第2讲 代数式、整式及因式分解(讲义PPT)-【中考拐点】2024年中考数学讲义（浙江专用）

第2讲　 代数式、整式及因式分解 2024《中考拐点》 ——浙江数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 依标扣本 掌握必备知识 1 代数式、整式及因式分解 列代数式 乘法 代数式求值 整式的相关概念 整式的运算 加减 公式 典型问题 多项式 单项式 整式 同类项 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 列代数式：有代数式的和、差、积、商、乘方等类型 代数式求值 (1)直接代入：先化简，再代入求值 (2)整体代入(可消元降次)：先因式分解，把已知代数式恒等变形后再代入求值 单项式 定义：数与①__________的积叫单项式 字母 注意 单独一个数或一个②________也是单项式，如－a，0都是单项式． 字母 次数：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 定义：几个单项式的和叫多项式 次数：多项式中次数最高项的次数叫这个多项式的次数，如a＋2ab2＋25是③______次 排列：书写多项式时，一般按某个字母降幂排列，如－xy＋x2－1按x的降幂排列是x2－xy－1 多项式 3 整式：单项式和多项式统称为整式 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.几个常数项也是同类项 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 加减：实质是合并同类项，即把同类项的系数相加减，所得结果为新的系数，字母和字母指数不变．去(添)括号：a＋(b＋c)＝a＋b＋c，a－(b＋c)＝a－b－c(口诀：负“－”变正“＋”不变) 乘法 单×单：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式的字母连同它的指数作为积的一个因式 单×多：等于单项式与多项式的每一项相乘，再把积相加 多×多：(a＋b)(m＋n)＝④___________________ am＋an＋bm＋bn 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑤__________(口诀：两数和、两数差，同方异方来作差) 完全平方公式：(a±b)2＝⑥_____________(口诀：首平方，尾平方，2倍乘积放中央，符号看前方，同号得正，异号得负) 公式 a2－b2 a2±2ab＋b2 (如图2、图3) (如图1) 图形表示： 图1　　　 　图2　　　　　图3 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 整式型：已知x＋y＝3，x2＋y2＝5，则x－y＝⑦______ 典型问题 平方型 ±1 2(或6) 3(或7) 添项构成完全平方式：4x2＋1添一项构成完全平方式，则添的整式：⑩_____________ 添括号，运用简便运算：(a－2b＋3c)(a＋2b－3c)＝ ⑪______________ ±4x或4x4 a2－(2b－3c)2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 代数式、整式及因式分解 幂的运算 整式的运算 除法 口诀 因式分解 定义 方法 原则 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 单÷单：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 多÷单：(am＋bm)÷m＝⑫__________ 除法 a＋b 同底数幂的乘法：am·an＝⑬______，底数不变，指数⑭_______ 同底数幂的除法：am÷an＝⑮______，底数不变，指数⑯______ 幂的乘方：(am)n＝⑰_____，底数不变，指数⑱______ 积的乘方：(3ab)n＝⑲________，括号内每一个因式分别乘方，切记不要忘记给系数乘方 幂的运算 am＋n 相加 am－n 相减 amn 相乘 3nanbn 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 定义：把一个多项式化成几个⑳__________的形式，这种变形叫因式分解，与整式乘法互为逆运算 口诀：一提(公因式)，二数(数项数)，三用(用公式)，四分组 整式的积 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 方法 提公因式法 公因式确定 系数：取各项系数的最大公约数 字母：取各项相同字母的最低次幂 ma＋mb＋mc＝㉑____________ m(a＋b＋c) 公式法 平方差公式：a2－b2＝㉒____________ 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝㉓__________ (a＋b)(a－b) (a±b)2 十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝㉔______________ 分组分解法：四项可以二、二分组，也可以三、一分组 (x＋a)(x＋b) 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 (1)分解到不能再分解为止，若字母的最高次数超过一次，检查是否还能继续分解； (2)首项为正； (3)无中括号； (4)无新的公因式 原则 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 1.(源于人教七上P54例2)x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品总价为           元. (对照2022年版新课标) 课标要求1　能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示 (ax＋by) 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 总目录 2.(源于浙教七下P81作业题T3)(2021·金华)已知x=,求(3x－1)2＋(1＋3x)(1－3x)的值. 课标要求2　能进行简单的整式加减运算,能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法) 解:原式＝9x2－6x＋1＋1－9x2＝－6x＋2. 当x＝时,原式＝－6×＋2＝1. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 总目录 3.(源于浙教七下P108设计题)如图1,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小方形,将阴影部分剪成两个直角梯形后再拼成一个等腰梯形(如图2),通过计算阴影部分的面积,验证了一个等式,这个等式是( ) A.a(a＋b)＝a2＋ab B.a(a－b)＝a2－ab C.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D.a2－b2＝(a－b)(a＋b) 课标要求3　理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2,(a±b)2＝a2±2ab＋b2,了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算和推理(★2022版新增) 图1　　　　图2 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 总目录 4.(源于浙教七下P101例1)把多项式3a3b2＋9a3bc分解因式时,应提取的公因式是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3a3b2 B.9a3b2c C.3a3b3 D.3a3b 课标要求4　能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数) D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 总目录 5.(源于浙教七下P101例2)把2x(a－b)－4y(a－b)分解因式,正确的是( ) A.2(a－b)(x＋2y) B.2(a－b)(x－2y) C.(a－b)(2x＋4y) D.(a－b)(2x－4y) 6.(源于浙教七下P110T6)下列各式中,能运用平方差公式分解因式的是 ( ) A.x2＋4y2 B.x2＋2x－1 C.－x2－4y2 D.－x2＋4y2 B D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 总目录 7.(源于浙教七下P104作业题T3)简算:. 解:原式＝ ＝. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 课标要求1 课标要求2 课标要求3 课标要求4 总目录 聚焦中考 培育核心素养 2 例 1 代数式 命题点 1 (2021·金华)某超市出售一商品,有如下四种在原标价基础上调价的方案,其中调价后售价最低的是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.先打九五折,再打九五折 B.先提价50%,再打六折 C.先提价30%,再降价30% D.先提价25%,再降价25% B 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 变式 (2021·温州)某地居民生活用水收费标准:每月用水量不超过17立方米,每立方米a元;超过部分每立方米(a＋1.2)元.该地区某用户上月用水量为20立方米,则应缴水费为( ) A.20a元 B.(20a＋24)元 C.(17a＋3.6)元 D.(20a＋3.6)元 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 整式的运算(重点) 命题点 2 (2023·台州)下列运算正确的是( ) A.2(a－1)＝2a－2 B.(a＋b)2＝a2＋b2 C.3a＋2a＝5a2 D.(ab)2＝ab2 例 2 A 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 变式 化简x3·()2的结果是( ) 　　 A.xy6 B.xy5 C.x2y5 D.x2y6 A 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 (2023·金华)已知x＝,求(2x＋1)(2x－1)＋x(3－4x)的值. 例 3 [解答] 解:原式＝4x2－1＋3x－4x2 ＝3x－1. 当x＝时,原式＝3×－1＝0. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 进行整式的运算时,要注意合理运用运算法则,还要注意结果的符号.整式的运算顺序是先乘除再加减.整式加减的实质就是合并同类项.注意灵活运用乘法公式进行运算. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 因式分解及其应用(重点) 命题点 3 下列各式从左到右的变形,因式分解正确的是( )　　 A.(a＋3)2＝a2＋6a＋9 B.a2－4a＋4＝a(a－4)＋4 C.5ax2－5ay2＝5a(x＋y)(x－y) D.a2－2a－8＝(a－2)(a＋4) 例 4 C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 变式 下列各式属于因式分解的是( )　　 A.a(x＋y)＝ax＋ay B.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C.10x2－5x＝5x(2x－1) D.x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 利用因式分解法进行运算与化简时,先把要求的代数式进行因式分解,再根据已知条件运算与化简. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 命题点1 命题点2 命题点3 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 课堂反馈 落实学业要求 3 1.(2023·宁波)下列计算正确的是( ) A.x2＋x＝x3 B.x6÷x3＝x2 C.(x3)4＝x7 D.x3·x4＝x7 2.(2023·绍兴)下列计算正确的是( ) A.a6÷a2＝a3 B.(－a2)5＝－a7 C.(a＋1)(a－1)＝a2－1 D.(a＋1)2＝a2＋1 D C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 3.(2023·杭州)分解因式:4a2－1＝( ) A.(2a－1)(2a＋1) B.(a－2)(a＋2) C.(a－4)(a＋1) D.(4a－1)(a＋1) 4.(2023·金华)因式分解:x2＋x＝           . 5.(2022·嘉兴)分解因式: m2－1＝           . A x(x＋1) (m＋1)(m－1) 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 6.(2023·丽水)如图,分别以a,b,m,n为边长作正方形,已知m＞n且满足am－bn＝2,an＋bm＝4. (1)若a＝3,b＝4,则图1中阴影部分的面积是          ; (2)若图1中阴影部分的面积为3,图2中四边形ABCD的面积为5,则图2中阴 影部分的面积是           . 25 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 7.(2021·温州)化简:(a－5)2＋a(2a＋8). 解:原式＝a2－10a＋25＋a2＋4a ＝2a2－6a＋25. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 8.(2023·嘉兴、舟山)观察下面的等式: 32－12＝8×1,52－32＝8×2,72－52＝8×3,92－72＝8×4,…. (1)写出192－172的结果; (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示,n为正整数); 解:(1)∵19＝2×9＋1,17＝2×9－1, ∴192－172＝8×9＝72. (2)由题意可得(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 (3)请运用有关知识,推理说明这个结论是正确的. (3)∵(2n＋1)2－(2n－1)2 ＝[(2n＋1)＋(2n－1)][(2n＋1)－(2n－1)] ＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1) ＝4n×2＝8n, ∴(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n正确. 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 9. 跨学科融合 (2023·遂宁)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物,在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料,也可用于动、植物的养护.通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷(当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示,如十一烷、十二烷……)等,甲烷的化学式为CH4,乙烷的化学式为C2H6,丙烷的化学式为C3H8,…,其分子结构模型如图所示,按照此规律,十二烷的化学式为           . C12H26 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 第1讲　实数的相关概念及运算 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》B1~2素养综合练测2 分式型：已知x＋＝2(或x－＝2)，则x2＋＝⑧________， ＝⑨_______ $$