第一章三角函数 单元练习 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第一章三角函数 单元练习 2024-2025学年北师大版数学九年级下册 一、单选题 1．（   ） A． B．1 C． D．2 2．的倒数是（   ） A． B． C．2 D． 3．已知点在平面直角坐标系中，射线与x轴正半轴的夹角为α，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 4．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 5．如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ） A． B． C． D． 6．在中，，如果，，那么的长是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 8．如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点的对应点恰好落在边上，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形沿直线平移得到，使得与C重合，连接，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 二、填空题 11．计算： ． 12．若一个三角形三条边长的比为，则最小角的余弦值是 ． 13．已知，在中，，则 ． 14．如图，竖直放置的旗杆在某一时刻的影子恰好落在斜坡的处．已知此时1米高的竹杆的影长为，测得为，为，斜坡与地面成角，则旗杆的高度为 ． 15．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是 m． 16．如图，中，，，，，，则 ． 三、解答题 17．计算：． 18．计算： 19．已知：如图，在平行四边形中，，点在的延长线上，连接，交于点．    (1)当时，求的长； (2)当时，求的正切值． 20．已知：如图，在中，．矩形的顶点G、F在边上，顶点D、E分别在上．    (1)若，求矩形的面积； (2)连接交于点，若平分，求的长． 21．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点烧点随之旋转至上的点处，则______． 22．2024“中国国家队公益服务大行动”重庆站活动在重庆凤鸣山中学开展，小凤与小鸣精心规划，为奥运冠军们设计了两条欢迎通道．如图，点是校门所在的位置，点是奥运冠军宣讲活动的主会场“风凌体育馆”．小风设计的欢迎通道是，小鸣设计的欢迎通道是为；已知点位于点的南偏东方向，且米；点位于点的南偏西方向，且米；点位于点的西南方向上，同时点也位于点的正西方向．（参考数据：，，） (1)求道路的长度（结果精确到个位）； (2)若小凤带队经过通道的速度为米/分钟，小鸣带队经过通道的速度为米/分钟，若他们同时从点处出发，并保持匀速游览，请通过计算说明哪条路线能更快到达体育馆． 23．如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点E、F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，时，则菱形的面积为________． 24．大连市中山公园原址为一个叫做刘家屯的小山头，1898年沙俄强占旅大期间，将这里改为绿地．日占时期改为圣德公园，圣德公园多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报．大连解放后的1945年11月，大连市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，并历经多年修建了5个小亭，其中敬闲亭位于山头最高处． “勿忘国耻，怀念先烈，吾辈自强”．某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到中山公园，为测量敬闲亭设计了如下方案，请你根据以下材料，完成项目任务． 项目 测量敬闲亭的高度及底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：点H为亭底面圆圆心，在A、C处分别测得亭顶端的仰角为、，、测角仪高度，测角仪所在位置与亭底部边缘距离，点B、D、M、H在同一条直线上． 参考数据 ，，，，，最后结果保留． 项目任务 （1） 求敬闲亭的高度的长． （2） 直接写出敬闲亭底面圆的半径的长，约________米． （3） 直接写出的距离，约________米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C C D D A C B 1．A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可得出答案，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，倒数的定义，根据，即可求解． 【详解】解：， ∴的倒数是 故选：C． 3．C 【分析】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．作轴于H．利用勾股定理求出，再利用余弦的定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作轴于H． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了解直角三角形－坡度．根据坡度“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离． 【详解】解：由题意得：， 即， 由勾股定理得：， 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，先解得到，再由旋转的性质得到，则，最后解求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意画出图形，利用锐角三角函数进行计算即可． 【详解】解：如图： ∵，，， ∴， ∴； 故选D． 7．D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，含角的直角三角形等知识，由题意可得，再由，得到，然后根据勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题知，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：D． 8．A 【分析】本题考查正弦的定义及同角的余角相等，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选A． 9．C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定．设，交于点，，根据旋转的性质证明是等边三角形，设，，利用含30度角的直角三角形的性质列出关于，的等式，再利用正切函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图：设，交于点，， 在中，， ∵， ∴， 由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 由旋转可知：， ， ， 设，， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 故选：C． 10．B 【分析】根据等腰直角三角形的性质，平移，正切函数的定义解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，平移，正切函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过作出，垂足为D． 设， 由等腰直角三角形沿直线平移得到， ∴， ∴ ∴ ． 故选：B． 11．6 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为6． 12． 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边；本题首先根据三角形三边的比可以判断三角形是直角三角形，再由大边对大角，小边对小角，根据三角函数的定义求解. 该题关键是通过三边的比判断出该三角形为直角三角形． 【详解】解：三角形三边之比，， 这个三角形是直角三角形， 如下图所示， 根据大边对大角可知：最小， 故答案为： ． 13．8 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴． 故答案为：8． 14． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，理解1米高的竹杆的影长为是解答关键． 延长交的延长线于，根据1米高的竹杆的影长为求出，利用锐角三角函数值的求出得到，进而得到，再利用来求解． 【详解】解：延长交的延长线于，如图 米的杆影恰好为米， ． 四边形是矩形， （米），． 在中 ，（米），， （米）， （米）， （米），（米）， （米）． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． 在中，根据正切定义求出，再在中根据求出，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 在中， ，且 ， 解得： ， ∴ ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键，由勾股定理和解直角三角形得，，进而得，，利用面积法求得，进而即可得解． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴, ∴． 17． 【分析】此题考查了锐角三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ． 18． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入算式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知识点，准确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理求解即可； （2）如图：过点F作于点G，根据平行四边形的性质证明，然后求出，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得∶ ． （2）解：如图：过点F作于点G，    ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的正切值． 20．(1) (2) 【分析】（1）如图：作于点H，交于点Q，可证明可得，由得，则，所以，即，解得：，然后由即可解答； （2）由得，可证明，由得，则，求得，则，再证明得，所以即可． 【详解】（1）解：如图：作于点H，交于点Q，    ∵四边形是矩形，顶点G、F在边上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴ ∴矩形的面积是． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 21．(1)13.7分米 (2)分米 【分析】（1）作于P，于Q，于K，于J，解直角三角形求出即可求出的长； （2）在（1）所作辅助线的基础上，借助三角函数解、、、，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作于P，于Q，于K，于J， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴（分米）， ∵，即， ∴， ∴（分米）， ∴（分米）； 即点A离地面的距离约为13.7分米； （2）∵， ∴， ∴在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 22．(1)道路的长度为米 (2)小鸣的路线先到达体育馆，理由见解析 【分析】本题主要考查了特殊角的函数值求法，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，方位角，读懂题意，作出辅助线是解答关键． （1）过点作交的延长线于点，由含角的直角三角形的性质求出和，然后再利用等腰直角三角形的性质求解； （2）作于点，由含角的直角三角形的性质求出，用特殊角的函数值求出，再用勾股定理求出，结合（1）的结论求得小凤和小鸣各自到达的时间来求解． 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点， 在中，，米，， 米，米， ， 是等腰直角三角形， 米 （米） 即道路的长度为米． （2）解：作于点， 在中，，米，， （米），（米） 米， （米）， 小鸣的游览速度为米分， 小鸣到达出口的时间是（分）， 由可得，（米）， 小凤的游览速度为米分， 小凤到达出口的时间是（分）． ， 小鸣的路线先到达体育馆． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形性质以及垂直平分线性质先证明，得到，先证明四边形是平行四边形，再结合得到结论； （2）由矩形的性质得到为直角，在中，利用勾股定理求出的长，再求出，然后根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积． 【详解】（1）证明：为矩形， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：在中，由，， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，平行线性质，全等三角形的判定与性质，正确表示出菱形的面积是解答本题的关键． 24．（1）米；（2）4；（3）22 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，掌握解直角三角形是解题的关键． （1），利用解直角三角形分别得到，再根据得到方程，解方程即可求解； （2）根据线段的和差关系即可求解； （3）根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：（1）如图，延长交于， 根据题意可得，， 设， 在中，，即， ∴， 在中，，即， ， ， ， 解得：， ， ， 答：敬闲亭的高度的长为； （2）由（1）可得，， ， ， ， 答：敬闲亭底面圆的半径的长为． （3）由（2）得，又，， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$