法路径最短，如图， 由3＋4＜5＋3＜ 出图(2)中的走法为最近走法 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 特例 (1)折叠有全等有勾股 (2)两直角三角形共边问题 已知高：如已知△ABC两边长为15，13，第三边上的高为12，求第三边BC的长． 分类讨论两种情况： 未知高：用方程解答．如已知三角形三边长为13，14，15，分别求三条高. 如图，在△ABC中，设BH＝x. AH2＝142－x2＝132－(15－x)2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 1.(源于浙教八上P69课内练习T1)如图,∠ACB＝90°,CD⊥AB,垂足为D,则∠ACD与∠B的数量关系为           . (对照2022年版新课标) 课标要求1　理解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. ∠ACD＝∠B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 课标要求1 课标要求2 总目录 2.(源于浙教八上P68做一做T2)如图,CD是直角三角形ABC的中线,∠ACB＝90°,∠CDA＝120°,则∠B＝            . 60° 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 课标要求1 课标要求2 总目录 3.(源于人教八下P26练习T2)如图,在平面直角坐标系中有两点A(5,0)和B(0,4),则这两点之间的距离为            . 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 课标要求1 课标要求2 总目录 4.(源于浙教八上P77课内作业T1)下列四组线段中,可以构成直角三角形是( ) A.,, B.1,2,3 C.0.3,0.4,0.5 D.,, 课标要求2　探索勾股定理及其逆定理,熟练掌握等腰直角三角形的性质和判定,并能运用它们解决一些简单的实际问题. C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 课标要求1 课标要求2 总目录 5.(源于人教八下P33例2)如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,则“海天”号沿           方向航行. 西北 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 课标要求1 课标要求2 总目录 6.(源于人教八下P29习题T14)如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形, CA＝CB,CE＝CD,∠ACB＝∠ECD＝90°,△ACB 的顶点A在△ECD的斜边DE上,连结BD,若AE＝4,AD＝6,则AC＝           . 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 课标要求1 课标要求2 总目录 聚焦中考 培育核心素养 2 直角三角形的性质(重点) 命题点 1 如图,在△ABC中,∠A＝90°,∠C＝75°,AC＝6,DE垂直平分BC,则BE的长度为( ) 　 　 A.12　　　 B.6　　　 C.8　　　 D.9 例 1 A 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 [解析] 如图,连结EC. ∵△ABC中,∠A＝90°,∠C＝75°,∴∠B＝15°. ∵DE垂直平分BC, ∴BE＝EC,∠1＝∠B＝15°. ∴∠2＝∠ACB－∠1＝75°－15°＝60°. 在Rt△ACE中,∠2＝60°,∠A＝90°, ∴∠3＝180°－∠2－∠A＝180°－60°－90°＝30°. 故EC＝2AC＝2×6＝12. 即BE＝12.故选A. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 变式 如图,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝30°,AB⊥AD,AD＝4,则BC的长为( ) A.4 B.8 C.12 D.16 C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,∠ACD＝3∠BCD, E是斜边AB的中点,则∠ECD的度数为( ) 　　 A.30° B.45°　　 C.22.5° D.60° 例 2 B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 [解析] ∵∠ACB＝90°,∠ACD＝3∠BCD, ∴∠BCD＝22.5°,∠ACD＝67.5°. ∵CD⊥AB,∴∠ADC＝90°. ∴∠A＝90°－67.5°＝22.5°. 在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,E是斜边AB的中点,∴CE＝AB＝AE. ∴∠ECA＝∠A＝22.5°. ∴∠ECD＝∠ACD－∠ECA＝67.5°－22.5°＝45°.故选B. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,CD是△ABC的高,且BD＝1,则AD的长为( ) A.2.5　　　 B.3　　　 C.3.5　　　 D.4 例 3 [解析] ∵CD是△ABC的高,∠B＝60°,∴∠BCD＝90°－∠B＝30°. ∴BC＝2BD＝2×1＝2. ∵∠ACB＝90°,∠B＝60°, ∴∠A＝90°－∠B＝30°. ∴AB＝2BC＝2×2＝4. ∴AD＝AB－BD＝4－1＝3.故选B. B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 变式1 如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD是AB边上的高,若AC＝3,AB＝5,则CD＝ ( ) A.2 B.2.4 C.3 D. B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 变式2 (2023·衢州)如图是脊柱侧弯的检测示意图,在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小,需将∠O转化为与它相等的角,则图中与∠O相等的角是( ) A.∠BEA B.∠DEB C.∠ECA D.∠ADO B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 直角三角形的判定与勾股定理的应用 命题点 2 △ABC的三个内角分别为∠A,∠B,∠C,三条边分别为a,b,c.下列条件,能判断△ABC是直角三角形的是( ) 　　 A.a∶b∶c＝1∶2∶3 B.∠A＝∠B＝∠C C.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D.a2＝(b＋c)(b－c) 例 4 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 变式 如图所示的网格是正方形网格,A,B,P是网格线的交点,则∠PAB＋∠PBA＝( ) A.30° 　　 B.45°　　 C.60°　　 D.75° B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 有一个直角三角形的两边分别为4,5,要使三角形为直角三角形,则第三边长为           . 例 5 [解析] ①若4是直角边,5是斜边,那么第三边长为＝3; ②若4和5都是直角边,那么第三边＝. 3或 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 变式 如图,在△ABC中,AB＝30 cm,BC＝35 cm,∠B＝60°,有一动点E自点A向点B以2 cm/s的速度运动,动点F自点B向点C以4 cm/s的速度运动,若点E,F同时分别从点A,B出发.出发           秒后,△BEF为直角三角形. 3或7.5 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪(如图所示),测温仪离地面的距离AB＝3 m,当人体进入感应范围内时,测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为1.8 m的市民CD正对门缓慢走到离门1.6 m的地方时(即BC＝1.6 m),测温仪自动显示体温,则人头顶离测温仪的距离AD等于( ) 　　 A.2.0 m B.2.2 m C.2.25 m D.2.5 m 例 6 A 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 [解析] 如图,过点D作DE⊥AB于点E, ∵AB＝3 m,BE＝CD＝1.8 m,ED＝BC＝1.6 m, ∴AE＝AB－BE＝3－1.8＝1.2(m). 在Rt△ADE中,由勾股定理,得AD＝＝2(m). 故选A. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 变式 如图,把小蚂蚁放在点A处,并在点B处放了点儿火腿肠粒,请问小蚂蚁吃到火腿肠粒的最短路径是           cm. 2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 等腰直角三角形的性质与判定 命题点 3 如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点;②作直线PQ交AB于点D;③以D为圆心, AD长为半径画弧交PQ于点M,连结AM,BM.若AB＝2, 则AM的长为( ) 　　 A.4 B.2 C. D. 例 7 B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 [解析] 由作图可知,PQ是线段AB的垂直平分线,∴AM＝BM. ∵以D为圆心,AD长为半径画弧交PQ于点M,∴DA＝DM＝DB. ∴∠DAM＝∠DMA,∠DBM＝∠DMB. ∵∠DAM＋∠DMA＋∠DBM＋∠DMB＝180°, ∴2∠DMA＋2∠DMB＝180°. ∴∠DMA＋∠DMB＝90°,即∠AMB＝90°. ∴△AMB是等腰直角三角形. ∴AM＝AB＝×2＝2.故选B. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 课堂反馈 落实学业要求 3 1.(2022·舟山)如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠ABC＝∠BDE＝90°,点A在边DE的中点上,若AB＝BC,DB＝DE＝2,连结CE,则CE的长为 ( ) A. B. C.4 D. D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 2. 数学文化 (2020·金华、丽水)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG,BD相交于点O,BD与HC相交于点P.若GO＝GP,则的值是( ) A.1＋ B.2＋ C.5－ D. B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 3. 数学文化 (2018·温州)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a＝3,b＝4,则该矩形的面积为( ) A.20 B.24 C. D. B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 4.(2021·金华)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,以该三角形的三条边为边向外作正方形,正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为S1,△ABC面积为S2,则的值是( ) A. B.3π C.5π D. C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 5.(2020·绍兴)如图1,直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片,把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙),则图2中阴影部分面积为           . 4 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 6. 数学文化 (2023·泸州)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a＝(m2－n2),b＝mn,c＝(m2＋n2),其中m＞n＞0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是( ) A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25 C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 7. 数学文化 (2023·扬州)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图,直角三角形的直角边长为a,b,斜边长为c,若b－a＝4,c＝20则每个直角三角形的面积为           . 96 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第20讲　直角三角形及勾股定理 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》B20~21素养综合练测20 请完成《练测本》A22~23滚动集训 1∶∶2 (5)等积法：SRt△ABC＝c·h＝ab (6)特殊：S等腰Rt△ABC＝a2＝c2 (2)弦图：(a－b)2＋4×ab＝c2　　　 (4)美国总统伽菲尔德梯形法：(a＋b)(a＋b)＝×c2＋ab×2 5＋4(＜＜)得 $$