第6讲 一元二次方程及其解法(讲义PPT)-【中考拐点】2024年中考数学讲义（浙江专用）

第6讲　 一元二次方程及其解法 2024《中考拐点》 ——浙江数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 依标扣本 掌握必备知识 1 一元二次方程及其解法 定义 运用 一般形式 解法 根的判别式 关系 根与系数关系 易错 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①____次的整式 方程 一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 解法 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 Δ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔一元二次方程有两个相等的实数根 Δ＜0⇔一元二次方程没有实数根 根的判别式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 根的情况 易错 (1)ax2＋bx＋c＝0关于x的一元二次方程根的情况，注意a≠0； (2)ax2＋bx＋c＝0关于x的方程注意分类讨论，方程有实数根⇔ ①a＝0； ②a≠0， 且Δ≥0， 如关于x的方程ax2＋5x－2＝0有实数根，则a②________． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 关系：x1，x2，为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝③_______，x1x2＝④________ 运用 括号型：(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 题目中涉及根与系数的关系，一定要考虑Δ≥0，如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，两根x1，x2同为正数，则Δ≥0，x1＋x2＞0，x1x2＞0； 两根x1，x2都大于1，则Δ≥0，(x1－1)＋(x2－1)＞0，(x1－1)(x2－1)＞0. 易错 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 1.(源于浙教八下P33课内练习T2)填空,将左边的多项式配成完全平方式: (1)x2＋6x＋(          )＝ (x＋          )2 ; (2)x2－8x＋(          )＝(x－          )2 ; (3)x2＋x＋(          )＝(x＋          )2 ; (4)4x2－6x＋(          )＝4(x－          )2＝(2x－          )2. (对照2022年版新课标) 课标要求1　理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 9 3 16 4 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 课标要求1 课标要求2 课标要求3 总目录 2.(源于浙教八下P49T8)选择适当的方法解下列方程: (1)x2＋3x＝0; 解:(1)将方程左边因式分解,得x(x＋3)＝0, 由此得x＝0或 x＋3＝0. 解得x1＝0, x2＝－3. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 课标要求1 课标要求2 课标要求3 总目录 (2)5x2－4x－1＝0; (2)这里a＝5,b＝－4,c＝－1. 因而 b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36, 所以x＝. 因此,原方程的根为x1＝1,x2＝－. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 课标要求1 课标要求2 课标要求3 总目录 (3)x2＋2x－3＝0. (3)原方程可化为x2＋2x＋1－4＝0, 即(x＋1)2＝4. 由此得x＋1＝2 或x＋1＝－2. 解得x1＝1,x2＝－3. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 课标要求1 课标要求2 课标要求3 总目录 3.(源于浙教八下P50T10)一元二次方程3x2－2x－1＝0的根的情况为 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 课标要求2　会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 课标要求1 课标要求2 课标要求3 总目录 4.(源于浙教八下P46课内练习T1) (1)设方程x2－4x－1＝0的两个根为x1与x2, 则 x1x2＝          ; (2)设方程x2＋5x＋6＝0的两个根为x1与x2, 则x1＋x2＝          . 5.(源于浙教八下P50T14)已知关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的两个根是1 和－3,则m＝          , n＝           . 课标要求3　了解一元二次方程的根与系数的关系 －1 －5 2 － 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 课标要求1 课标要求2 课标要求3 总目录 聚焦中考 培育核心素养 2 一元二次方程的有关概念及其解法(重点) 命题点 1 若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一个解是x＝1,则m＋n的值是          . 例 1 [解析] 把x＝1代入方程mx2＋nx－1＝0,得m＋n－1＝0,解得m＋n＝1. 变式 已知m为方程x2＋3x－2 022＝0的根,那么m3＋2m2－2 025m＋2 022的值为( ) 　　 A.－2 022　 B.0　 C.2 022　 D.4 044 1 B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 已知方程的根,求与未知数有关的代数式的值: (1)已知一根,直接代入原方程,得到一个关于未知数系数(参数)的方程,解方程求出未知数的值. (2)已知两根,要么把两个根直接代入原方程,列出关于未知系数的方程组,解方程组求出未知系数,要么利用根与系数的关系求解. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 一题多解法 在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法,它们分别是配方法、公式法和因式分解法,请从下列一元二次方程中任选两个,并解这两个方程. ①x2＋2x－1＝0;②x2－3x＝0;③x2－4x＝4;④x2－4＝0. 例 2 [解答] 解:①利用公式法:x2＋2x－1＝0, Δ＝22－4×1×(－1)＝4＋4＝8, ∴x＝＝－1±. ∴x1＝－1＋,x2＝－1－; 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 ②利用因式分解法:x2－3x＝0, ∴x(x－3)＝0.∴x1＝0,x2＝3; ③利用配方法:x2－4x＝4, 两边都加上4,得x2－4x＋4＝8, ∴(x－2)2＝8.∴x－2＝±2. ∴x1＝2＋2,x2＝2－2; ④利用因式分解法:x2－4＝0, ∴(x＋2)(x－2)＝0.∴x1＝－2,x2＝2. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 一元二次方程根的判别式及其应用 命题点 2 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x－3＝0有实数根,则m的取值范围是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.m≥ 　 B.m＜ C.m＞且m≠1 　 D.m≥且m≠1 例 3 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0. (1)求证:该方程总有两个实数根; 例 4 [解答] (1)证明:∵a＝1,b＝－4m,c＝3m2, ∴Δ＝b2－4ac＝(－4m)2－4×1×3m2＝4m2. ∵无论m取何值时,4m2≥0,即Δ≥0, ∴原方程总有两个实数根. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 (2)若m＞0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值. (2)解:∵x2－4mx＋3m2＝0, 即(x－m)(x－3m)＝0,∴x1＝m,x2＝3m. ∵m＞0,且该方程的两个实数根的差为2, ∴3m－m＝2.∴m＝1. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 一元二次方程根与系数的关系 命题点 3 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＋2＝0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1＋x2＋x1·x2＝2,则实数m＝          . 例 5 [解析] ∵原方程有两个不相等的实数根, ∴Δ＝(2m)2－4×1×(m2－m＋2)＞0.∴m＞2. ∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＋2＝0的两个实数根, ∴x1＋x2＝－2m,x1·x2＝m2－m＋2. ∵x1＋x2＋x1·x2＝2,∴－2m＋m2－m＋2＝2.解得m1＝0(不合题意,舍去), m2＝3.∴实数m的值为3. 3 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 1.利用根与系数的关系的两个前提条件:(1)二次项的系数不为0;(2)方程有实数根. 2.运用根与系数的关系时,熟记以下常见变形: 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0,b2－4ac≥0)的两根为x1,x2,则 (1)＝(x1＋x2)2－2x1x2; (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2; (3); 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 (4); (5)(x1－m)(x2－m)＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2; (6)|x1－x2|＝. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 课堂反馈 落实学业要求 3 1.(2021·丽水)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时,配方结果正确的是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.(x－2)2＝5 B.(x－2)3＝3 C.(x＋2)2＝5 D.(x＋2)2＝3 2.(2021·台州)关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( ) A.m＞2 B.m＜2 C.m＞4 D.m＜4 D D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 3.(2020·湖州)已知关于x的一元二次方程x2＋bx－1＝0,则下列关于该方程根的判断,正确的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.实数根的个数与实数b的取值有关 A 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 4.(2016·金华)一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x1,x2,则下列结论正确的是( ) A.x1＝－1,x2＝2 B.x1＝1,x2＝－2 C.x1＋x2＝3 D.x1x2＝2 5.(2022·温州)若关于x的方程x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根,则c的值是( ) A.36 B.－36 C.9 D.－9 C C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 6.(2023·杭州)设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程. ①b＝2,c＝1;②b＝3,c＝1;③b＝3,c＝－1;④b＝2,c＝2. 注:如果选择多组条件分别作答,按第一个解答计分. 解:∵使这个方程有两个不相等的实数根, ∴b2－4ac＞0,即b2＞4c.∴②③均可. 选②解方程,则这个方程为x2＋3x＋1＝0. ∴x＝.∴x1＝,x2＝. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 选③解方程,则这个方程为x2＋3x－1＝0. ∴x1＝,x2＝. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 7.将关于x的一元二次方程x2－px＋q＝0变形为x2＝px－q,就可以将x2表示为关于x的一次多项式,从而达到“降次”的目的,又如x3＝x·x2＝x(px－q)＝…,我们将这种方法称为“降次法”,通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”,已知:x2－x－1＝0,且x＞0,则x4－2x3＋3x的值为 ( ) A.1－ B.3－ C.1＋ D.3＋ C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 8.由多项式乘法:(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b). 例如,分解因式:x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3). (1)分解因式:x2＋6x＋8＝           ; (2)请用上述方法解方程:x2－3x－4＝0. (x＋2)(x＋4) 解:(1)(x＋2)(x＋4)　[x2＋6x＋8＝x2＋(2＋4)x＋2×4＝(x＋2)(x＋4).] (2)x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝0, (x－4)(x＋1)＝0,x＋1＝0或x－4＝0, ∴x1＝－1,x2＝4. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第6讲　一元二次方程及其解法 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》B4~5素养综合练测6 解法 形式 优点 缺点 直接开平方法 a(x＋m)2＝n 速度快 条件要求较高 配方法 a＝ 为求二次函数最值奠基 最慢 公式法 x＝(b2－4ac≥0) 万能 符号较多，运算量大 因式分解法 a(x－x1)(x－x2)＝0 最快 技巧性较强 ≥－ － 平方型：x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 分式型：＋＝，＋＝＝ 绝对值型：|x1－x2|＝＝＝ 因式分解型：xx2＋x1x＝x1x2(x1＋x2) $$