精品解析：四川省成都市温江区东辰外国语学校2024-2025学年高一上学期第二学程测试（期中）数学试题

成都东辰外国语学校2024-2025学年度高一年级第二学程测试 数学试题 命题人：赵中伟 审题人：李峣 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知命题p：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 3. 若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 4. 下列函数中是增函数的为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 函数的图象如图，则（ ） A. B. 函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 11. 若正整数，只有1为公约数，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. ， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知集合，且，则实数的值为___________. 13. 已知，则的最小值为______． 14. 若对任意实数，总存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合,集合． （1）若，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围 16. 化简求值： （1）； （2）. （3）若，求的值． 17. 已知函数． （1）先判断函数单调性并用定义法证明； （2）是否存在实数a使函数为奇函数，并说明理由． 18. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、，当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 秒 秒 距离 米 米 米 米 （1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求时若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间；（精确到0.1秒） （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？ 19. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若，求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都东辰外国语学校2024-2025学年度高一年级第二学程测试 数学试题 命题人：赵中伟 审题人：李峣 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知命题p：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式判断即可得出答案. 【详解】由命题p：，，可得为，. 故选：A. 2. 已知函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式分段讨论得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为，且， 则或，解得. 故选：C 3. 若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 4. 下列函数中是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的单调性，由此选出正确选项. 【详解】对于A： ，由一次函数性质,为减函数，不满足题意，故A错误； 对于B：，由指数函数的性质可知为减函数，不满足题意，故B错误； 对于C：，由幂函数的性质可知在上为减函数，不满足题意，故C错误； 对于D： ，由幂函数的性质可知，为增函数，满足题意，故D正确. 故选：D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合指数函数和对数函数的性质令，解不等式组即可； 【详解】由题意可得，解得且， 所以定义域为， 故选：B. 6. 设，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数单调性可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，可得， . 因函数在R上单调递增，则.故， 即. 故选：A 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项. 【详解】函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，故排除A， 且当时，，故排除C， ，当时，，故排除D，满足条件的只有B. 故选：B 8. 设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过是偶函数和是奇函数以及题设条件，可以用赋值法求出时，，根据条件将的值转化为，即可得到答案． 【详解】因为是偶函数，所以①， 因为是奇函数，所以②． 令，由①得：， 由②得：， 因为，所以， 令，由②得：， 所以当时，， . 故选：C． 【点睛】结论点睛：复合函数的奇偶性： （1）是偶函数，则； （2）是奇函数，则. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】根据等式或不等式的性质结合，结合充分必要条件的定义即可求解. 【详解】对于A,根据等式的性质，由可以推出， 当时，推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误; 对于B，如，但，所以推不出， 如，但，所以推不出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误; 因为若则一定成立，但若则不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确; 由得，，由可推出，不能推出， 所以是的充分不必要条件，即”是“”的充分不必要条件， 故D正确; 故选:CD. 10. 函数的图象如图，则（ ） A. B. 函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的图像找到对应的定义域、值域和函数值. 【详解】由图像可知，当时，，所以，A对； 由图像可知，定义域为；值域为；B错、C对； 当时，只有时才有对应的与之对应，D对. 故选：ACD 11. 若正整数，只有1为公约数，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AC：利用欧拉函数定义求解判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， 小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， 因为，故A正确； 对于选项B：因为当时，，故B错误； 对于选项C：小于或等于的正整数中与互质的正整数为 ，，，，，，，，，，，，，，，， 共有个，所以，故C正确； 对于选项D：当时，因为，故D不正确； 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知集合，且，则实数的值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】由集合的元素，以及，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数的值. 【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去， 所以. 故答案为：3. 【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值. 13. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，得，将变形为，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值为. 故答案为：. 14. 若对任意实数，总存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】不等式整理为关于的二次不等式恒成立，利用转化为存在，成立，求出的最大值即可得出. 【详解】由得, 因为对任意实数，不等式成立，所以， 即,即存在，成立， 因为在上单调递增， 所以，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合,集合． （1）若，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围 【答案】（1）或． （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集和补集的定义即可求解， （2）根据是集合的真子集，讨论和两种情况即可求解. 【小问1详解】 由题意可知， 若故， 或． 【小问2详解】 命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为 16. 化简求值： （1）； （2）. （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用指数的性质、运算法则直接求解； （2）利用对数的性质、运算法则直接求解． （3）利用指数的性质、运算法则和完全平方公式求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 若， 则， 所以， 所以. 17. 已知函数． （1）先判断函数单调性并用定义法证明； （2）是否存在实数a使函数为奇函数，并说明理由． 【答案】（1） 函数在上单调递增； 证明如下：因为函数的定义域为，任取，且， 则， 因为函数在上为单调递增函数，且， 所以，且，所以， 所以，函数在上单调递增. （2），理由： 假设函数为奇函数，可得，即， 即，所以， 经验证：当时，，其定义域为， 其满足， 所以，存在时，函数是奇函数. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）假设函数为奇函数，可得，列出方程求得，结合函数奇偶性的定义与判定方法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、，当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 秒 秒 距离 米 米 米 米 （1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求时若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间；（精确到0.1秒） （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？ 【答案】（1）；秒；（2）米/秒以下. 【解析】 【分析】 （1）由题意可知，而，再将和代入即可得到；根据题意，计算的最小值； （2）根据题意只需满足对于任意，恒成立，转化为二次不等式恒成立问题求解. 【详解】解：（1）由题意得 ∴ 当时，， 设若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，汽车撞上固定障碍物的最短时间，则（秒） （2）根据题意，要求对于任意，恒成立， 即对于任意，即恒成立， 由得 ∴即 解得 ∴（米/秒）， （千米/小时） ∴汽车的行驶速度应限制在米/秒以下. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查不等式在解题中的运用，难度一般. 19. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若，求不等式的解集. 【答案】（1），证明:因为，都有， 所以令，得，则， 因为时，， 所以当时，，则， 令，得， 所以，证毕. （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设，则，， 令， 则，所以， 即，所以在上单调递减； （3）时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求得，再利用反比例函数的性质得到，结合赋值法即可证得结论； （2）利用赋值法与作差法，结合函数单调性的定义即可得证； （3）利用的单调性可得，分类讨论可求不等式的解集. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 又，所以， 由（2）知在上单调递减， 所以，所以， 所以， 当时，不等式为，所以不等式的解集为； 当时，不等式为，所以不等式的解集为； 当时，不等式为， 若时，则，所以不等式的解集为， 若时，则，所以不等式的解集为， 若时，则，所以不等式的解集为， 综上所述：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 【点睛】思路点睛： 1，对抽象函数求函数值的题型，主要是赋值法， 2，解含参数的不等式，通常是对参数分类讨论求得不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $