专题4.1 指数、指数函数（考点清单，3个考点梳理+15题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期人教B版

专题4.1 指数、指数函数 【清单01】根式 (1)n次方根的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，n＞1)． ②＝ 【方法点拨】 根式化简或求值的注意点：解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 【清单02】有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． 【方法点拨】 指数幂运算的一般原则： (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 【清单03】指数函数 1.指数函数的图象和性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝ 当x>0时，恒有y>1； 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 【考点题型一】根式的化简与求值 【例1】（24-25高一上·湖南常德·期中）求值： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3)3 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】利用根式与分数指数幂的运算性质即可对（1）（2）（3）进行求解． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）当时，化简： . 【答案】 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】根据将根式化简、去绝对值计算即可得出结果. 【详解】由可得. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【答案】4 【知识点】根式的化简求值 【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 【变式1-3】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中） . 【答案】 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】利用分数指数幂和根式运算法则得到答案. 【详解】. 故答案为： 【变式1-4】（24-25高一上·福建漳州·期中）化简求值： (1) (2) 【答案】(1)； (2)； 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则，即可得到答案； （2）根据幂的运算法则，即可得到答案； （3）由完全平方和公式，即可得到答案. 【详解】（1）原式； （2）原式. 【考点题型二】指数幂的化简与求值 【例2】（24-25高一上·山西·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）32；（2） 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据指数的运算即可求出答案； （2）通过，及即可求结果. 【详解】（1）原式； （2）由， 因为，所以，， 所以. 故. 【变式2-1】（24-25高一上·北京·期中） . 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】利用有理数指数幂的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 【变式2-2】（24-25高一上·浙江·期中）计算： . 【答案】/0.5 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 【变式2-3】64．（24-25高一上·浙江·期中）化简求值（需要写出计算过程）． (1)已知，求的值； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）两边同时平方即求解即可； （2）由指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）由题意，得  则． 所以. （2）原式． 【变式2-4】（24-25高一上·福建福州·期中）（1）计算. （2）已知，求的最小值. 【答案】（1），（2） 【知识点】指数幂的化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，绝对值的定义直接计算即可； （2）利用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1） . （2）由，得，由基本不等式可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【考点题型三】指数函数解析式与求值问题 【例3】（23-24高一上·新疆·阶段练习）已知函数，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值 【分析】直接代入求值即可. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以， 故选：C. 【变式3-1】（23-24高一下·广东湛江·开学考试）若函数（，且）满足，则的值为（　　） A．± B．±3 C． D．3 【答案】C 【知识点】求函数值、指数幂的运算、指数函数的判定与求值 【分析】首先由可求得的值，即可得函数表达式，进一步代入求值即可. 【详解】因为，所以，从而，. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为 ． 【答案】 【知识点】根据函数是指数函数求参数、求指数函数解析式 【分析】（1）根据指数函数的定义求解； （2）把已知点坐标代入求得后，再计算函数值． 【详解】（1）由已知且，解得且，所以的范围是； （2）由已知，，函数式为，时，． 故答案为：；． 【变式3-3】（24-25高一上·北京·期中）已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是 ． 【答案】 【知识点】求指数函数解析式 【分析】利用待定系数法可得解. 【详解】由已知，设，且， 又函数图像过点， 即， 解得， 即， 故答案为：. 【变式3-4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求指数函数解析式 【分析】利用是定义在上的奇函数和时的解析式，求出时的解析式，注意定义在上的奇函数满足. 【详解】当时，，所以， 因为是定义在上的奇函数，故， 综上：函数的解析式为： 故答案为： 【考点题型四】根据指数函数求参数、求值 【例4】（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】指数函数的判定与求值、求指数函数解析式 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得， 所以， 故选：A. 【变式4-1】（22-23高一上·全国·课后作业）若函数为指数函数，则（    ） A．或 B．且 C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可. 【详解】因为函数为指数函数， 则，且，解得， 故选：C 【变式4-2】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】求函数值、指数幂的运算、求指数函数解析式 【分析】先根据函数值求出，再求函数值即可. 【详解】， 故选：A. 【变式4-3】（多选）（23-24高一上·江西新余·期中）若函数是指数函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数的定义求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得或. 故选：AB 【变式4-4】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【知识点】求函数值、根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可. 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 【考点题型五】根据指数函数型图象确定参数范围 【例5】（多选）（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】BD 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误； 对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确； 对于C，由，则，由是增函数，则，故C错误； 对于D，由，，则函数是增函数， 当时，，故D正确. 故选：BD. 【变式5-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以. 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 【变式5-2】（多选）（23-24高一上·河北邯郸·期中）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果. 【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示， 若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以． 当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得． 故选：BC． 【变式5-3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数图象顶点的横坐标的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】由指数函数的图象可知，结合二次函数性质分析求解即可. 【详解】由指数函数的图象可知， 所以二次函数图象顶点的横坐标. 故答案为：. 【变式5-4】（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】先根据指数函数性质得函数过点，再根据题意列不等式，解得结果． 【详解】解：指数函数过点，则函数过点， 若图像不经过第二象限，则， 即． 故答案为：． 【考点题型六】指数型函数图象过定点问题 【例6】（24-25高一上·山西朔州·期中）已知函数（且）过定点，点在一次函数，的图象上，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】指数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由指数函数恒过定点可得，代入可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】因为且，令可得，， 所以该函数过定点； 又点在一次函数的图象上，所以， 因此， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 【变式6-1】（24-25高一上·山西太原·期中）函数（，且的图象必经过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据确定指数型函数图象恒过的定点. 【详解】令，得，代入解析式，得到图象必经过的定点是. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·甘肃庆阳·期中）函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据，即可求解，代入即可得纵坐标. 【详解】令，则，故，因此， 故答案为： 【变式6-3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数且 过定点，则________ 【答案】-2 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数的性质求解. 【详解】当时，即函数恒过， 此时 故答案为： 【变式6-4】（24-25高一上·上海·期中）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒过一定点，则这个点的坐标为 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数恒过定点求解即可. 【详解】当时，解得，代入函数解析式， 有，因为且，解得， 所以函数的图像恒过定点. 故答案为： 【考点题型七】求指数型函数定义域 【例7】（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、求指数（型)函数的定义域 【分析】 函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得. 所以该函数的定义域为. 故选：B. 【变式7-1】（2024高二上·北京·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高一上·天津南开·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的定义域 【分析】求出使式子有意义的的范围． 【详解】由题意，解得且， 故答案为：． 【变式7-3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 【答案】． 【知识点】具体函数的定义域、求指数（型)函数的定义域 【分析】根据指数函数定义域及根号下大于等于0且分母不等于0得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故答案为：. 【变式7-4】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】求指数型复合函数的定义域 【分析】利用指数型函数定义域的求法即可得解. 【详解】（1）对于，有，解得， 故的定义域为； （2）对于，有，即， 故的定义域为. 【考点题型八】求指数型函数值域 【例8】（2024高三·全国·专题练习）设函数，的值域是 ． 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值 【分析】根据分段函数值域的求法来求得正确答案. 【详解】当时，， 当时，， ∴函数的值域为， 另解：作出函数图象如下图所示， 从图象上可以看出函数的值域为. 故答案为： 【变式8-1】（20-21高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【答案】C 【知识点】求指数型复合函数的值域、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案. 【详解】函数（且）的值域为， 又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是 所以有，即 ，解得； 当时，函数在上单调递增，值域是 所以有，即 ，解得. 综上所述，或. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值 【分析】分别讨论和的值域，然后取并集即可求出结果. 【详解】当时，. 当时，. 所以函数值域为. 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值 【分析】根据函数的解析式求得函数的值域. 【详解】当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式8-4】（24-25高一上·上海·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域、奇偶函数对称性的应用 【分析】先求出时函数的取值范围，再由奇函数的对称性即可得出时函数的取值范围，即可得解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 又当时，，所以， 当时，由奇函数的对称性可知， 所以函数的值域为, 故答案为： 【考点题型九】根据值域求参数范围 【例9】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解. 【详解】当时，则， 且，所以， 若函数的值域为，可知当时，则的值域包含， 若，则在内单调递减， 可得，不合题意； 若，则在内单调递增， 可得，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：B. 【变式9-1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可. 【详解】当时，， 当时， ， 因为函数的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 【变式9-2】（多选）（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）函数且，当时，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】分类讨论且是增函数还是减函数，将对应值带入计算即可. 【详解】当时，函数单调递减，，解得 当时，函数单调递增，，解得． 故选：BC． 【变式9-3】（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、求指数函数在区间内的值域、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】先分别求出分段函数在不同区间函数的值域，再结合函数值域为,得出参数范围. 【详解】当, 当, 因为函数的值域为,所以. 故答案为：. 【变式9-4】（2023·全国·高一专题练习）求函数，在上的值域. 【答案】 【分析】，令，再根据二次函数的性质即可得解. 【详解】， 令，函数 在上是单调减函数，∴， 的对称轴为， ∴当时，，即 当时，，即， ∴在上的值域为. 【考点题型十】指数型函数的单调性 【例10】（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函数，则函数（    ） A．是偶函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据定义判断函数的奇偶性，然后根据解析式判断函数的单调性。 【详解】由题意知函数定义域为R，，故函数为偶函数， 当时， 又因为都是增函数， 所以在 上单调递增， 故选：A. 【变式10-1】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）下列函数中，在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据基本初等函数的单调性一一判断即可. 【详解】对于A：因为与在区间上为增函数， 所以在区间上为增函数，故A正确； 对于B：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数， 所以在区间上为增函数，故B正确； 对于C：，所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D：在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 【变式10-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】写出复合过程，根据复合函数单调性同增异减得出结论. 【详解】设，则，外层函数在上单调递增，所以整个函数的单调增区间为内层函数的增区间，而内层函数的增区间为. 故选：C 【变式10-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数的单调性与指数函数、二次函数的单调性判断． 【详解】是增函数，的减区间是， 因此根据同增异减法则得所求复合函数的减区间是. 故选：C． 【变式10-4】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解. 【详解】∵满足对任意，都有成立， ∴在上是减函数，，解得， ∴a的取值范围是. 故选：C． 【考点题型十一】比较大小问题 【例11】（24-25高三上·山西大同·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】因为函数单调递增，所以，故， 又函数单调递减，所以，所以． 故选：A. 【变式11-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性即可比较作答. 【详解】，，故， 由于，故 ，故， 故选：D 【变式11-2】（24-25高一上·北京·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的性质来比较大小.先将化简，再分别比较、、与特殊值、的大小关系，从而确定、、的大小顺序. 【详解】化简的值，. 对于指数函数，因为底数，所以函数单调递增. ，所以，即. 又因为，. 对于，，即. 则. 故选：B. 【变式11-3】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据可判断，根据，即可求解. 【详解】由于，， 故， 又，故， 故选：B 【变式11-4】（多选）（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、指数函数图像应用、由指数（型）的单调性求参数 【分析】 根据的单调性确定，由确定. 【详解】，由图知为减函数，故，所以，故A正确C错误； 由图知，所以，故B错误D正确. 故选：AD 【考点题型十二】指数型函数不等式恒成立问题 【例12】（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数且. (1)若，求函数的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数型复合函数的值域、指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）换元令，可得，结合二次函数即可得最小值； （2）换元令，可得恒成立，结合运算求解. 【详解】（1）若，则， 令， 故原式化为， 若时，可知在上单调递增， 可知在上单调递增，可知； 若时，可知在上单调递减， 可知在上单调递减，可知； 综上所述：， 可知当时，取到最小值为1. （2）因为， 设， 由题意得即恒成立，即恒成立， 且，则，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式12-1（23-24高一下·江苏盐城·期末）设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式的恒成立问题 【分析】分与两类讨论，根据恒成立，得出的结论，从而得解. 【详解】若 当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即， 当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即， 综上，，同理时， 又， 所以，，当且仅当时，取等号 故选：C. 【变式12-2】（2007高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】求已知指数型函数的最值、指数函数最值与不等式的综合问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】分离参数得恒成立，由复合型指数函数的最值得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式可化为. 因为，所以，所以的最大值为. 所以，所以. 故选：C. 【变式12-3】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、指数函数最值与不等式的综合问题、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】由函数的奇偶性求出，不等式变为在上恒成立问题，求出的最大值即可. 【详解】因为，① 得，又和分别为偶函数和奇函数， 所以，② 由①②相加得， 又在上恒成立即在上恒成立， 设，则只需， 易知在上为增函数， ， 所以， 故答案为：. 【变式12-4】（24-25高一上·海南三亚·期中）已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． (1)求的表达式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求指数函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）由函数经过两点，列出方程组，求解即可. （2）利用函数的单调性求解函数的最小值，然后求解不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数的图象经过点, 则，解得， 所以函数. （2）不等式在上恒成立， 则， 令， 因为函数在上是减函数， 所以， 所以. 即实数的取值范围为. 【考点题型十三】解指数型函数不等式 【例13】（2022秋·广东江门·高一校考期中）已知函数是指数函数，且它的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求，，； (3)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式． 【答案】(1) (2)，， (3)作图见解析，． 【分析】设函数，且，把点代入即可求得的值，进而可得函数的解析式． 根据函数的解析式求得、、的值． 画出指数函数的图象，由不等式，可得，由此解得的范围． 【详解】（1）设函数，且， 把点代入可得，求得， 所以函数的解析式为． （2）由（1）可知，所以，，． （3）画出指数函数的图象如下图所示：    所以函数在上单调递增； 由不等式， 可得，解得， 故不等式的解集为． 【变式13-1】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数是定义在上的单调函数，若对，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意，由条件可得，从而求得的值，再由函数的单调性，即可求解不等式. 【详解】因为函数是定义在上的单调函数， 且对，都有，则为常数， 设这个常数是，则，即， 又，即，所以， 因为在上单调，所以方程有唯一解，则， 所以，且在上单调递增，又， 由可得，解得，所以不等式的解集为. 故选：C 【变式13-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据指数函数的单调性得到，由此求解出结果. 【详解】因为，且在上单调递增， 所以，解得， 故答案为：. 【变式13-3】（24-25高一上·贵州·期中）已知函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据可得，再分析函数的单调性求解即可. 【详解】因为，故，解得. 易得为增函数，为增函数， 且当时，，， 故在R上单调递增. 故即，故， 解得. 故答案为： 【变式13-4】（2023·全国·高一专题练习）已知函数且，且的图象过点. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由，求得，从而可得答案； （2）根据在R上单调递增，可得，进而可得答案. 【详解】（1）的图象过点， ， 又 （2）在R上单调递增 . 【考点题型十四】指数型函数最值问题 【例14】（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 【答案】(1)最小值为，最大值为8 (2)6 【知识点】求二次函数的值域或最值、含参指数函数的最值 【分析】（1）根据题意，设，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，令，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果. 【详解】（1）当时，， 设，则，开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以，， 所以在上的最小值为，最大值为8. （2） ， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以，，对称轴. 当，即时，，在上单调递增， 则当时，，解得，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增， 所以时，，解得或（舍去）， 综上，实数的值为6. 【变式14-1】（2021·江苏·高一期中）若指数函数在上的最大值与最小值的和为，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义可得出，然后分、两种情况讨论，分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于实数的方程，解出即可. 【详解】因为函数为指数函数，所以. 当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得或（舍）； 当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得（舍）或（舍）. 综上可知，. 故选：C. 【变式14-2】（22-23高一上·北京·期末）函数在区间上的最小值是，则的值是 . 【答案】或 【知识点】含参指数函数的最值、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】分和两种情况讨论，结合复合函数单调性即可求解. 【详解】令，则，其对称轴为， 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，解得， 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，解得. 综上，所以或. 故答案为：或 【变式14-3】（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）已知函数（且）． (1)当时，解不等式； (2)已知函数在上的最大值与最小值之差为，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据指数函数的最值求参数、含参指数函数的最值、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）代入后求解即可； （2）对在与分类讨论出最大值最小值，作差相减，解出即可得. 【详解】（1），，，即， 解得，故原不等式解集是； （2）①当时，在上单调递增， 则，， 所以，解得或（舍去）； ②当时，在上单调递减， 则，， 所以，解得或（舍去）； 综上所述；或. 【变式14-4】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数的最小值及取得最小值时x的取值； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1)最小值为1，此时； (2)答案见解析； 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、含参指数函数的最值 【分析】（1）将代入解析式可得，利用换元法根据二次函数性质即可求得函数的最小值为1，此时； （2）对参数进行分类讨论，利用二次函数性质即可得出最小值. 【详解】（1）若，则， 令，则， 由二次函数性质可知，当时，， 即时，函数的最小值为1，此时； （2）若，则， 所以， 当时，可知在上单调递增，此时函数的最小值为； 当时，可知在上单调递减，在上单调递增，此时函数的最小值为； 综上可知，当时函数的最小值为；当时，函数的最小值为. 【考点题型十五】指数型函数图象和性质的综合问题 【例15】（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求实数，的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)函数在上为减函数，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）法1：根据求解出的值，并进行检验；法2：根据奇函数定义可得，结合求得的值； （2）计算并将其结果因式分解，根据条件判断出的正负，由此可知的单调性； （3）根据奇偶性将不等式化为，再根据单调性求解出不等式解集. 【详解】（1）法1：函数是定义域为的奇函数， ，即， 又，即， 由①②解得，， 经检验，，符合题意. 法2：函数是定义域为的奇函数， ，即， ，即， ， 又，即， 由①②解得，. （2）函数在上为减函数. 证明如下： 由（1）得函数，任取且， 则， ，，又， ，即， 函数在上为减函数. （3）函数为奇函数， 可化为， 又函数在上为减函数， ，解得：， 原不等式的解集为. 【变式15-1】（2023秋·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知函数（，且）是奇函数，且． (1)求，的值； (2)若对于，不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据函数是奇函数求，再代入，求； （2）利用指数幂的化简，将不等式恒成立转化为，转化为求函数的最小值问题. 【详解】（1）因为函数是奇函数，所以， 即，得， 所以，，得或（舍）， 综上，，； （2）由（1）知，， 则恒成立， ，， 所以，对恒成立， 即恒成立， 设，函数由外层函数和内层函数复合而成， 当，，单调递增，当，单调递增， 所以根据复合函数的单调性可知，函数单调递增，最小值为， 即，则. 【变式15-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)判断并证明的奇偶性. 【答案】(1)定义域为R，值域为 (2)为奇函数，证明见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求指数（型)函数的定义域、求指数型复合函数的值域 【分析】（1）由定义域的定义以及分离常数法结合指数函数性质即可得解； （2）由奇函数定义证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为R.， ，，， 函数的值域为； （2）定义域为R，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 【变式15-3】（24-25高一上·山西晋城·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)若，求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）代入到解析式求解，再根据奇函数性质求解即可； （2）根据奇函数的性质可得分段函数，再求解即可. 【详解】（1）由题意知，所以， 又，故， 因此时，， 当时，，由题意得， 又是定义在上的奇函数，所以. 所以当时，， 又，故， 所以函数的解析式为 （2）当时，， 又，所以，故. 故得 故或， 综上，实数的取值范围为. 【变式15-4】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 【答案】(1)；在R上单调递增； (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数函数解析式、判断指数函数的单调性、含参指数函数的最值 【分析】（1）将代入即可求解，则解析式和单调性可求； （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，， 由于，结合指数函数的性质可知，是R上的单调递增函数； （2），令，因为，则， 令，， 关于对称， 当时，函数在上单调递增，此时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，， 当时，函数在上单调递减，此时，， 综上：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司41 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 指数、指数函数 【清单01】根式 (1)n次方根的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，n＞1)． ②＝ 【方法点拨】 根式化简或求值的注意点：解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 【清单02】有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． 【方法点拨】 指数幂运算的一般原则： (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 【清单03】指数函数 1.指数函数的图象和性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝ 当x>0时，恒有y>1； 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 【考点题型一】根式的化简与求值 【例1】（24-25高一上·湖南常德·期中）求值： (1)； (2) (3)； 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）当时，化简： . 【变式1-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【变式1-3】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中） . 【变式1-4】（24-25高一上·福建漳州·期中）化简求值： (1) (2) 【考点题型二】指数幂的化简与求值 【例2】（24-25高一上·山西·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【变式2-1】（24-25高一上·北京·期中） . 【变式2-2】（24-25高一上·浙江·期中）计算： . 【变式2-3】64．（24-25高一上·浙江·期中）化简求值（需要写出计算过程）． (1)已知，求的值； (2)． 【变式2-4】（24-25高一上·福建福州·期中）（1）计算. （2）已知，求的最小值. 【考点题型三】指数函数解析式与求值问题 【例3】（23-24高一上·新疆·阶段练习）已知函数，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·广东湛江·开学考试）若函数（，且）满足，则的值为（　　） A．± B．±3 C． D．3 【变式3-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为 ． 【变式3-3】（24-25高一上·北京·期中）已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是 ． 【变式3-4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为 ． 【考点题型四】根据指数函数求参数、求值 【例4】（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【变式4-1】（22-23高一上·全国·课后作业）若函数为指数函数，则（    ） A．或 B．且 C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式4-3】（多选）（23-24高一上·江西新余·期中）若函数是指数函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 【考点题型五】根据指数函数型图象确定参数范围 【例5】（多选）（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【变式5-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）（23-24高一上·河北邯郸·期中）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数图象顶点的横坐标的取值范围为 . 【变式5-4】（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 ． 【考点题型六】指数型函数图象过定点问题 【例6】（24-25高一上·山西朔州·期中）已知函数（且）过定点，点在一次函数，的图象上，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式6-1】（24-25高一上·山西太原·期中）函数（，且的图象必经过的定点是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·甘肃庆阳·期中）函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 【变式6-3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数且 过定点，则________ 【变式6-4】（24-25高一上·上海·期中）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒过一定点，则这个点的坐标为 【考点题型七】求指数型函数定义域 【例7】（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024高二上·北京·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·天津南开·期中）函数的定义域是 . 【变式7-3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 【变式7-4】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【考点题型八】求指数型函数值域 【例8】（2024高三·全国·专题练习）设函数，的值域是 ． 【变式8-1】（20-21高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【变式8-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的值域为 ． 【变式8-3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数的值域为 . 【变式8-4】（24-25高一上·上海·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数的值域为 . 【考点题型九】根据值域求参数范围 【例9】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）函数且，当时，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 【变式9-3】（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 【变式9-4】（2023·全国·高一专题练习）求函数，在上的值域. 【考点题型十】指数型函数的单调性 【例10】（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函数，则函数（    ） A．是偶函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【变式10-1】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）下列函数中，在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式10-4】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】比较大小问题 【例11】（24-25高三上·山西大同·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一上·北京·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-4】（多选）（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十二】指数型函数不等式恒成立问题 【例12】（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数且. (1)若，求函数的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【变式12-1（23-24高一下·江苏盐城·期末）设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式12-2】（2007高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式12-3】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式12-4】（24-25高一上·海南三亚·期中）已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． (1)求的表达式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【考点题型十三】解指数型函数不等式 【例13】（2022秋·广东江门·高一校考期中）已知函数是指数函数，且它的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求，，； (3)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式． 【变式13-1】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数是定义在上的单调函数，若对，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，则的取值范围为 . 【变式13-3】（24-25高一上·贵州·期中）已知函数，且，则不等式的解集为 . 【变式13-4】（2023·全国·高一专题练习）已知函数且，且的图象过点. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【考点题型十四】指数型函数最值问题 【例14】（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 【变式14-1】（2021·江苏·高一期中）若指数函数在上的最大值与最小值的和为，则（    ） A．或 B． C． D． 【变式14-2】（22-23高一上·北京·期末）函数在区间上的最小值是，则的值是 . 【变式14-3】（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）已知函数（且）． (1)当时，解不等式； (2)已知函数在上的最大值与最小值之差为，求实数的值． 【变式14-4】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数的最小值及取得最小值时x的取值； (2)若，求函数的最小值． 【考点题型十五】指数型函数图象和性质的综合问题 【例15】（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求实数，的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【变式15-1】（2023秋·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知函数（，且）是奇函数，且． (1)求，的值； (2)若对于，不等式成立，求的取值范围． 【变式15-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)判断并证明的奇偶性. 【变式15-3】（24-25高一上·山西晋城·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)若，求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【变式15-4】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$