第14讲 二次函数的图象与性质(讲义PPT)-【中考拐点】2024年中考数学讲义（浙江专用）

第14讲　 二次函数的图象与性质 2024《中考拐点》 ——浙江数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 依标扣本 掌握必备知识 1 二次函数的图象与性质 定义 形式 图象与性质 解析式求法 待定系数法 对称变换 平移变换 二次函数的图象与a，b，c的符号关系 与方程、不等式的关系 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数 图象与性质 图象：二次函数图象都是抛物线，关于某条直线对称，这条直线叫对称轴，对称轴与抛物线的交点叫顶点(最高点或最低点) 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口 方向 a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 图象与性质 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 图象与性质 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 待定系数法：(1)设；(2)代；(3)解；(4)答 形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式：y＝a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴交点坐标 对称 变换 对于抛物线y＝2x2－4x＋1，顶点式：y＝2(x－1)2－1， (1)关于x轴对称：－y＝2x2－4x＋1，即y＝－2x2＋4x－1 (2)关于y轴对称：y＝①__________________，即y＝②__________ (3)关于原点对称：－y＝2(－x)2－4(－x)＋1，即y＝－2x2－4x－1 (4)关于顶点对称：y＝－2(x－1)2－1，即y＝－2x2＋4x－3 2(－x)2－4(－x)＋1 2x2＋4x＋1 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 (1)抛物线y＝2x2向左平移3个单位，向上平移1个单位，得y＝2(x＋3)2＋1 (2)抛物线y＝2(x＋3)2＋1向右平移4个单位，向下平移2个单位，得y＝2(x＋3－4)2＋1－2，即y＝2(x－1)2－1 【提分点拨】 平移变换的关键：(1)弄清哪个函数图象向哪个方向平移；(2)实质是点平移，重点关注顶点平移；(3)方法：左加右减，上加下减；(4)平移坐标轴与此方法相反． 平移变换 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 二次函数的图象与 a，b，c的符号关系 (1)a⇔确定开口方向 (2)c⇔确定与y轴交点位置 (3)a，b⇔确定对称轴位置(左同右异) (4)Δ⇔确定抛物线与x轴交点个数 (5) a＋b＋c的符号由x＝1时决定 a－b＋c的符号由x＝－1时决定 (6) 4a＋2b＋c符号由x＝2时决定 4a－2b＋c符号由x＝－2时决定 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 (10)特殊值法：取三个特殊点，代入一般式，求出a，b，c，再判断以上各式的符号 二次函数的图象与a，b，c的符号关系 (7) a为负数时， 注意变号 (9)两根异号⇔ Δ＞0， x1x2＜0； 两根中一根大于2， 另一根小于2⇔ Δ＞0， (x1－2)(x2－2)＜0 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 与x轴有③____个交点⇔对应方程有两个不相等实数根⇔Δ＞0 与x轴有④____个交点⇔对应方程有两个相等实数根⇔Δ⑤___0 与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑥_____0 与方程、不等式的关系 与方程 2 1 ＝ ＜ 与不等式 ax2＋bx＋c＞0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的横坐标的取值范围解集 ax2＋bx＋c＜0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的横坐标的取值范围解集 【提分点拨】 几个公式 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 1.(源于浙教九上P25作业题T3)一长方体水池深2 m,底面矩形的周长为10 m,设底面一边长为x m,则水池的容积y (m3)关于x的函数表达式为            . 2.(源于人教九上P28问题1)n名足球队员参加比赛,每2名球员之间握一次手,总握手次数m关于n的函数表达式为m＝           . (对照2022年版新课标) 课标要求1　通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义 y＝－2x2＋10x(0＜x＜5) n2－n 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 总目录 3.(源于浙教九上P16例4)如图,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A,B,C. (1)图象的开口向          ,对称轴为直线           ;与x轴的交点坐标为          ;与y轴的交点坐标为          ;二次函数的解析式化为顶点式为           ;画出这个函数的图象; 课标要求2　能画二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质,知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系(★2022版新增) 下 x＝1 (－1,0),(3,0) (0,3) y＝－(x－1)2＋4 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 总目录 (2)抛物线的顶点坐标为           ;二次函数的最大值为          ;当x＞1时,y随x的增大而         ;当x＜－1时,y随x的增大而         ;b2－4ac      0,abc       0; 2a＋b       0,2a－b        0;a－b＋c        0,a＋b＋c        0;4a－2b＋c        0,4a＋2b＋c        0;若点M与点N是二次函数图象上两点,则m         n; (1,4) 4 减小 增大 ＞ ＜ ＝ ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 总目录 (3)方程ax2＋bx＋c＝0的解为           ;不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为           ;将抛物线向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得二次函数的解析式为           ;由所得到的平移后二次函数的解析式知,当－1≤x≤3时,平移后二次函数的最大值为           ,最小值为          . x1＝－1,x2＝3 －1＜x＜3 y＝－(x－2)2＋2(或y＝－x2＋4x－2) 2 －7 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 总目录 4.