精品解析：广西平果市铝城中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学测试卷

2024年高二上学期期中考试测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，直线的斜率是直线斜率的倍，则直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. 若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 点M为圆：上任意一点，直线过定点P，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知圆，过平面上的点引圆的两条切线，使得，则的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分. 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点 10. 已知椭圆，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则椭圆的离心率为 B. 若椭圆的离心率越趋近于0，椭圆越接近于圆 C. 若点分别为椭圆的左､右焦点，直线l过点且与椭圆交于A，B两点，则的周长为 D. 若点分别为椭圆的左､右顶点，点P为椭圆上异于点的任意一点，则直线的斜率之积为. 11. 如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. 当是靠近的三等分点时，，，共面； C. 当时，； D. 的最小值为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数满足，则的最小值是__________． 13. 已知直线与两点，点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为______． 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积. 16. 已知圆：.若直线：与圆相交于A，B两点，且. （1）求圆的方程； （2）请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点的坐标，求过点与圆相切的直线的方程. ①；②. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是矩形，△BCF是边长为2的等边三角形，平面平面ABCD，，二面角的大小是. （1）求证：直线平面ABCD； （2）求直线AE与平面CDEF所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程． 19. 如图，四棱锥中，底面是正方形，，且，平面平面，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点． （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高二上学期期中考试测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意存在实数，使得，根据根据向量相等得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为向量，且，所以存在实数，使得，即，所以，解得，所以 故选：C 2. 已知，直线的斜率是直线斜率的倍，则直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】先利用题意得到直线的斜率，可得到直线的斜率，即可求得答案 【详解】由可得， 因为直线的斜率是直线斜率的倍，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，解得， 故选：C 3. 若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出两向量的模及数量积，根据即可求解. 【详解】∵， 则，且， ∴. 故选：A. 4. 如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，进而求得在上的投影向量的长度，进而结合勾股定理求解即可. 【详解】以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 所以， 所以在上的投影向量的长度为：， 所以到直线的距离为. 故选：C. 5. 点M为圆：上任意一点，直线过定点P，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把定点P坐标求出来，，最大值为，，三点共线，且位于与之间，求解方法为连接定点与圆心的线段长加上半径即可. 【详解】整理为： 令 ，解得：，所以定点P坐标为，代入圆的方程中，，所以在圆外，因为点M为圆：上任意一点，设圆C的半径为r=2，所以的最大值应该为，由两点间距离公式：，所以的最大值为 故选：B 6. 三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的共面定理计算即可. 【详解】 如图所示，因为点M在平面BCD内，可设， 则有， 即用向量，，表示，三个基向量的系数之和为1，显然A符合题意． 故选：A． 7. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】求出蒙日圆的方程，分析可知，两圆内切或外切，根据圆与圆的位置关系可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由已知条件可知，且， 蒙日圆方程为，蒙日圆的圆心为原点，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切， 则或， 又因为，所以，或，解得或， 故选：B. 8. 已知圆，过平面上的点引圆的两条切线，使得，则的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接圆心和切点，能得到正方形，则为定长，即点P在以C为圆心，2为半径的圆上. 【详解】圆，半径，设， 设切线与圆分别切于， 所以，因为两切线， 所以四边形为正方形，所以， 点P在以C为圆心，2为半径的圆上, 则的轨迹方程为． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分. 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径和列式求得判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D． 【详解】由，得， 联立，解得， 直线恒过定点，故A错误； 圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2， 故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确； 两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式， 曲线化为标准式， 圆心距为，解得，故C正确； 设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为， 两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，， 令，，解得，，故直线经过定点，，故D正确． 故选：BCD 10. 已知椭圆，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则椭圆的离心率为 B. 若椭圆的离心率越趋近于0，椭圆越接近于圆 C. 若点分别为椭圆的左､右焦点，直线l过点且与椭圆交于A，B两点，则的周长为 D. 若点分别为椭圆的左､右顶点，点P为椭圆上异于点的任意一点，则直线的斜率之积为. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的方程和几何性质，逐项验证得出结果. 【详解】，且,解得离心率 ，选项A错误； 根据椭圆离心率的性质“离心率越小椭圆越圆”，选项B正确； 根据椭圆的定义， 所以的周长为，选项C正确； 根据题意，，设点 ，其中 所以，选项D正确. 故答案为：BCD. 11. 如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. 当是靠近的三等分点时，，，共面； C. 当时，； D. 的最小值为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为基底，表示出相关向量，可直接判断A的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD的真假. 【详解】以为基底，则，，,. 对A：因为. 所以，故A错误； 对B：当是靠近的三等分点，即时， ， 又，所以.故，，共面.故B正确； 对C：因为， 所以：， 所以，故，故C正确； 对D：设，. 因为：. 所以，. 当时，有最小值，为：，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数满足，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点和圆的位置关系求得正确答案. 【详解】方程可化为， 所以是以为圆心，半径为的圆上的点， 与的距离是， 所以的最小值是. 故答案为： 13. 已知直线与两点，点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 写出线段的方程，联立求得交点坐标，由可求得的范围． 【详解】由条件得有解，解得， 由，得或． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题．解题方法是直线（线段）方程求出交点坐标，利用交点坐标的范围求出参数的范围，可是也可利用数形结合思想求解，即求出的斜率，由图形观察出的范围． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】设，，得到直线的方程为，解得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】设，，，则直线的斜率为，直线的斜率为， 直线的方程为， 令，得，即， 因为，所以， 即， 解得． 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程； （2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积. 【小问1详解】 因为，，所以BC所在的直线方程为， 即. 【小问2详解】 B，C两点间的距离为， 点A到直线BC的距离， 所以的面积为. 16. 已知圆：.若直线：与圆相交于A，B两点，且. （1）求圆的方程； （2）请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点的坐标，求过点与圆相切的直线的方程. ①；②. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质，通过点到直线距离公式得出圆心到直线的距离，再根据弦长与勾股定理即可计算出圆的半径，继而得到圆的方程. （2）①根据切线切点到圆心距离等于圆的半径，用点斜式表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式即可求出斜率得出直线方程；②根据切线与过切点的半径与其垂直，即可得出该斜率继而得出直线方程. 【小问1详解】 如图所示，过圆心O做垂直于AB的垂线交AB于C点， 根据点点到直线距离公式：，， 根据勾股定理：， 得圆的方程： 【小问2详解】 选①： 由（1）可知点在圆外，若切线斜率不存在， ，由图可知为过点P与圆相切的直线的方程； 若斜率存在，根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式， 因为直线与圆相切，则，解得， 直线的方程为：， 综上所述过点与圆相切的直线的方程为或. 选②：由（1）可知点在圆上，的直线方程为， 则过点与圆相切的直线与垂直，斜率为 根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式. 17. 如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是矩形，△BCF是边长为2的等边三角形，平面平面ABCD，，二面角的大小是. （1）求证：直线平面ABCD； （2）求直线AE与平面CDEF所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：如图，取AD的中点G，连接EG，则， 因为△BCF是边长为2的等边三角形，底面ABCD是矩形， 所以， 因为， 所以. 设E在平面ABCD内的射影为O，连接EO，则平面ABCD， 连接OA，OD，OG，则， 所以，所以， 所以为二面角的平面角， 所以， 所以. 过F作，垂足为H， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面ABCD， 又平面ABCD， 所以. 易知，连接OH，则四边形EFHO为矩形， 所以， 又平面ABCD，平面ABCD， 所以平面ABCD. （2） 【解析】 【分析】（1）取AD的中点G，连接EG，则，设E在平面ABCD内的射影为O，连接EO，则平面ABCD，证明平面ABCD，则，进而可证，再由线面平行的判定定理即可求证； （2）以C为坐标原点，分别以向量，的方向为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，利用向量法求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以C为坐标原点，分别以向量，的方向为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 设，则，，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则， 所以即得 取，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给的条件列方程求得的值，进而得到椭圆的标准方程； （2）联立圆与椭圆的方程，先求得点的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得． 【小问1详解】 由题可知，其中，所以, 又点在椭圆上，所以，即，解得， 所以椭圆E的方程为． 【小问2详解】 由椭圆的方程，得， 所以， 设，其中，因为， 所以， 又点在椭圆上，所以， 联立方程组，得， 解得或（舍）， 当时，，即或． 所以当的坐标为时，直线的方程为； 当的坐标为时，直线的方程为． 综上，直线的方程为或. 19. 如图，四棱锥中，底面是正方形，，且，平面平面，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点． （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在四棱锥中，平面平面，平面， 平面平面，，平面， 又平面，则， 又，，，平面，则平面， 而平面，于是，底面是正方形，， 是棱的中点，则，，，平面， 因此平面，而平面，所以平面平面． （2）存在，为线段中点. 【解析】 【分析】（1）推导出平面，，再由，得到平面，，推导出，从而平面，由此能证明平面平面． （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，且为线段中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，设，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，得， ，令，得， ，即， 整理得，则， 所以线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，且为线段中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $