2024-2025学年冀教版九年级数学下册期中评估测试卷

第二学期期中评估测试卷 (满分:120分　时间:120分钟) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.一条开口向上的抛物线的顶点坐标是(-1,2),则它对应的二次函数有(　　) A.最大值1 B.最大值-1 C.最小值2 D.最小值-2 2.抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图,AB是☉O的切线,A为切点,连接OA,OB.若∠B=35°,则∠AOB的度数为 (　　) A.65° B.55° C.45° D.35° 4.如图,二次函数y=x2-4x+3的图像与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,则△ABC的面积为(　　) A.6 B.3 C.4.5 D.5 5.如图,在平面直角坐标系中,已知P(6,8),M为OP中点,以P为圆心,6为半径作☉P,则下列结论:①点O在☉P外;②点M在☉P上;③x轴与☉P相离;④y轴与☉P相切.其中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.若方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1,那么二次函数y=ax2+bx+c的图像向下平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,平移后新抛物线的对称轴是 (　　) A.直线x=-3 B.直线x=-2 C.直线x=-1 D.直线x=1 7.《测圆海镜》卷中记载:“假令有圆城一所,不知周径.或问甲、乙二人同立于巽地,乙西行四十八步而止,甲北行九十步,望乙与城参相直,问径几何.”意思是:如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,已知AC=48步,BC=90步,AB与☉O相切于点D,CE,CF分别与☉O相切于点E,F,求☉O的半径.根据题意,☉O的半径是(　　) A.100步 B.120步 C.140步 D.160步 8.一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图像可能是 (　　) A B C D 9.如图,已知△ABC的内切圆☉O与各边分别相切于点D,E,F,那么点O是△DEF的(　　) A.三条中线的交点 B.三条高线的交点 C.三边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 10.如图,已知PA是☉O的切线,A为切点,PO与☉O相交于B点,B为OP的中点,C为☉O上一点,AC∥OP,则∠PAC+∠POC= (　　) A.255° B.285° C.280° D.270° 11.(2024乐山中考)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是 (　　) A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 12.(2024齐齐哈尔中考)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=12,动点E,F同时从点A出发,分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动,且速度大小相同,当点E停止运动时,点F也随之停止运动,连接EF,以EF为边向下作正方形EFGH,设点E运动的路程为x,正方形EFGH和等腰直角三角形ABC重合部分的面积为y.下列图像能反映y与x之间函数关系的是 (　　) A B C D 二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分) 13.已知二次函数y=ax2+bx-2(a≠0)的图像的对称轴在y轴的左侧,请写出满足条件的一组a,b的值.这组值可以是　　　　　.  14.如图,已知坐标平面上有一顶点为A的抛物线,A点坐标为(-3,0),若此抛物线又与直线y=2交于B,C两点,且△ABC为正三角形,则可求得此抛物线与y轴的交点坐标为　　　　.  15.如图,在☉O中,AB为直径,BD为弦,C为的中点,以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E,连接AC,CD. (1)若∠A=30°,AB=6,则的长是　　　　(结果保留π).  (2)若=,则=　　　　.  16.如图,在△ABC中,AB=AC=10,D是边BC上一动点(不与点B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交线段AC于点E,且cos α=. (1)若BD=8,则CE的长度是　　　　.  (2)线段CE的取值范围是　　　　.  三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(6分)如图,现打算用60 m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD(含隔离栏EF),菜园的一面靠墙MN(39 m)(篱笆的宽度忽略不计). (1)菜园面积可能为252 m2吗?若可能,求边AB的长;若不可能,请说明理由. (2)因场地限制,菜园的宽度AB不能超过8 m,求该菜园面积的最大值. 18.(8分)如图,已知AB是☉O的直径,直线BC与☉O相切于点B,过点A作AD∥OC交☉O于点D,连接CD. (1)求证:CD是☉O的切线. (2)若AD=4,直径AB=12,求线段BC的长. 19.(8分)如图,二次函数y=ax2+bx的图像经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值. (2)C是该二次函数图像上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值. 20.(8分)如图,CD是☉O的弦,AB是直径,连接AC,AD,OD,其中AC=CD,DA平分∠CDO,过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E. (1)求证:BE是☉O的切线. (2)若AB=12,求图中阴影部分的周长之和. 21.(9分)(2024烟台中考)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售,根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元,设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元. (1)求y与x之间的函数关系式.每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元? (2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12 160元,请问:这天售出了多少辆轮椅? 22.(10分)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,☉O与AB相交于点C,与AO相交于点E,连接CE,已知∠AOC=2∠ACE. (1)求证:AB为☉O的切线. (2)若AO=20,BO=15,求CE的长. 23.(11分)(2024青海中考)在如图所示的平面直角坐标系中,有一斜坡OA,从点O处抛出一个小球,落到点A处.小球在空中所经过的路线是抛物线y=-x2+bx的一部分. (1)求抛物线的表达式. (2)求抛物线最高点的坐标. (3)斜坡上点B处有一棵树,B是OA的三等分点且OB<BA,小球恰好越过树的顶端C,求这棵树的高度. 24.(12分)(2024凉山州中考)如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2相交于A(-2,0),B(3,m)两点,与x轴相交于另一点C. (1)求抛物线的表达式. (2)P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A,B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB于点E,当PE=2ED时,求点P的坐标. (3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 【详解答案】 1.C　解析:∵一条开口向上的抛物线,顶点坐标为(-1,2),∴该二次函数有最小值2.故选C. 2.A　解析:∵y=x2-2x+m2+2=(x-1)2+(m2+1),∴顶点坐标为(1,m2+1).∵1>0,m2+1>0,∴顶点在第一象限.故选A. 3.B　解析:∵AB是☉O的切线,∴OA⊥AB.∴∠OAB=90°.∴∠AOB=90°-∠B=55°.故选B. 4.B　解析:由x2-4x+3=0,得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0).∴AB=2.当x=0时,y=3.∴C(0,3).∴OC=3. ∴S△ABC=×AB×OC=3.故选B. 5.C　解析:过P点作PA⊥x轴于点A,作PB⊥y轴于点B(图略).∵P(6,8),∴PA=8>6,PB=6,得OP==10>6.∵M为OP中点,∴PM=5<6.∴点O在☉P外,点M在☉P内,①正确,②错误;x轴与☉P相离,y轴与☉P相切,③④正确.故选C. 6.A　解析:∵方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1,∴二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点为(-3,0)和(1,0).∴二次函数y=ax2+bx+c的图像的对称轴为直线x==-1.把二次函数y=ax2+bx+c的图像向下平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,平移后新抛物线的对称轴是直线x=-1-2=-3.故选A. 7.B　解析:如图所示,连接OD,OE,OF. ∵CF,CE是☉O的切线,∴OF⊥CF,OE⊥CE.∴∠OFC=∠OEC=90°.∵∠ACB=90°,∴四边形OECF是矩形. ∵OE=OF,∴四边形OECF是正方形.设OE=OF=EC=FC=r步,则BF=FC-BC=(r-90)步,AE=EC-AC=(r-48)步, ∵AB,AE,BF是☉O的切线,∴BD=BF=(r-90)步,AD=AE=(r-48)步. ∵AB==102步,∴AB=AD+BD=102步.∴r-48+r-90=102.∴r=120.故选B. 8.B　解析:A.由抛物线,可知a>0,b<0,c>0,则ac>0;由直线,可知ac>0,b>0,故本选项错误.B.由抛物线,可知a>0,b>0,c>0,则ac>0;由直线,可知,ac>0,b>0,故本选项正确.C.由抛物线,可知a<0,b>0,c>0,则ac<0;由直线,可知ac<0,b<0,故本选项错误.D.由抛物线,可知a<0,b<0,c>0,则ac<0;由直线,可知ac>0,b>0,故本选项错误.故选B. 9.C　解析:∵☉O是△DEF的外接圆,∴点O是△DEF三边的垂直平分线的交点.故选C. 10.D　解析:如图,连接AB,OA.∵PA是☉O的切线,∴OA⊥PA.∴∠OAP=90°.∵B为OP的中点,∴AB=BP=BO. ∴△OAB为等边三角形.∴∠AOP=60°.∵AC∥OP,∴∠AOP=∠OAC=60°.∴△OAC为等边三角形. ∴∠AOC=60°.∴∠PAC+∠POC=90°+60°+60°+60°=270°.故选D. 11.C　解析:∵y=x2-2x=(x-1)2-1,∴图像开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-1).当x=-1时,y=3.∴(-1,3)关于对称轴对称的点的坐标为(3,3),∵当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,∴1≤t-1≤3,解得2≤t≤4.故选C. 12.A　解析:当HG与BC重合时(图略),设AE=x,由题意,可得EF=EH=x,BE=12-x.在Rt△EHB中,由勾股定理,可得BE2=BH2+EH2.+(x)2=(12-x)2.∴x=4(负值舍去).∴当0<x≤4时,y=(x)2=2x2.∵2>0,∴图像为开口向上的抛物线的一部分. 如图,当HG在BC下方时,设AE=x. ∴EF=x,BE=12-x.∵∠AEF=∠B=45°,∠A=∠EOB=90°,∴△FAE∽△EOB.∴=.∴=.∴EO=. ∴当4<x<12时,y=·=x=-x2+12x.∵-1<0,∴图像为开口向下的抛物线的一部分.综上所述,A正确.故选A. 13.a=1,b=1(答案不唯一) 解析:∵二次函数y=ax2+bx-2(a≠0)的图像的对称轴在y轴的左侧,即-<0,∴a,b同号.∴满足条件的一组a,b的值是a=1,b=1(答案不唯一). 14.　解析:∵抛物线顶点A的坐标为(-3,0),∴可设二次函数的表达式为y=a(x+3)2.设B(-3-m,2),C(-3+m,2), m>0.∴BC=2m.如图所示,过点A作AD⊥BC, 则BD=CD=m,AD=2.∵△ABC为正三角形,∴m=2tan 30°=.∵A点坐标为(-3,0),∴C.∵抛物线的表达式为y=a(x+3)2,将点C代入,得 a=2,解得a=.∴y=(x+3)2.当x=0时,y=.∴抛物线与y轴的交点为. 15.(1)2π　(2)　解析:(1)如图1,连接OC,OD.∵C为的中点,∴=. 又∵∠A=30°,∴∠BOC=∠COD=2∠A=60°.∴∠BOD=120°.∵AB=6,∴OB=AB=3.∴=×π×3=2π. 图1　 (2)如图2,连接OC.∵C为的中点,∴=.∴OC⊥BD.∵EC是☉O的切线,∴OC⊥EC.∴EC∥BD.∴=.∵=,∴=,设EB=2a,则AB=6a,BO=3a,EO=EB+BO=5a.∴EC==a=4a,AE=2a+6a=8a. ∴==. 图2 16.(1)　(2)0<CE≤　解析:(1)作AG⊥BC于点G,如图.∵AB=AC,∴BG=CG. ∵∠ADE=∠B=α,∴cos B=cos α==.∴BG=×10=8.∴BC=2BG=16. 设BD=x,则CD=16-x,∵∠ADC=∠B+∠BAD,即α+∠CDE=∠B+∠BAD.∴∠CDE=∠BAD,而∠B=∠C. ∴△ABD∽△DCE.∴=,即=.∴CE=-x2+x,当x=8时,CE=.(2)CE=-x2+x=-(x-8)2+,故当x=8时,CE最大,最大值为,当x=0时,CE=0.∵D是边BC上一动点(不与点B,C重合),∴0<CE≤. 17.解:(1)可能.设AB=x m,则BC=(60-3x)m,依题意,得 x=252, 即x2-20x+84=0, 解得x1=6,x2=14. 当x1=6时,60-3x=42>39,舍去, 当x2=14时,60-3x=18<39,成立. 答:花园面积可能是252 m2,此时边AB的长为14 m. (2)设AB=x m,则BC=(60-3x)m,依题意,得 S=x(60-3x)=-3x2+60x=-3(x-10)2+300. ∵-3<0, ∴当x<10时,y随x的增大而增大. ∵x≤8, ∴当x=8时,y最大,最大为288. 答:该菜园面积的最大值为288 m2. 18.(1)证明:连接OD,如图. ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠OAD. ∵AD∥CO, ∴∠COD=∠ODA,∠COB=∠OAD. ∴∠COD=∠COB. ∵OD=OB,OC=OC, ∴△ODC≌△OBC(SAS). ∴∠ODC=∠OBC. ∵CB是☉O的切线且OB为半径, ∴∠OBC=90°. ∴∠ODC=90°. ∴OD⊥CD. 又∵CD经过半径OD的外端点D, ∴CD为☉O的切线. (2)解:连接BD,如图. ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.在Rt△ADB中,BD===8. ∵∠ADB=∠OBC=90°,且∠BAD=∠COB, ∴△ADB∽△OBC. ∴=,即=, ∴BC=12. 19.解:(1)抛物线为y=ax2+bx,将点A(2,4),B(6,0)代入,得解得 (2)如图,过点A作x轴的垂线,垂足为D,可知其坐标为(2,0),连接CD,过点C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F. ∵S△OAD=OD·AD=×2×4=4,S△ACD=AD·CE=×4×(x-2)=2x-4,S△BCD=BD·CF=×4×=-x2+6x, ∴S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x. ∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2<x<6).∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,∴当x=4时,四边形OACB的面积有最大值,且最大值为16. 20.(1)证明:∵AO=OD, ∴∠OAD=∠ODA. ∵DA平分∠CDO, ∴∠CDA=∠ODA. ∴∠OAD=∠CDA. ∴CD∥AB. ∵BE⊥CD,∴∠E=90°. ∴∠ABE=90°. ∴BE⊥AB. ∴BE是☉O的切线. (2)解:如图,连接BD,OC. ∵AC=CD, ∴∠CAD=∠CDA. ∵∠CDA=∠OAD, ∴∠CAD=∠CDA=∠OAD. ∴∠COD=∠COA=∠BOD=180°×=60°. ∴△BOD,△AOC都是等边三角形. ∴AC=BD=AO=6,===2π. ∵∠OBE=90°, ∴∠DBE=30°. ∵∠E=90°, ∴DE=BD=3,BE=BD·cos∠DBE=3. ∴图中阴影部分的周长之和为2π+6+3+3+2π=9+3+4π. 21.解:(1)由题意,得 y=(200-x)=-x2+20x+12 000=-(x-25)2+12 250. ∵每辆轮椅的利润不低于180元, ∴200-x≥180. ∴x≤20. ∵当x<25时,y随x的增大而增大, ∴当x=20时,每天的利润最大,为-+12 250=12 240(元). ∴y与x之间的函数关系式为y=-+12 250; 每辆轮椅降价20元时,每天的利润最大,为12 240元. (2)当y=12 160时,-x2+20x+12 000=12 160, 解得x1=10,x2=40(不合题意,舍去). ∴60+×4=64(辆). 答:这天售出了64辆轮椅. 22.(1)证明:∵OC=OE, ∴∠OCE=∠OEC. ∵∠AOC=2∠ACE, ∴∠OCA=∠OCE+∠ACE=(2∠OCE+∠AOC)=×180°=90°. ∴OC⊥AB.∴AB为☉O的切线. (2)解:如图,过点E作EH⊥AC于点H. ∵AO=20,BO=15, ∴AB===25. ∵OA·OB=AB·OC, 即×20×15=×25×OC, ∴OC=12, ∴AE=OA-OE=20-12=8. ∵EH⊥AC,OC⊥AC, ∴∠AHE=∠ACO=90°. ∴EH∥OC. ∴△AEH∽△AOC. ∴=,即=. ∴EH=. ∵BC===9, ∴AC=AB-BC=25-9=16. ∵AH===, ∴CH=AC-AH=16-=. ∴CE===. 23.解:(1)∵点A是抛物线y=-x2+bx上的一点, 把点A代入y=-x2+bx中,得-32+3b=, 解得b=. ∴抛物线的表达式为y=-x2+x. (2)由(1),得y=-x2+x=-. ∴抛物线最高点的坐标为. (3)如图,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别是E,D, ∵∠BOD=∠AOE, ∠BDO=∠AEO=90°, ∴△OBD∽△OAE. ∴==. 又∵B是OA的三等分点, 且OB<BA, ∴=. ∵A, ∴AE=,OE=3. ∴==. 解得BD=. ∵==, 解得OD=1. ∴点C的横坐标为1. 将x=1代入y=-x2+x中,得y=-12+×1=. ∴点C的坐标为. ∴CD=. ∴CB=CD-BD==2. 答:这棵树的高度为2. 24.解:(1)把B(3,m)代入y=x+2,得m=3+2=5. ∴B(3,5). 把A(-2,0),B(3,5)代入y=-x2+bx+c,得 解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+8. (2)设P(t,-t2+2t+8),则E(t,t+2),D(t,0). ∵PE=2ED, ∴-t2+2t+8-(t+2)=2(t+2). 解得t=1或t=-2(此时点P不在直线AB上方,舍去). ∴点P的坐标为(1,9). (3)抛物线上存在点M,使△ABM的面积等于△ABC面积的一半.点M的坐标为或或或. 解法提示:过点M作MK∥y轴交直线AB于点K,过点B作BE⊥MK,延长MK交x轴于点F,如图. 在y=-x2+2x+8中,令y=0得0=-x2+2x+8, 解得x=-2或x=4. ∴A(-2,0),C(4,0).∴AC=6. ∵B(3,5), ∴S△ABC=×6×5=15. 设M(m,-m2+2 m+8),则K(m,m+2). ∴MK== . ∴S△ABM=MK· =×5 =. ∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半, ∴=×15. ∴=3. ∴-m2+m+6=3或-m2+m+6=-3. 解得m=或m=. ∴M的坐标为或或或. 学科网（北京）股份有限公司 $$