(源于浙教九上P18阅读材料)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示,则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝－在同一坐标系内的大致图象为 ( ) C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 总目录 5.(源于浙教九上P25作业题T2)已知二次函数y＝2x2－4x－1在0≤x≤a时,y取得的最大值为15,则a的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 课标要求3　会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值(★2022版新增) D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 总目录 6.(源于人教九上P46例题)小颖用计算器探索方程ax2＋bx＋c＝0的根,她作出如图所示二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象,根据图象直接求得方程的一个近似根为x1≈　 　,则另一个近似根为x2≈　 　.(结果精确到0.1)  课标要求4　知道二次函数和一元二次方程之间的关系,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 －4.2 2.2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 总目录 聚焦中考 培育核心素养 2 二次函数的图象与性质 命题点 1 已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y＝ax2＋4ax＋3(a是常数,a≠0)上的点,现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴是直线x＝－2;②点(0,3)在抛物线上;③若x1＞x2＞－2,则y1＞y2;④若y1＝y2,则x1＋x2＝－2.其中正确结论的个数为( )　　 A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4 例 1 B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 [解析] ∵抛物线y＝ax2＋4ax＋3的对称轴为直线x＝－＝－2,∴①正确; 当x＝0时,y＝3,则点(0,3)在抛物线上.∴②正确; 当a＞0时,x1＞x2＞－2,则y1＞y2;当a＜0时,x1＞x2＞－2,则y1＜y2.∴③错误; 若y1＝y2,则x1＋x2＝－4.∴④错误. 故正确的有2个.故选B. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 变式 已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0),若点P(m,3)在该函数的图象上,且m≠0,则m的值为           . 2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 在平面直角坐标系中,二次函数y＝x2＋mx＋m2－m(m为常数)的图象经过点(0,6),其对称轴在y轴左侧,则该二次函数有( ) 　　 A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 例 2 [解析] 由题意,得6＝m2－m,解得m1＝3,m2＝－2. ∵二次函数y＝x2＋mx＋m2－m,对称轴在y轴左侧,∴m＞0.∴m＝3. ∴y＝x2＋3x＋6.∴二次函数有最小值为.故选D. D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 变式 已知抛物线y＝x2－2x－1,则当0≤x≤3时,函数的最大值为( )　　 A.－2 B.－1 C.0 D.2 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 给定自变量取值范围的二次函数值的大小比较,其本质是比较自变量与对称轴的位置关系. (1)当抛物线开口向上时,自变量对应横坐标的点到对称轴的距离越远,函数值越大(如图1). 图1 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 (2)当抛物线开口向下时,自变量对应横坐标的点到对称轴的距离越远,函数值越小(如图2). (3)若所给的自变量的取值范围含有参数,则在求最值时先要讨论抛物线对称轴的横坐标是否在自变量的取值范围内. 图2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 二次函数图象与系数的关系 命题点 2 (2020·宁波)如图,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x＝－1.则下列选项中正确的是( ) A.abc＜0 B.4ac－b2＞0 C.c－a＞0 D.当x＝－n2－2(n为实数)时,y≥c 例 3 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 命题点 3 已知m＞n＞0,若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1,x2(x1＜x2),关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3,x4(x3＜x4),则下列结论正确的是 ( ) A.x3＜x1＜x2＜x4 B.x1＜x3＜x4＜x2 C.x1＜x2＜x3＜x4 D.x3＜x4＜x1＜x2 例 4 B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 [解析] 关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝m的交点的横坐标,关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝n的交点的横坐标.由图可知,x1＜x3＜x4＜x2.故选B. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 变式 (2023·宁波)如图,已知二次函数y＝x2＋bx＋c图象经过点A(1,－2)和B(0,－5). (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标; 解:(1)把A(1,－2)和B(0,－5)代入y＝x2＋bx＋c,得 解得 ∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5. ∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6, ∴该二次函数图象的顶点坐标为(－1,－6). 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 (2)当y≤－2时,请根据图象直接写出x的取值范围. (2)－3≤x≤1.　[如图,∵点A(1,－2)关于对称轴直线x＝－1的对称点C(－3,－2),∴当y≤－2时,x的范围是－3≤x≤1.] 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 课堂反馈 落实学业要求 3 1.(2021·绍兴)关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值,下列说法正确的是( ) A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最大值6 D.有最小值6 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 2.(2023·台州)抛物线y＝ax2－a(a≠0)与直线y＝kx交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1＋x2＜0,则直线y＝ax＋k一定经过( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 3.(2023·宁波)已知二次函数y＝ax2－(3a＋1)x＋3(a≠0),下列说法正确的是( ) A.点(1,2)在该函数的图象上 B.当a＝1且－1≤x≤3时,0≤y≤8 C.该函数的图象与x轴一定有交点 D.当a＞0时,该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧 C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 4.(2021·杭州)在“探索函数y＝ax2＋bx＋c的系数a,b,c与图象的关系”活动中,老师给出了平面直角坐标系中的四个点:A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象,发现这些图象对应的函数解析式各不相同,其中a的值最大为( ) A. B. C. D. A 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 5.(2020·杭州)设函数y＝a(x－h)2＋k(a,h,k是实数,a≠0),当x＝1时,y＝1;当 x＝8时,y＝8,( ) A.若h＝4,则a＜0 B.若h＝5,则a＞0 C.若h＝6,则a＜0 D.若h＝7,则a＞0 C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 6.(2023·绍兴)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c. (1)当b＝4,c＝3时, ①求该函数图象的顶点坐标; ②当－1≤x≤3时,求y的取值范围; 解:(1)①当b＝4,c＝3 时,y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7. ∴顶点坐标为(2,7). ②∵－1≤x≤3中含有顶点(2,7),∴当x＝2 时,y有最大值7. ∵2－(－1)＞3－2,∴当x＝－1 时,y有最小值为－2. ∴当－1≤x≤3时,－2≤y≤7. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 (2)当x≤0时,y的最大值为2;当x＞0时,y的最大值为3,求二次函数的表达式. (2)∵当x≤0时,y的最大值为2;当x＞0时,y的最大值为3, ∴抛物线的对称轴x＝在y轴的右侧.∴b＞0. ∵抛物线开口向下,x≤0时,y的最大值为2,∴c＝2. 又∵＝3,∴b＝±2. ∵b＞0,∴b＝2. ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋2. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 7.(2023·福建)已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a＞0)经过A(2n＋3,y1),B(n－1, y2)两点,若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧,且y1＜y2,则n的取值范围是            . －1＜n＜0 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第14讲　二次函数的图象与性质 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》B14~15素养综合练测14 增减性 a＞0⇔对称轴左侧，y随x增大而减小；右侧，y随x增大而增大 a＜0⇔对称轴左侧，y随x增大而增大；右侧，y随x增大而减小 |a|越大⇔抛物线开口越小，越靠近对称轴，y变化越快 |a|相同⇔抛物线形状相同⇔开口大小相同 对称轴 直线x＝0(y轴) 直线x＝0 (y轴) 直线x＝h 直线x＝h 直线x＝－ 顶点 (0，0) (0，c) (h，0) (h，k) 最大(小)值 y最值＝0 y最值＝c y最值＝0 y最值＝k y最值＝ 具体 函数 y＝3x2 y＝2x2＋1 y＝ 4(x－1)2 y＝2(x＋3)2－2 y＝x2＋2x－3 图象 2a＋b符号⇔对称轴x＝－与1比大小确定 2a－b符号⇔对称轴x＝－与－1比大小确定 (8)只含ac的关系与对称轴x＝－＝±1时有关 (1)与x轴两个交点A，B点间距离公式：AB＝|x1－x2|＝. (2)中点公式：x中点＝，y中点＝. $$