2024-2025学年人教版数学九年级上册综合测试卷4

九年级上册综合测试卷4 1、 单选题（共15小题，满分30分，每小题2分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2．将一元二次方程x(-x+2)=3化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是（   ） A．1 B．2 C． D．3 3．将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-m)2+k的形式为（　　） A．y=(x-1)2+3 B．y=(x-1)2+2 C．y=(x-2)2+3 D．y=(x-2)2-1 4．已知点A(-2，b)与点B(a，3)关于原点对称，则a-b的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．下列成语所描述的事件属于必然事件的是（    ） A．画饼充饥 B．缘木求鱼 C．水滴石穿 D．水中捞月 6．若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 7．设A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=-3(x+1)2+4m (m为常数)上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（      ） A．y3<y2<y1 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y1<y2<y3 8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，连接AB、DB、CB、CD，AB⊥BC，BC=8，∠BDC=30°，则AB的长为（    ） A． B． C．8 D．4 9．已知关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别是-1，3，则（   ） A．b=2， c=-3 B．b=-2，c=3 C．b=-2，c=-3 D．b=2，c=3 10．在肥西悬主城区，共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多690辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 11．若函数y＝ax2﹣2x+a的图象与坐标轴只有1个交点，则a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a＞1或a＝0 C．a≥1或a＝0 D．a＞1或a＝0或a＜﹣1 12．如图，点B、C把分成三等分，ED是⊙O的切线，过点B、C分别作半径的垂线段，已知∠E=45°，半径OD=2，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 13．如图，在矩形中，，，连接，将绕点A逆时针旋转得，连接，则 ． A．3 B．4 C．5 D．6 14．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 15．对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 16．如图，将RtABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到，连结A，若∠B=70°，则的度数是 ． 17．如图，是外接圆的直径，，则的度数为 ． 18．如图，与正五边形的边，分别交于点，，则劣弧所对的圆周角的大小为 ． 19．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是 米． 三、解答题（共8小题，满分62分） 20．（6分）解下列一元二次方程. (1)； (2)． 21．（6分）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移，使点移动到点，画出平移后的，并写出点，的坐标； （2）画出关于原点对称的； （3）线段的长度为______． 22．(7分）已知关于x的方程x2-2mx+m2-9=0． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 23．（7分）如图，是的直径，点，在上，于点，于点，． 求证：． 24．（7分）某一种苹果在农贸水果市场的需求量（万斤）、市场供应量（万斤）与市场价格（元/斤）分别满足下列关系：，，当时的市场价格称为市场平衡价格，此时需求量称为平衡需求量． (1)求平衡价格和平衡需求量； (2)若该苹果的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该苹果的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值？ 25．（8分）国家的“双减”政策要求教师注重作业的设计与布置，为了更好落实国家的“双减”政策，某学校七年级为学生设计了丰富多彩的寒假实践作业，作业由两类7项组成，供学生自主选择完成．A类：创作微视频，内容可从以下四方面选择：：一道（类）题的解法研究，：读数学类书籍的心得分享；：魔术与数学；：某个数学知识的探究．B类：创作手抄报，内容可以从以下3个方面选择：：绘制七年级上章节思维导图；：数学家的故事；：数学知识发展史． 同学们可以从以上7项作业中任选一项或两项来完成，请回答下列问题： (1)小明准备随机选择一项去完成，则他选择：魔术与数学的概率为 ； (2)小丽准备从A、B两类中分别随机选择一项完成，求小丽最终选择完成和两项作业的概率． 26．（9分）如图，在△ABC中，，点D在BC上，，过点D作，垂足为E，经过A，B，D三点． (1)求证：是的直径； (2)判断与的位置关系，并加以证明； (3)若的半径为6，，求的长． 27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． (3)如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册综合测试卷4 答案详解 1．B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形． 故选B． 2．C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程转化为一般形式，进行判断即可． 【详解】解：将原方程转化为一般形式为：，二次项系数为1，符合题意， 一次项系数为：， 故选：C． 3．B 【分析】利用配方法，把一般式转化为顶点式即可． 【详解】解：将二次函数配方为的形式为， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的一般式，顶点式，正确利用配方法是解答本题的关键，配方法方法是，先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式． 4．B 【分析】根据中心对称的性质求解． 【详解】根据中心对称的性质，，， 解得， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键． 5．C 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断． 【详解】解：A、画饼充饥，是不可能事件，故A不符合题意； B、缘木求鱼，是不可能事件，故D不符合题意； C、水滴石穿，是必然事件，故C符合题意； D、水中捞月，是不可能事件，故B不符合题意； 故选：C． 6．C 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 解得，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 7．A 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，熟练的掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据抛物线的性质得：抛物线(为常数)的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】抛物线 (为常数) 的开口向下，对称轴为直线， 而离直线最近，最大， 离直线最远，最小， ， 故选：A． 8．A 【分析】此题考查了同弧所对的圆周角相等，含角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键得到． 连接，首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接，    ∵， ∴ ∵， ∴ ∴． 故选：A． 9．C 【分析】本题主要考查一元二次方程的性质，根据跟与系数的关系进行解答即可． 【详解】解： ∴， 故选：C 10．A 【分析】根据该公司第一个月及第三个月投入单车的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得： ， 故选A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．D 【分析】当a=0时，y=﹣2x，该函数与x轴只有一个交点；当a≠0时，△=4﹣4a2＜0时，图象与坐标轴只有1个交点，解得：a＞1或a＜﹣1，即可求解． 【详解】当a=0时，y=﹣2x，该函数与x轴只有一个交点； 当a≠0时，△=4﹣4a2＜0时，图象与坐标轴只有1个交点，解得：a＞1或a＜﹣1． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，注意题设是函数而不是二次函数，为此，要注意分类求解． 12．C 【详解】分析：根据题意可以求出各个扇形圆心角的度数，然后根据题目中的条件求出阴影部分的面积，本题得以解决． 详解：∵点B、C把弧线AD分成三等分，ED是⊙O的切线，∠E=45°， ∴∠ODE=90°，∠DOC=45°， ∴∠BOA=∠BOC=∠COD=45°， ∵OD=2， ∴阴影部分的面积是：=. 故选C． 点睛：本题考查扇形面积的计算、切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 13．5 【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理．正确作出辅助线，构造全等三角形求解是解题关键．过点E作于点F，易证，得出，，从而可求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．　 由旋转得：， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5． 14．B 【分析】 根据正六边形的性质以及勾股定理求出，，进而确定点的坐标，再根据旋转分别得出旋转1次、2次、3次、4次、5次所对应点的坐标进而得出规律，由规律可得答案． 【详解】 解：在中，，， ， 点的坐标为， 第1次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为，， 第2次顺时针旋转，点的对应点第三象限，其坐标为， 第3次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为，， 第4次顺时针旋转，点的对应点第一象限，其坐标为， 第5次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为，， ∴整个旋转过程是4次一个循环，且， ∴第2023次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为，， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形，旋转以及勾股定理，掌握正六边形的性质，得出旋转的规律是正确解答的前提． 15．C 【分析】该题主要考查二次函数图象的基本性质及通过图象判断式子的正负，结合图象，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 结合函数图象可得开口向上，，对称轴为，函数图象与轴的交点在轴负半轴，与轴有两个交点等，根据这些基本性质，逐项判断即可得出结果． 【详解】解：根据函数图象可得：开口向上，，对称轴为， ， ，③正确； 函数图象与轴的交点在轴负半轴， ， ∴，①错误； 根据图象可得，函数图象与轴有两个交点， ∴对应方程有两个根， ∴，即，②正确； 当时，， ， ， 即，④正确； 综上可得：②③④正确， 故选：C． 16．25° 【详解】试题分析：在Rt△ABC中，∵∠B=70°， ∴∠BAC=90°﹣70°=20°， ∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C， ∴∠ACA′=90°，∠B′A′C=∠BAC=20°，CA=CA′， ∴△CAA′为等腰直角三角形， ∴∠CA′A=45°， ∴∠B′A′A=∠CA′A﹣∠B′A′C=45°﹣20°=25°． 故答案为25°． 考点：旋转的性质． 17．/度 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，本题根据圆周角定理即可得到，再结合等腰三角形的性质可得结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．54 【分析】此题考查了圆周角定理与正五边形的性质．此题比较简单，注意掌握正五边形内角的求法与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．首先求得正五边形的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， 即， ∴． 故答案为：54． 19．20 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为， 将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，则， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ． 故答案为：20 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）运用因式分解法进行计算即可求解； （2）先去括号，再整理为一般式，最后运用因式分解法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， 因式分解得，， ∴； （2）解：， 去括号得，，整理得，， 因式分解得，， ∴． 21．（1）如图见解析，，；（2）如图见解析；（3）． 【分析】（1）作出A、C的对应点A1、C1即可解决问题； （2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可； （3）利用两点之间的距离公式计算即可． 【详解】（1）平移后的△A1B1C1如图所示，点A1（4，2），C1（3，-1）． （2）△ABC关于原点O对称的△A2B2C2如图所示． （3）AA1=． 【点睛】本题考查了平移变换、旋转变换、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题，属于中考常考题型． 22．(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ∴， 解得 【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键． 23．证明见解析． 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，连接，，证明，可得，再根据弧、弦、圆心角的关系即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 24．(1)平衡价格为5元斤，平衡需求量为万斤 (2)当时，市场销售额取得最大值为万元 【分析】（1）令，再解方程可得的值，把的值代入或，可得平衡需求量； （2）分和两种情况列出函数解析式，根据二次函数的性质求出最大值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ， 答：平衡价格为5元斤，平衡需求量为万斤； （2）令，，则， 解得：， 当时，， ， ，对称轴为直线， 当时，随着的增大而增大． 当时，最大， 当时，， ， ，对称轴为直线， 当时，最大， 综上，当时，市场销售额取得最大值为万元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，正确得出函数关系式是解题关键． 25．(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据树状图法求概率即可． 【详解】（1）解：寒假实践作业两类共7项， 他选择：魔术与数学的概率为， 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，恰好选中最终选择完成和两项作业的结果有1种， ∴选择完成和两项作业的概率为． 【点睛】此题考查了概率公式求概率，树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 26．(1)见解析； (2)相切，理由见解析； (3) 【分析】（1）连接，由，利用等腰三角形三线合一性质得到，利用的圆周角所对的弦为直径即可得证； （2）与圆O相切，理由为：连接，由O、D分别为中点，利用中位线定理得到与平行，利用两直线平行内错角相等得到为直角，再由为半径，即可得证； （3）由，且，得到三角形为等边三角形，设与交于点F，连接为三角形中位线，求出的长，即可确定出的长． 【详解】（1）证明：连接， ∴为圆O的直径； （2）与圆O相切， 理由为：连接， ∵分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ， ∵为圆的半径， ∴与圆O相切； （3）解：， 为等边三角形， 连接， ∵为圆O的直径， ∵D为中点， ∴E为中点，即为中位线， 在中，根据勾股定理得： ． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查直线与圆相切的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 27．(1) (2) (3)最大值为， 【分析】利用待定系数法求解即可； 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，结合轴对称的性质得此时的周长最小，得点，结合抛物线解析式求得点H，利用待定系数法求得的解析式为，令即可求得点G； 结合题意可得是等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线的解析式为，设与交于点C，则和是等腰直角三角形，则有，设，则，即可求得和，利用二次函数的性质即可求得的最大值，即此时的点P． 【详解】（1）解：根据题得，，解得， 则抛物线的解析式为； （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，此时的周长最小，如下图： 则， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∵， 设的直线解析式为，则，解得 则的解析式为， 当时，，解得， ∴； （3）∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 设与交于点C，如图， ∵轴于点N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴ ∵， ∴当时，的最大值为，此时． 【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，轴对称的性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质及其上对应点的几何意义． 学科网（北京）股份有限公司 $$