11.1 与三角形有关的线段 2024--2025学年人教版八年级数学上册

第一讲 11.1与三角形有关的线段 核心要点 1. 三角形的定义 2. 三角形的分类：（1）按边分为 、 、 . （2） 按角分为 3. 三角形的高： 4.三角形具有 性 考点梳理 【考点1】三角形的三边关系 例题1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．1，3，4 B．2，3，9 C．4，5，7 D．3，3，6 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵，∴能组成三角形，故此选项符合题意； D、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【方法总结】判断三条线段能不能构成三角形，只需根据三角形的三边关系：“第三边大于两边之差小于两边之和”分别判断 【针对训练】1下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．1，2，3.5 B．4，5，9 C．3，5，7 D．5，15，8 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的判断，熟练掌握三角形三边的不等关系是解题关键．三角形任意一边小于其余两边之和，满足此关系则可组成三角形，据此进一步判断即可． 【详解】解：A：，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意； B：，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意； C：，能组成三角形，故该选项正确，符合题意； D：，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 2．下列长度的三条线段不能组成三角形的是：（   ） A．2，3，4 B．4，5，8 C．6，8，10 D．5，5，10 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形三边关系的应用，根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断即可． 【详解】解：A．，能组成三角形，故本选项不符合题意； B．，能组成三角形，不符合题意， C．，能组成三角形，故本选项不符合题意； D．，不能组成三角形，故本选项符合题意； 故选：D 例题2．一个三角形的两边长分别是2和3，则它的第三边长x的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三遍关系，熟练掌握：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边是解决问题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边直接得到结论． 【详解】解：三角形的两边长分别是2和3， 第三边长的取值范围是，即， 故答案为：． 【针对训练】1.一个三角形的两边长分别是3和5，则它的第三边长a的范围为 ． 2. 一个三角形的两边长分别是4和7，则它的第三边长m的范围为 3．若某三角形的三边长分别为2，4，m，则m的值可以是（    ） A．1 B．5 C．7 D．10 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，先根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求得的取值范围，然后根据选项中的数据可得答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，4，m， ∴，则， 故选项B中的5满足题意，选项A、C、D中数字不满足题意， 故选：B． 【考点2】利用三角形的三边关系化简求值 例题1.已知三角形的三边长为2，，4，化简的结果是 ． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，根据三角形的三边关系列不等式求出的取值范围，再根据绝对值的性质化简即可，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【方法总结】利用三角形的三边关系化简求值问题，根据三角形的三边关系列不等式求出第三边的取值范围，再根据绝对值的性质化简 【针对训练】 1．已知的三边长分别为整数a，b，c，且满足，则的最大周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，三角形的三边关系定理以及推论，即任意两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．首先由非负数的性质结合已知条件可得a、b的值；接下来由三角形三边关系可得c的范围，由c为整数可得c的最大值；最后利用周长公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵a、b、c为的三边长， ∴． ∵c为整数， ∴c的最大值为4， ∴的最大周长为． 故答案为：9． 2．已知的三边长是，，。 (1)若，，且三角形的周长是小于16的偶数，求的值； (2)化简． 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：的三边长是，，， ，即， 三角形的周长是小于16的偶数， 即， ； （2）解：由三角形三边关系得：， ，， ． 【考点3】与三角形的面积问题 例题1.如图，在中，于点D，，边上的高是．则（   ） A．2 B．4 C． D． 【详解】解：∵在中，于点D，边上的高是， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【方法总结】求三角形的高，根据等面积法列式求解 例题2.如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点，分别为，边上的中点， ∴，， ∵的面积为12， ∴， 故选：A． 【方法总结】在三角形中与到求面积，或求线段的长度问题，优先考虑等面积法求高，或者三角形中线的性质，利用三角形的中线平分三角形的面积求解。 【针对训练】1.如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 2.如图，在中，为中线，和分别为和的高，若，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的中线的性质、与三角形的高的有关的计算，由题意可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，为中线， ∴， ∵和分别为和的高， ∴，即， ∴， 故答案为：． 3．如图，是的中线，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，熟练掌握三角形中线定义，是解题的关键．根据三角形中线的定义得出． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． 故答案为：3． 4．如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积的求法，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积．据此求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是上的中线， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 【考点4】三角形的稳定性 例题1.在实际生活中，经常用到一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是（   ） A．伸缩门 B．升降机 C．栅栏 D．椅子 【分析】主要考查了三角形的性质中的稳定性．三角形的特性之一就是具有稳定性． 根据三角形具有稳定性和四边形具有不稳定性进行辨别即可．找到图形中有三角形固定的即可． 【详解】解：A．由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门运用了平行四边形易变形的特性； B．升降机也是运用了四边形易变形的特性； C．栅栏是由一些三角形连接而成的，它具有稳定性； D．椅子是由四边形构成，它具有不稳定性． 故选C． 【针对训练】 1．下列设计中，没有利用三角形的稳定性的是（   ） A．伸缩晾衣架 B．三角形房架 C．自行车的三角形车架 D．人字梯 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：A、伸缩晾衣架，利用了四边形的不稳定性，没有利用三角形的稳定性，此选项符合题意； B、三角形房架，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意； C、自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意； D、人字梯，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意． 故选：A ． 2．如图，人字梯中间一般都会设计一根拉杆，这样做的几何原理是（  ） A．两直线平行，同位角相等 B．等边对等角 C．两点之间，线段最短 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：由题意知，这样设计蕴含的数学依据是三角形具有稳定性， 故选：D． 3．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对图形稳定性的理解和判断．解题的关键在于理解稳定性的定义，即图形在受到外力作用时能够保持其形状和大小不变的性质，并熟悉哪些基本图形具有稳定性． 在判断组合图形的稳定性时，可以根据图形中是否包含三角形或者能否通过三角形的组合来增强图形的稳定性即可解答． 【详解】A． 正方形状：正方形在受到外力作用时，容易变形，因此不具有稳定性，故该选项不符合题意； B． 梯形和三角形组合：这个组合包含了梯形和三角形，由于梯形的是四边形，这个组合的整体不具有稳定性，故该选项不符合题意； C． 三角形组合的六边形：这个图形是由三角形组合而成的六边形，由于三角形具有稳定性，这个六边形在受到外力时能够保持其形状不变．因此，这个图形具有稳定性，故该选项符合题意； D． 平行四边形：平行四边形在受到外力作用时，容易变形，因此不具有稳定性．故该选项不符合题意； 故选：C． 综合提升，强化能力 1.活动课上，乐乐想用三根木条制作一个三角形模型，现有两根的长度分别为，，他可以选用木条的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系即可判断第三根木棒的取值范围，即可得到答案．解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式即可． 【详解】解：设第三根木条的长度为， ∴， ∴， ∴他可以选用木条的长度为． 故选：B． 2．下列各组数中，可能成为一个三角形三边长的是（   ）． A．1、1、1 B．1、1、2 C．1、1、3 D．1、2、3 【答案】A 【分析】此题考查三角形三边关系，根据三角形三边定理可知，判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：A．由于，故能组成三角形，故此选项符合题意； B．由于，故不能组成三角形，故此选项不符合题意； C．由于，故不能组成三角形，故此选项不符合题意； D．由于，故不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．若三角形两边长分别是5和8，则第三边长可能是（　　） A．1 B．3 C．8 D．13 【答案】C 【分析】此题考查的是根据三角形两边的长，求第三边的长的取值范围，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键．根据三角形的三边关系，求出第三边的长的取值范围，即可得出结论． 【详解】解：根据三角形的三边关系得：， 解得：， 故第三边长可能是8． 故选：C． 4．如图，已知D是的中点，分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线和高，熟记定义是解题的关键．根据三角形的中线、角平分线、高线的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是的中线， ， 故此选项不符合题意； B、是的角平分线， ， 故此选项符合题意； C、是的高线， ， 由外角性质得， ， 故此选项不符合题意； D、从现有条件无法证得， 故此选项不符合题意； 故选：B． 5．如图，在中，，，是边上的两点，，平分，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B． C．是的角平分线 D．是的高 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线、中线和高，根据概念判断即可． 【详解】解：A、由得是的中线，选项正确，不符合题意； B、由平分得，但不能说明与相等，选项不正确，符合题意； C、由平分得，选项正确，不符合题意； D、由得是的高，选项正确，不符合题意． 故选：B． 6．如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，三角形其中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 7.下面四个图形中，线段是的高的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，理解三角形的高的定义是解题关键．三角形的高‌是指从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段就是三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 线段不是的高，本选项不符合题意； B. 线段不是的高，本选项不符合题意； C. 线段不是的高，本选项不符合题意； D. 线段是的高，本选项符合题意． 8．如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：根据该三脚架为三角形可知：其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 9.．如图，在中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为5，那么图中两个阴影三角形面积之和是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了与三角形的中线有关的三角形的面积，作辅助线是解题的关键．如图，连接，根据题意可得，，求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ，， ， 即， 是边上靠近的三等分点， ， ， ． 故答案为：． 10．如图，在中，是边的中点，连接，是的中点，连接，，且的面积为，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两个部分是解题的关键.根据三角形中线的定义，可以知道，，从而计算出答案. 【详解】解： 是边的中点 的面积为 是的中点 ， 故答案为： 11．已知：、、分别是三角形的三边，那么化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，，再根据绝对值的性质进行化简计算． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得到，， ． 故选：D． 20． 故选：D． 12.．如图，，分别是的高和中线，，，，．    (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形的中线等知识点，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式可得，即可求出的长； （2）由是的中线可得，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：， （）； （2）解：是的中线， ， （）． 13．如图，的周长为24，，边上的中线，的周长为16，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质，三角形周长，二元一次方程组解决实际问题；解题的关键是通过中线得到线段之间的数量关系，并建立相关方程．设，，由是边上的中线，得，结合的周长为、的周长为，联立方程组，求解方程组即可． 【详解】解：设，， 是边上的中线， ， 由题意得：， ， 即：， 解得， 的长为6． 14.．在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵，， ∴， ∵是整数， ； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为17， ∴的周长：． 15.．如图，在中，分别是边上的高和中线，，． (1)求和的周长之差； (2)求的长度． 【答案】(1)和的周长之差； (2)． 【分析】查考查了三角形的高、中线，等积法求三角形的高，理解三角形的高、中线的意义是解题的关键； （1）由是边上中线，得，则可得，从而求解； （2）利用同一三角形面积相等即可求得的长度． 【详解】（1）解：∵是边上中线， ∴， ∴ ， 即和的周长之差； （2）解：∵是边上的高， ， ， 即． 16.已知a，b，c是三角形的三边长，化简：． 【答案】 【分析】本题主要查了三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减运算．根据三角形的三边关系，可得，，，再根据绝对值的性质，整式的加减运算解答，即可求解． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴，，， ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲 11.1与三角形有关的线段 核心要点 1. 三角形的定义 2. 三角形的分类：（1）按边分为 、 、 . （2） 按角分为 3. 三角形的高： 4.三角形具有 性 考点梳理 【考点1】三角形的三边关系 例题1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．1，3，4 B．2，3，9 C．4，5，7 D．3，3，6 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵，∴能组成三角形，故此选项符合题意； D、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【方法总结】判断三条线段能不能构成三角形，只需根据三角形的三边关系：“第三边大于两边之差小于两边之和”分别判断 【针对训练】1下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．1，2，3.5 B．4，5，9 C．3，5，7 D．5，15，8 2．下列长度的三条线段不能组成三角形的是：（   ） A．2，3，4 B．4，5，8 C．6，8，10 D．5，5，10 例题2．一个三角形的两边长分别是2和3，则它的第三边长x的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三遍关系，熟练掌握：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边是解决问题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边直接得到结论． 【详解】解：三角形的两边长分别是2和3， 第三边长的取值范围是，即， 故答案为：． 【针对训练】1.一个三角形的两边长分别是3和5，则它的第三边长a的范围为 ． 2. 一个三角形的两边长分别是4和7，则它的第三边长m的范围为 3．若某三角形的三边长分别为2，4，m，则m的值可以是（    ） A．1 B．5 C．7 D．10 【考点2】利用三角形的三边关系化简求值 例题1.已知三角形的三边长为2，，4，化简的结果是 ． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，根据三角形的三边关系列不等式求出的取值范围，再根据绝对值的性质化简即可，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【方法总结】利用三角形的三边关系化简求值问题，根据三角形的三边关系列不等式求出第三边的取值范围，再根据绝对值的性质化简 【针对训练】 1．已知的三边长分别为整数a，b，c，且满足，则的最大周长为 ． 2．已知的三边长是，，。 (1)若，，且三角形的周长是小于16的偶数，求的值； (2)化简． 【考点3】与三角形的面积问题 例题1.如图，在中，于点D，，边上的高是．则（   ） A．2 B．4 C． D． 【详解】解：∵在中，于点D，边上的高是， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【方法总结】求三角形的高，根据等面积法列式求解 例题2.如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点，分别为，边上的中点， ∴，， ∵的面积为12， ∴， 故选：A． 【方法总结】在三角形中与到求面积，或求线段的长度问题，优先考虑等面积法求高，或者三角形中线的性质，利用三角形的中线平分三角形的面积求解。 【针对训练】1.如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 2.如图，在中，为中线，和分别为和的高，若，，，则 ． 3．如图，是的中线，，则的长为 ． 4．如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 【考点4】三角形的稳定性 例题1.在实际生活中，经常用到一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是（   ） A．伸缩门 B．升降机 C．栅栏 D．椅子 【分析】主要考查了三角形的性质中的稳定性．三角形的特性之一就是具有稳定性． 根据三角形具有稳定性和四边形具有不稳定性进行辨别即可．找到图形中有三角形固定的即可． 【详解】解：A．由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门运用了平行四边形易变形的特性； B．升降机也是运用了四边形易变形的特性； C．栅栏是由一些三角形连接而成的，它具有稳定性； D．椅子是由四边形构成，它具有不稳定性． 故选C． 【针对训练】 1．下列设计中，没有利用三角形的稳定性的是（   ） A．伸缩晾衣架 B．三角形房架 C．自行车的三角形车架 D．人字梯 2．如图，人字梯中间一般都会设计一根拉杆，这样做的几何原理是（  ） A．两直线平行，同位角相等 B．等边对等角 C．两点之间，线段最短 D．三角形的稳定性 3．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 综合提升，强化能力 1.活动课上，乐乐想用三根木条制作一个三角形模型，现有两根的长度分别为，，他可以选用木条的长度为（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，可能成为一个三角形三边长的是（   ）． A．1、1、1 B．1、1、2 C．1、1、3 D．1、2、3 3．若三角形两边长分别是5和8，则第三边长可能是（　　） A．1 B．3 C．8 D．13 4．如图，已知D是的中点，分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，是边上的两点，，平分，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B． C．是的角平分线 D．是的高 6．如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7.下面四个图形中，线段是的高的图形是（ ） A． B． C． D． 8．如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是 ． 9.．如图，在中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为5，那么图中两个阴影三角形面积之和是 ． 10．如图，在中，是边的中点，连接，是的中点，连接，，且的面积为，则 ．    11．已知：、、分别是三角形的三边，那么化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 12.．如图，，分别是的高和中线，，，，．    (1)求的长； (2)求的面积． 13．如图，的周长为24，，边上的中线，的周长为16，求的长． 14.．在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 15.．如图，在中，分别是边上的高和中线，，． (1)求和的周长之差； (2)求的长度． 16.已知a，b，c是三角形的三边长，化简：． 试卷第1页，共3页 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