1.5 三角函数的应用 解答专项2024-2025学年北师大版数学九年级下册

参考答案 1.【答案】【小题】 解：如图，作于． 在中， ， ， ，  ， 在中， ， ， ． 【小题】解：是的中线， ， ， ，  ， 在中， ， 的正弦值为．   2.【答案】解：如图，作于点． ． 探测线与地面的夹角分别是和， ，． 在中，， ． 在中，， ． 在中，，， 由勾股定理，得 ．              ． 不合题意，舍去． ． 有金属回声的点的深度是米．  3.【答案】解：设米． 在中，， 则， 在中， ，则 ， ． 解得：． 答：小明家所在居民楼与大厦的距离的长度是米．  4.【答案】解：如图， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， 是直角三角形，且， ； 如图，， ，，， ，， ， ，， ， ．  5.【答案】解：过点作于，过点作于． ，， ， ， ， ， ， ， ， 此时小强头部点与地面相距约为． 过点作于点，延长交于． ，为中点， ， ， ， ，， ，， 他应向前．  6.【答案】  7.【答案】解：过点作，垂足为点，交于点，如图所示． 由题意，得：厘米，． 四边形是矩形， ， ． 在中，厘米． 又厘米，厘米， 厘米， 厘米． 答：点到的距离为厘米． 连接，，，如图所示． 由题意，得：，， 是等边三角形， ． 四边形是矩形， ． 在中，厘米，厘米， 厘米， 厘米． 答：、两点的距离是厘米．  8.【答案】解：点为中点，， ， ，， 在中， ， 眼睛与显示屏顶端的水平距离长为； 过点作于点， ，， ， ， ， ，， ， 在中， ， ， 在中， ， ， 显示屏顶端与底座的距离为．  9.【答案】解：在中，，， ， 由题意得：， ， ， ， 在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为．  10.【答案】解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ∽， ， ， 解得：， 在中，， 米， 石坝坝顶与坝脚之间的距离约为米．  11.【答案】解：设信号接收点为，延长到点且，过点作垂直，垂足为． 由题意，，， 当为时，点与重合，，． 当为时，点与重合，，． 所以．  12.【答案】解：过作于点， 由题意，得，，， ，， 在中，千米， 在中，千米， 即，两点之间的距离千米； 过作于， 由题意知，， ， ， ， ， 在  中，千米， 在中，千米， 飞机的飞行速度保持千米分钟， 飞机从点飞行到点所用的时间是分钟．  13.【答案】解：过点作于点， 在中，，， ， 在中，，， ， 答：的长约为．  14.【答案】解：如图： 设， 由题意得：， ， ， 由题意得：，，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 该古塔的高度约为．  15.【答案】解：过点作，垂足为， 设， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， ， ， ， 在中，， 天坑坑洞洞口最大口径的长度约为．  16.【答案】解：由题意得：， 斜坡的坡度， ， 在中，， ， ， ，， 点离水平地面的高度为； 过点作，垂足为， 由题意得：，， 设米， 米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 电线塔的高度为米．  17.【答案】解：由题意知，，，， ， ， 间的距离为； 设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， 原计划单向开挖每天挖．  18.【答案】解：过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， 米，， 由题意得：，， 是等腰直角三角形， ， ， 设米， 则米，米， 在中，， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 米， 答：旗杆的高约为米．   19.【答案】解：延长交于点，过点作平行于地面交于点，如下图， 米，， 米，米， ， ，即， 解得， 米，  米， 米， 米， 米， 米．  20.【答案】解：过点作，交于点，交于点，则 ，，，． ，， ， ， ∽， ， 设，则， ， ， 过点作，垂足为，则四边形是矩形， ，， 无人机在点的正上方点处测得点的俯角为， ， 在中，， ， ， 解得， ， ， 雕塑的高度约为约为．  21.【答案】解：过点作，垂足为， ， 由题意得：， ， ， ， 为的中点， 米， 在中， 米，米， 此时支点到小竹竿的距离约为米； 设交于点， 由题意得：，，米， ， 在中，米， 米， 米， 点上升的高度约为米．  22.【答案】解：是等边三角形，理由如下： 连接． 甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，航行分钟到达， ， 又，， 是等边三角形； 过点作，如图： ， ， ． 是等边三角形， ，海里， ． 在中， 海里，，， 由阅读材料可知，， 解得海里， 所以乙船每小时航行：海里．  23.【答案】解：；； 在中，，，， ， 延长至，使得， ， ， ，， ；    如图，作交于点，使， 则． 设，则 ， ，即， 在中， 即， 整理，得， 解得，，不合题意，舍去 即，． ．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年北师大九年级下册数学第一章直角三角形边与角的关系-三角函数的应用解答专项 1.如图,是的中线,,,. 求的长;求的正弦值. 2.如图,在修建某条地铁时,科技人员利用探测仪在地面、两个探测点探测到地下处有金属回声.已知、两点相距米,探测线,与地面的夹角分别是和,试确定有金属回声的点的深度是多少米? 3.小明家所在居民楼的对面有一座大厦米,为测量这座居民楼与大厦之间的水平距离的长度,小明从自己家的窗户处测得,平行于地面求小明家所在居民楼与大厦的距离的长度.参考数据:,,, 4.如图,在的正方形网格中,每个小正方形的边长均为,线段、线段的端点均在小正方形的顶点上. 在图中以为边画,点在小正方形的格点上,使,且; 在的条件下,在图中画以为边且面积为的,点在小正方形的格点上,使,连接,直接写出线段的长. 5.如图是小强洗漱时的侧面示意图,洗漱台矩形靠墙摆放,高,宽,小强身高,下半身,洗漱时下半身与地面成,身体前倾成,脚与洗漱台距离点,,,在同一直线上,, 此时小强头部点与地面相距多少? 小强希望他的头部恰好在洗漱盆的中点的正上方,他应向前或后退多少? 6.如图是某红色文化主题公园内的雕塑,将其抽象成如图所示的示意图,已知点,,,在同一直线上,,测得,,. 连接,则 _; 求雕塑的高即点到直线的距离精确到,参考数据:,, 7.图是某小型汽车的侧面示意图,其中矩形表示该车的后备箱,在打开后备箱的过程中,箱盖可以绕点逆时针方向旋转,当旋转角为时,箱盖落在的位置如图所示已知厘米,厘米,厘米. 求点到的距离; 求、两点的距离. 8.如图是某电脑液晶显示器的侧面图,显示屏可以绕点旋转一定角度如图,研究表明:当眼睛与显示屏顶端在同一水平线上,且望向屏幕中心点为中点的视线与水平线的夹角,显示屏顶端与底座的连线与水平线垂直时,观看屏幕最舒适,此时,,.求眼睛与显示屏顶端的水平距离;求显示屏顶端与底座的距离结果精确到 参考数据:,,, 9.材料阅读: 光从空气进入水中时,传播方向发生了偏折,这种现象叫做光的折射我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率,即,已知光线从空气进入水中时的折射率为. 问题解答: 如图,矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点,折射后照到水槽底部的点,测得,若,,三点在同一条直线上,请依据相关材料求的长结果精确到;参考数据:,, 10.如图,为了测量山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离,把一根长为米的竹竿斜靠在石坝旁,量出竿长米处距离地面的高度为米,又测得石坝与地面的倾斜角为求石坝坝顶与坝脚之间的距离.结果精确到,参考数据:,, 11.小华同学在家看电视的时候因误触遥控器导致换台,但遥控器并没有对准电视小华想起物理课上学习过的光的反射,并猜想是遥控器的红外线信号在墙壁等其他光滑的地方发生反射然后被信号传感器接收导致换台,小华在好奇心驱使下验证了自己的设想如图所示,为竖直的平面镜足够长,的长度为信号传感器可接收信号的水平宽度,,小华坐在距离距离为的点,然后小华用遥控器水平对着平面镜持续按按钮,发现当时电视可以换台假设红外线在点反射,求信号传感器可接收信号的水平范围结果含,, 12.如图,在某机场的地面雷达观测站,观测到空中点处的一架飞机的仰角是,飞机沿水平线方向飞行到达点处,此时观测到飞机的仰角是,飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处,此时观测到飞机的仰角是已知千米点,,,,,在同一竖直平面内 求,两点之间的距离;结果保留根号 若飞机的飞行速度保持千米分钟,求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟?结果保留根号 13.火灾是一种常见而严重的灾害,它不仅威胁着人们的生命财产安全,还可能对社会的稳定和发展造成严重影响在面对火灾危险时,消防车被视为消防救援的主要装备之一,它们携带着各种灭火设备和救援工具,是保护公众安全、扑灭火灾的重要力量图是某种消防车云梯,图是其侧面示意图,点,,在同一水平线上,点,,在同一直线上,为云梯的液压杆,可绕着点旋转,其中套管的长度不变,可伸缩,在某种工作状态下液压杆,,求的长参考数据:,, 14.一天中午,小旭和小华两人想利用所学知识测量当地一座古塔的高度古塔的底部不可到达,如图所示,小旭先在塔影子的顶端处竖立长为的标杆,测得标杆的影长为,此时小华在标杆的影子顶端处放置测角仪,测得塔顶端的仰角为,已知测角仪的高度为,,,,点,,在同一水平直线上,求该古塔的高度参考数据:,, 15.天坑是喀斯特地貌中的一种,它的形成是因为地下水不断侵蚀固体基岩,使溶洞顶部发生坍塌,最终在地表形成一个巨大的深坑,这个深坑被称作天坑如图所示是位于兴文石海具有天下第一漏斗美称的天坑最深处达米是天坑坑洞洞口最大口径现在同一平面内的天坑边沿再另取两点,,使测量示意图如图所示,在点处测得,,在点处测得,,求天坑坑洞洞口最大口径的长度结果精确到;参考数据: 16.某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示,斜坡的坡度,,在处测得电线塔顶部的仰角为,在处测得电线塔顶部的仰角为. 求点离水平地面的高度. 求电线塔的高度结果保留根号. 17.如图,从地到地规划修建一条东西方向的笔直公路,勘测人员发现公路要穿过一座山,施工队原计划从处开凿隧道通到处,已知,,,四点在同一直线上,在处的正南方取一观测点,观测到点在北偏西方向上,观测点到点的距离为参考数据:,,,最后结果保留整数 求隧道两端间的距离; 原计划从向开挖,为了加快施工进度,实际从,两端同时相向施工,结果工作效率比原计划提高了,比原计划提前天完工问原计划单向开挖每天挖多少? 18.如图,甲、乙两同学准备测量学校旗杆的高度,甲同学在旗杆左侧的教学楼的阳台处测得旗杆顶点的仰角为,且阳台的高度为米,乙同学在旗杆右侧的空地上点处测得旗杆顶点的仰角为点,,在同一条直线上,已知米,求旗杆的高精确到米,参考数据:,,, 19.春暖花开,小明和家人一起去放风筝,小明将风筝放在与地面夹角为的山坡处,并站在处,视线恰好与地面平行,起风后小明从处沿坡面开始往下跑米至坡底处米,并继续沿平地向前跑米到达处米后站在原地开始调整,小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是,此时风筝恰好升高到起飞时点的正上方处已知小明视线距地面高度米,图中所有点均在同一平面,点在上,、、均与地面垂直,求风筝上升的垂直距离结果保留根号 20.某校组织初三年级师生春游,第一站是太原市晋阳湖公园,最吸引同学们注意的是公园内名称为“晋泉之声”的雕塑,主体为一对背靠背的青年男女,还有一对小鹿在主雕的脚下,体现了人、动物和自然的和谐相处数学老师提议让同学们利用所学知识测量该雕塑的高度班长李华同学在地面的点处垂直竖立一根高度为米的标杆,再沿着方向前进米到达点处,李华此时发现自己的眼睛、标杆顶端和雕塑的最高点恰好在同一直线上张明同学拿来无人机在点正上方米处的点处测得点的俯角为,已知李华眼睛到地面的高度为米请根据测量数据计算该雕塑的高度约为多少结果精确到,,, 21.如图是我国古代提水的器具桔槔,创造于春秋时期它选择大小两根竹竿,大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上大竹竿末端悬挂一个重物,前端连接小竹竿小竹竿始终与地面垂直,小竹竿上悬挂水桶其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力,从而提水出井当放松大竹竿时,小竹竿下降,水桶就会回到井里如图是桔槔的示意图,大竹竿米,为的中点,支架垂直地面. 当水桶在井里时,,求此时支点到小竹竿的距离结果精确到; 如图,当水桶提到井口时,大竹竿旋转至的位置,小竹竿至的位置,此时,求点上升的高度结果精确到. 参考数据:,,, 22.在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即利用上述结论可以求解如下题目如: 在中,若,,,求. 解:在中, . 问题解决:如图,甲船以每小时海里的速度向正北方航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,且乙船从处按北偏东方向匀速直线航行,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里. 判断的形状,并给出证明. 乙船每小时航行多少海里? 23.在学习苏科版九下锐角三角函数一章时,小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究. 初步尝试:我们知道: , ,发现结论: 填“”或“” 实践探究:如图,在中,,,,求的值小明想构造包含的直角三角形:延长至,使得,连接,所以得到,即转化为求的正切值请按小明的思路进行余下的求解: 拓展延伸:如图,在中,,,. 求的值. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$第 1页，共 9页 2024-2025 学年北师大九年级下册数学第一章直角三角形边与角的关 系--三角函数的应用解答专项 1.如图，��是△ ���的中线，���� = 15，���� = 2 2 ，�� = 2． (1)求��的长；(2)求∠���的正弦值． 2.如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面�、�两个探测点探测到地下�处有金属回声．已知 �、�两点相距 8 米，探测线��，��与地面的夹角分别是 30°和 45°，试确定有金属回声的点�的深度是多 少米？ 3.小明家所在居民楼的对面有一座大厦�� = 74 米，为测量这座居民楼与大厦之间的水平距离��的长度， 小明从自己家的窗户�处测得∠��� = 37°，∠��� = 48°(��平行于地面).求小明家所在居民楼与大厦的距离 ��的长度．(参考数据：���37° = 35，���37° = 3 4，���48° = 7 10，���48° = 11 10 ) 第 2页，共 9页 4.如图，在 10 × 6 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，线段��、线段��的端点均在小正方形的 顶点上． (1)在图中以��为边画�� △ ���，点�在小正方形的格点上，使∠��� = 90°，且 tan∠��� = 23； (2)在(1)的条件下，在图中画以��为边且面积为 3 的△ ���，点�在小正方形的格点上，使∠��� = 45°， 连接��，直接写出线段��的长． 5.如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形����)靠墙摆放，高�� = 80��，宽�� = 48��，小强身 高 166��，下半身�� = 100��，洗漱时下半身与地面成80°(∠��� = 80°)，身体前倾成 125°(∠��� = 125°)， 脚与洗漱台距离�� = 15��(点�，�，�，�在同一直线上). (���80° ≈ 0.17，���80° ≈ 0.98， 2 ≈ 1.414) (1)此时小强头部�点与地面��相距多少？ (2)小强希望他的头部�恰好在洗漱盆��的中点�的正上方，他应向前或后退多少？ 第 3页，共 9页 6.如图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知点�，�，�，�在同一直 线上，�� = �� = ��，测得�� = 1.72�，�� = 2�，∠� = 55°． (1)连接��，则∠��� = ______°； (2)求雕塑的高(即点�到直线��的距离). (精确到 0.01�，参考数据：���55° ≈ 0.82，���55° ≈ 0.57，���55° ≈ 1.43) 7.图 1 是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形����表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖��� 可以绕点�逆时针方向旋转，当旋转角为 60°时，箱盖���落在��′�′的位置(如图 2 所示).已知�� = 96 厘米，�� = 28 厘米，�� = 42 厘米． (1)求点�′到��的距离； (2)求�、�′两点的距离． 8.如图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏��可以绕�点旋转一定角度.如图②，研究表明：当眼睛� 与显示屏顶端�在同一水平线上，且望向屏幕中心�(点�为��中点)的视线��与水平线��的夹角∠� = 18°， 显示屏顶端�与底座�的连线��与水平线��垂直时，观看屏幕最舒适，此时∠��� = 30°，∠��� = 90°，�� = 36��．(1)求眼睛�与显示屏顶端�的水平距离��；(2)求显示屏顶端�与底座�的距离��. (结果精确到 1��) (参考数据：���18° ≈ 0.3，���18° ≈ 0.9， 2 ≈ 1.4， 3 ≈ 1.7) 第 4页，共 9页 9.材料阅读： 光从空气进入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做 光的折射.我们把入射角�的正弦值和折射角�的正弦值之比 称为折射率(�)，即� = ����sin�，已知光线从空气进入水中时的 折射率为 4 3． 问题解答： 如图，矩形����为盛满水的水槽、一束光线从点�射向水面上的点�，折射后照到水槽底部的点�，测得 ∠��� = 37°，�� = 12��.若�，�，�三点在同一条直线上，请依据相关材料求��的长. (结果精确到 0.1��； 参考数据：���37° ≈ 35，���37° ≈ 4 5，���37° ≈ 3 4 ) 10.如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶�与坝脚�之间的距离，把一根长为 6 米的竹竿��斜靠在石坝旁， 量出竿长 1 米处距离地面的高度为 0.6 米，又测得石坝与地面的倾斜角�为 72°.求石坝坝顶�与坝脚�之间的 距离．(结果精确到 0.1�，参考数据：���72° ≈ 0.95，���72° ≈ 0.31，���72° ≈ 3.08) 11.小华同学在家看电视的时候因误触遥控器导致换台，但遥控器并没有对准电视.小华 想起物理课上学习过的光的反射，并猜想是遥控器的红外线信号在墙壁等其他光滑的地 方发生反射然后被信号传感器接收导致换台，小华在好奇心驱使下验证了自己的设想. 如图所示，��为竖直的平面镜(��足够长)，��的长度为信号传感器可接收信号的水平 宽度，�� ⊥ ��，小华坐在距离��距离为�的点�，然后小华用遥控器水平对着平面镜�� 持续按按钮，发现当� ≤ ∠��� ≤ �时电视可以换台(假设红外线在�点反射)，求信号 传感器可接收信号的水平范围��. (结果含�，�，�) 第 5页，共 9页 12.如图，在某机场的地面雷达观测站�，观测到空中点�处的一架飞机的仰角∠���是 45°，飞机沿水平线�� 方向飞行到达点�处，此时观测到飞机的仰角∠���是 60°，飞机继续沿与水平线��成 15°角的方向爬升到 点�处，此时观测到飞机的仰角∠���是 60°.已知�� = 9 2千米. (点�，�，�，�，�，�在同一竖直平面 内) (1)求�，�两点之间的距离；(结果保留根号) (2)若飞机的飞行速度保持 9 千米/分钟，求飞机从点�飞行到点�所用的时间是多少分钟？(结果保留根号) 13.火灾是一种常见而严重的灾害，它不仅威胁着人们的生命财产安全，还可能对社会的稳定和发展造成严 重影响.在面对火灾危险时，消防车被视为消防救援的主要装备之一，它们携带着各种灭火设备和救援工具， 是保护公众安全、扑灭火灾的重要力量.图 1 是某种消防车云梯，图 2 是其侧面示意图，点�，�，�在同一 水平线上，点�，�，�在同一直线上，��为云梯的液压杆，��可绕着点�旋转，其中套管��的长度不变， ��可伸缩，在某种工作状态下液压杆�� = 5�，∠��� = 53°，∠��� = 30°.求��的长. (参考数据：���53° ≈ 45， ���53° ≈ 35，���53° ≈ 4 3 ) 14.一天中午，小旭和小华两人想利用所学知识测量当地一座古塔的高度��(古 塔的底部不可到达)，如图所示，小旭先在塔影子的顶端�处竖立长为 1.5�的 标杆��，测得标杆的影长��为 2�，此时小华在标杆的影子顶端�处放置测角 仪��，测得塔顶端�的仰角为 35°，已知测角仪��的高度为 1.5�，�� ⊥ ��， �� ⊥ ��，�� ⊥ ��，点�，�，�在同一水平直线上，求该古塔的高度��. (参 考数据：���35° ≈ 0.70，���35° ≈ 0.57，���35° ≈ 0.82) 第 6页，共 9页 15.天坑是喀斯特地貌中的一种，它的形成是因为地下水不断侵蚀固体基岩，使溶洞顶部发生坍塌，最终在 地表形成一个巨大的深坑，这个深坑被称作天坑.如图 1 所示是位于兴文石海具有天下第一漏斗美称的天坑 最深处达 208 米. ��是天坑坑洞洞口最大口径.现在同一平面内的天坑边沿再另取两点�，�，使��/ ​ /��. 测量示意图如图 2 所示，在点�处测得∠��� = 90°，∠��� = 120°，在点�处测得∠��� = 45°，�� = 120�， 求天坑坑洞洞口最大口径��的长度. (结果精确到 1�；参考数据： 2 ≈ 1.414, 3 ≈ 1.732) 16.某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡��的坡度� = 1: 3，�� = 6�，在� 处测得电线塔��顶部�的仰角为 45°，在�处测得电线塔��顶部�的仰角为 60°． (1)求点�离水平地面的高度��． (2)求电线塔��的高度(结果保留根号)． 17.如图，从�地到�地规划修建一条东西方向的笔直公路��，勘测人员发现公路��要穿过一座山，施工队 原计划从�处开凿隧道通到�处，已知�，�，�，�四点在同一直线上，在�处的正南方取一观测点�，观测 到点�在北偏西 53°方向上，观测点�到点�的距离为 3000�. (参考数据：���37° ≈ 0.60，���37° ≈ 0.80， ���37° ≈ 0.75，最后结果保留整数) (1)求隧道两端��间的距离； (2)原计划从�向�开挖，为了加快施工进度，实际从�，�两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了 20%，比原计划提前 4 天完工.问原计划单向开挖每天挖多少�？ 第 7页，共 9页 18.如图，甲、乙两同学准备测量学校旗杆��的高度，甲同学在旗杆左侧的教学楼��的阳台�处测得旗杆顶 点�的仰角为45∘，且阳台的高度��为 4 米，乙同学在旗杆右侧的空地上�点处测得旗杆顶点�的仰角为 22°(点�，�，�在同一条直线上)，已知�� = 31 米，求旗杆��的高(精确到 1 米，参考数据：sin22° ≈ 0.37， cos22° ≈ 0.93，tan22∘ ≈ 0.40， 2 ≈ 1.41). 19.春暖花开，小明和家人一起去放风筝，小明将风筝放在与地面夹角为 30°(∠��� = 30°)的山坡�处，并站 在�处，视线��恰好与地面��平行，起风后小明从�处沿坡面开始往下跑 10 米至坡底�处(�� = 10 米)， 并继续沿平地向前跑 20 米到达�处(�� = 20 米)后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线 齐平处测得风筝的仰角是 45°，此时风筝恰好升高到起飞时�点的正上方�处.已知小明视线距地面高度�� = �� = 1.5 米，图中所有点均在同一平面，点�在��上，��、��、��均与地面��垂直，求风筝上升的垂直 距离��. (结果保留根号) 20.某校组织初三年级师生春游，第一站是太原市晋阳湖公园，最吸引同学们注意的是公园内名称为“晋泉 之声”的雕塑，主体为一对背靠背的青年男女，还有一对小鹿在主雕的脚下，体现了人、动物和自然的和 谐相处.数学老师提议让同学们利用所学知识测量该雕塑的高度.班长李华同学在地面的点�处垂直竖立一根 高度为 3 米的标杆��，再沿着��方向前进 2 米到达点�处，李华此时发现自己的眼睛�、标杆顶端�和雕塑 的最高点�恰好在同一直线上.张明同学拿来无人机在点�正上方 11 米处的点�处测得点�的俯角为 18°，已 知李华眼睛到地面的高度为 1.5 米.请根据测量数据计算该雕塑的高度约为多少. (结果精确到 0.1�， ���18° = 0.31，���18° ≈ 0.95，���18° = 0.32) 第 8页，共 9页 21.如图 1 是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的 竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿(小竹竿始终与地面垂直)，小竹竿上悬挂水桶.其原理是 通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井.当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井 里.如图 2 是桔槔的示意图，大竹竿�� = 6 米，�为��的中点，支架��垂直地面��． (1)当水桶在井里时，∠��� = 120°，求此时支点�到小竹竿��的距离(结果精确到 0.1�)； (2)如图 3，当水桶提到井口时，大竹竿��旋转至�1�1的位置，小竹竿��至�1�1的位置，此时∠�1�� = 143°， 求点�上升的高度(结果精确到 0.1�)． (参考数据： 3 ≈ 1.73，���37° ≈ 0.6，���37° ≈ 0.8，���37° ≈ 0.75) 22.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ����� = � ���� = � ���� .利用上述结论可以求解如下题 目.如： 在△ ���中，若∠� = 45°，∠� = 30°，� = 6，求�． 解：在△ ���中，∵ ����� = � ���� ∴ � = ��������� = 6���30° ���45∘ = 6×12 2 2 = 3 2． 问题解决：如图，甲船以每小时 15 2海里的速度向正北方航行，当甲船位于�1处时，乙船位于甲船的北偏 西 105°方向的�1处，且乙船从�1处按北偏东 15°方向匀速直线航行，当甲船航行 20 分钟到达�2处时，乙 船航行到甲船的北偏西 120°方向的�2处，此时两船相距 5 2海里． (1)判断△ �1�2�2的形状，并给出证明． (2)乙船每小时航行多少海里？ 第 9页，共 9页 23.在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生 了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道：tan60∘ = ，tan30∘ = ，发现结论：tan� 2tan 12∠�(填“=”或“≠”); (2)实践探究：如图 1，在�� △ ���中，∠� = 90∘，�� = 2，�� = 1，求 tan 12∠�的值;小明想构造包含 1 2∠� 的直角三角形：延长��至�，使得�� = ��，连接��，所以得到∠� = 12∠�，即转化为求∠�的正切值.请按 小明的思路进行余下的求解： (3)拓展延伸：如图 2，在�� △ ���中，∠� = 90∘，�� = 3，tan� = 13．  ①tan2� = ;  ②求 tan3�的值．