24.2.2 切线长定理及三角形的内切圆 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

切线长定理与内切圆 1 壹 贰 目标 掌握切线长定理，并会利用定理进行计算和证明 理解三角形的内切圆及其有关概念和内心的性质 2 切线长定理 壹 3 1、过圆内的一点能否做切线，圆上呢？圆外呢，如何做？ P O B A O. P A B P O B A 结论 切线长：切线上一点到切点之间的线段的长度 P A O 区别：切线是直线，不能度量；而切线长为线段 4 证明 O. P 已知：如图，PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA、PB是☉O的两条切线， ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP. ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. A B ∴ OA⊥PA，OB⊥PB. 5 定理 B P O A 切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. ∵PA、PB分别切☉O于A、B ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB 格式 6 4．如图，PA，PB分别与☉O相切于点A，B，☉O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA长为8，则△PEF的周长是_______ 　16　 114页第4　 7 三角形的内切圆 贰 8 1、小明在一家木料厂上班，他想对三角形木板裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ O O O O 最大的圆与三角形三边都相切 9 作图 已知：△ABC。求作：和△ABC的各边都相切的圆. M N D 作法： 1.作∠ABC和∠ACB的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC，垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. A B C 10 总结 1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 性质 B A C O 三角形的内心到三角形三边的距离相等. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点. 11 名称 作图 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边垂直平分线的交点 1.OA=OB=OC； 2.外心不一定在三角形的内部． 三角形三条 角平分线的 交点 1.内心到三边的距离相等； 2.内心在三角形内部． A B O A B C I 12 半径 3.△ABC的周长为l，面积为S，求内切圆半径r(用l，S表示)． 解：连接OA，OB，OC， ∴S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA 又∵S△OAB＝AB·r，S△OBC＝ ，S△OCA＝  ∴S＝S△ABC＝AB·r＋BC·r＋AC·r ＝(AB＋BC＋AC)·r＝  ∴r＝ BC·r　 AC·r　 lr 113页第3　 13 113页第3　 解：如图，☉O是Rt△ABC中的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，连接OD，OE，OF， 则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， 易证四边形OECF是　 　形，  根据切线长定理，AD＝AF＝b－r， BD＝BE＝　 　，  AB＝c＝AD＋BD＝　 　，  所以r＝ 　．  　b－r＋a－r　 　a－r　 　正方　 总结 r= 14 课堂练习 叁 15 　7cm　 5．【如图，△ABC的内切圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF，BD，CE的长． 解：根据切线长定理，设AE＝AF＝x cm， BF＝BD＝(9－x)cm，CE＝CD＝(13－x)cm． 根据题意，得9－x＋13－x＝14，解得x＝4， 故AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm． 114页第10、5　 10．如图，PA，PB分别切☉O于点A，B，并与☉O的切线DC分别相交于点D，C．已知△PCD的周长等于14 cm，则PA的长为_______  16 9．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆☉O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G． (1)求证：DG∥CA； (2)若DE＝4，BE＝5，AD＝6，求BI的长． 115页第9　 (1)证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7， ∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∠ADF， ∵∠ADF＋∠ADC＝180°， ∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥CA． 17 (2)解：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6， ∵∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6， 即∠4＝∠DAI，∴AD＝DI． ∵AD＝6，∴DI＝6， ∴BI＝DE＋BE－DI＝4＋5－6＝3． 18 $$