精品解析：河南省鹤壁市淇滨中学2024—2025学年上学期九年级数学第一次月考试卷

九年级上学期第一次月考试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】把四组式子化成最简二次根式后根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式； B、与被开方数不同，不是同类二次根式； C、与被开方数相同，是同类二次根式； D、与被开方数不同，不是同类二次根式． 故选C． 【点睛】本题考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同． 3. 将方程化为的形式，则（　　） A. m=3，n=5 B. m=﹣3，n=5 C. m=3，n=14 D. m=﹣3，n=14 【答案】D 【解析】 【分析】利用配方法：先把常数项移到等号的右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将原方程配成的形式． 【详解】解：， ， ， ， ，． 故选：D． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的知识，注意掌握掌握配方法的一般步骤． 4. 要使有意义，则x应满足（ ） A. ≤x≤3 B. x≤3且x≠ C. ＜x＜3 D. ＜x≤3 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得： 解不等式①得，≤3， 解不等式②的，＞， 所以，＜≤3． 故答案选：D． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题的关键． 5. 若是完全平方式，则m的值为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，根据“完全平方式是指”求解即可． 【详解】解：代数式为完全平方式，完全平方式是指， ∴ 故选：B 6. 方程与所有实数根的乘积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之积等于解答即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由根和系数的关系可得，方程的两根之积等于，方程的两根之积等于， ∴所有实数根的乘积等于， 故选：． 7. 已知的三边满足，则为( ). A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将变形为，然后根据非负数的和是0，这几个非负数均为0，就可以求解. 【详解】∵ ∴ 即 根据非负数的和是0，这几个非负数均为0得，a=5，b=5,c=5, 故该三角形是等边三角形，即正三角形. 故选B． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，解题时利用了：非负数的和是0，这几个非负数均为0，注意此题中的变形要充分运用完全平方公式. 8. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题． 根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可． 【详解】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 故选：D． 9. 如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，分①当时，②当时，两种情况分别讨论，从而得解，注意本题未说明此方程是一元二次方程，需要分类讨论． 【详解】解：①当时，方程可化为， 解得，即有实数根， ②当时，， 解得：， ∴且， 综上所述：， 故选：D． 10. 观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第个数据应是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简，根据数据可得第个数为，据此即可求解，由已知数据找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴个数据应是， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若实数满足，则=_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据绝对值与二次根式的非负性求出a，b的值，故可求解． 【详解】解：∵ ∴a-2=0，b-4=0 ∴a=2，b=4 ∴= 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知非负性的运用． 12. 关于x的方程是一元二次方程，则m=_________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义回答即可 ． 【详解】解：方程是一元二次方程， 且． 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 13. 把 中根号外面的因式移到根号内的结果是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键． 14. 若x、y为实数，且，则_____ 【答案】4 【解析】 【分析】令，代入得到关于的方程，利用因式分解法解方程，再根据，即可得解． 【详解】解：令，代入得， 整理得：， ， 或， 或， ，， ， ，即． 15. 已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为______ ． 【答案】5或 【解析】 【分析】解方程可以求出两根，即直角三角形的两边，利用勾股定理就可以求出第三边． 【详解】解：方程的两个根是3和4． 也就是的两条边的长是3和4． 当3和4都是直角边时，第三边． 当4为斜边时，第三边． 故第三边长是5或． 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了知道直角三角形的两边，求第三边的问题，勾股定理、一元二次方程，解题的关键是要分第三边是斜边或直角边两种情况讨论． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）． （2） 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式相关运算法则、去绝对值方法、零指数幂公式计算即可； （2）利用二次根式相关运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 17. 先化简，再求值，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先通分，将除法转化为乘法、约分，再代值计算． 【详解】解： ， 当 ，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是把分式化到最简，然后代值计算． 18. 用指定的方法解下列方程 （1）(直接开平方法) （2）(十字相乘法) （3）(配方法 ) （4）(公式法) 【答案】（1）， （2）， （3）， （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键． （1）运用直接开平方法求解即可； （2）运用十字相乘法求解即可； （3）运用配方法求解即可； （4）运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：直接开方得：， 即或， 解得：，； 【小问2详解】 整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； 【小问3详解】 移项得：， 配方得：， 即， 直接开方得：， 即或， 解得：，； 【小问4详解】 移项得：， ， ， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，点关于原点的对称点为． （1）若以为一边向上作一个等边三角形，直接写出点的坐标． （2）求（）中的三角形的周长和面积． 【答案】（1）； （2）的周长为，面积为． 【解析】 【分析】（）由对称可得，得到，由等边三角形的性质可得点在轴的正半轴上，，利用勾股定理求出即可得到点的坐标； （）根据（）中所求即可求解． 【小问1详解】 解：∵点的坐标，点关于原点的对称点为， ∴， ∴， ∵是以为一边向上作的一个等边三角形， ∴点在轴的正半轴上，， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴的周长为， ． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，正确求出点坐标是解题的关键． 20. 已知关于的方程有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，决出k的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）且； （2）k不存在． 假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2， ∵x1+x2=0， ∴， ∴， 又∵且； ∴k不存在． 【解析】 【分析】（1）因为方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．得出其判别式Δ＞0，可解得k的取值范围； （2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k的值． 【详解】解：（1）方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2， 可得k-1≠0， ∴k≠1且Δ=-12k+13＞0， 可解得且k≠1； （2） 略 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q． 21. 如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求t的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： 当时， ， 整理得， ∵△， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为：，的面积为，由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系列方程求出t的值，但方程无解，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ∴，， ∴， 整理得，解得， 答：当时的面积为面积的； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 22. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】 （1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 23. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在（1）问的条件下，平均每天获利不变，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （3）写出每天总利润与降价元的函数关系式，为了使每天的利润最大，应降价多少元？ 【答案】（1）4元或6元；（2）9折；（3）5元． 【解析】 【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． （3）根据已知得出销量乘以每千克利润=总利润进而得出函数关系式，再利用配方法求出即可． 【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元． 根据题意，得（60-x-40）（100+×20）=2240． 化简，得x2-10x+24=0,解得x1=4，x2=6． 答：每千克核桃应降价4元或6元． （2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元． 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元． 此时，售价为：60-6=54（元），×100%=90%． 答：该店应按原售价的九折出售． （3）每天总利润y与降价x元的函数关系式为： y=（60-x-40）（100+×20） =-10x2+100x+2000 =-10（x2-10x）+2000 =-10（x-5）2+2250， 当x=5时，y最大， 故为了使每天的利润最大，应降价5元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次月考试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 将方程化为的形式，则（　　） A. m=3，n=5 B. m=﹣3，n=5 C. m=3，n=14 D. m=﹣3，n=14 4. 要使有意义，则x应满足（ ） A. ≤x≤3 B. x≤3且x≠ C. ＜x＜3 D. ＜x≤3 5. 若是完全平方式，则m的值为（ ） A. 7 B. C. D. 6. 方程与所有实数根的乘积等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三边满足，则为( ). A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 10. 观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第个数据应是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若实数满足，则=_____________． 12. 关于x的方程是一元二次方程，则m=_________． 13. 把 中根号外面的因式移到根号内的结果是___． 14. 若x、y为实数，且，则_____ 15. 已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为______ ． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）． （2） 17. 先化简，再求值，其中 18. 用指定的方法解下列方程 （1）(直接开平方法) （2）(十字相乘法) （3）(配方法 ) （4）(公式法) 19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，点关于原点的对称点为． （1）若以为一边向上作一个等边三角形，直接写出点的坐标． （2）求（）中的三角形的周长和面积． 20. 已知关于的方程有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，决出k的值；如果不存在，请说明理由． 21. 如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求t的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 22. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 23. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在（1）问的条件下，平均每天获利不变，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （3）写出每天总利润与降价元的函数关系式，为了使每天的利润最大，应降价多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $