11.1.2 《三角形的高、中线与角平分线》教学设计 2024--2025学年人教版八年级数学上册

教学设计 课题 三角形的高、中线与角平分线 课型 新授课√ 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□ 教学内容分析 三角形的高、中线与角平分线是三角形的外延知识，本课时是在研究完三角形边、角元素的基础上展开的，是本主题学习的收尾，承担了内容升华与点睛的作用。第四课时是教材11.1.2三角形的高、中线与角平分线的教学内容，正常授课时会将11.1.2与11.1.3两节内容合二为一讲解，本主题已将11.1.3三角形稳定性的内容前置，因此本课时对三角形三线做了更充分的作图探究，层层递进，拓展提升的设置加强对中线等分三角形面积的认识，调动学生探究、思考，培养学生的发散思维，激发头脑风暴。 经历本课时的学习，学生能掌握各类三角形三线的画法，认识它们的应用价值，了解三角形的重心，教学环节的设置充分考虑到学生的课堂主体性，在教师的引导下实现自主探究获取知识，作业中设置的习题更具综合性，重视学生作图能力的培养。 【第四课时教学结构图】 学习者分析 （1）与本课时学习相关的学习经验、知识储备、学科能力水平、学生兴趣与需求分析 基于前三节课的学习和练习学生已掌握三角形边和角的知识，具备一定的推理能力，能解决有一定综合性的边、角问题，鉴于此，本课时开展学生对三角形外延知识——高、中线与角平分线的探究。 我所任教班级的学生对动手探究很有热情，但作图能力有待加强，习惯于接受教师讲授的知识，缺乏自主探究经验。因此本课时设置大量的作图环节，鼓励学生动手尝试，激发学生的学习兴趣，由教师引导学生做与发现逐渐过渡到学生自主做与发现，三个探究环节的难度层层深入，经自主探究出的学习内容使得学生留下更深刻的印象，同时树立学习数学的信心。 （2）学生发展需求、发展路径分析 本课时三角形的三线属于陈述性概念的学习，依据布鲁纳的发现学习理论和萨奇曼的探究学习理论，将按照如下教学模式开展学习： 创设情境引导学生发现三线的特殊位置，从课程伊始激发学生的好奇心和求知欲，得出三线的概念，学生经历作图探究、自主探究，发现问题、提出问题，强化对三线的认识，深化几何直观。课下通过作业与检测加强三线的应用，综合三节课的知识，设置综合性较强的题目，使学生脑海中建立三角形知识体系，促进学生解决问题能力的发展。 （3）学习本课时可能碰到的困难 1.不能正确画出钝角三角形的高线； 2.画图不规范，不能发现三线交于一点； 3.拓展提升环节缺少思路，不能得出分割方法。 学习目标确定 · 理解三角形的高、中线与角平分线，了解三角形的重心，会画任意三角形的高、中线、角平分线。 · 经历从情境中抽象出特殊线段的过程，体会从一般到特殊的数学研究思想，发展空间观念与抽象能力；经历折纸、画图探究的过程，培养动手实践能力，发展几何直观；应用中线等分面积解决问题，发展应用意识。 · 通过探索与实践，发展自主探究意识，养成勇于探索的学习精神；课堂双重小结的设置，引发总结反思，渗透几何图形研究的思路方法，树立学好数学的信心。 学习重点难点 （1）学习重点 三角形的高、中线及角平分线的画法及特征； （2）学习难点 准确画出任意三角形的高、中线及角平分线，探究三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线都交于一点的过程。 学习评价设计 （1）核心素养评价 经历本课时的学习，教师从课堂表现、练习情况对学生做核心素养落实评价，对于评价等级较低的学生，教师课后对学生及其家长进行访谈。 学生核心素养落实评价表 等级 评价指标 A B C D 空间观念 能从动态实际情景中发现线段的特殊位置 抽象能力 能根据图形描述三角形三线的概念 几何直观 能通过折纸、画图的方式得到三线 能发现三角形三条中线、三条角平分线、三条高线（所在直线）交于一点 应用意识 能运用中线等分面积解决实际问题 （2）学生自我评价： 每节课后教师向学生发放课堂表现自我评价表，让学生根据自己的实际情况对自己做学习效果的评价，强调本次评价只是对学生学习过程的了解，因此学生不必多虑，只实事求是的填写。教师从以下几个方面关注学生的情况： 1.参与活动的态度与表现； 2.在每个环节对问题进行思考、分析、回答的表现； 3.应用知识解决问题的情况； 4.课堂小结时，学生对知识的概括并提出问题和想法的表现； 5.数学学习的欲望和信心。 学习活动设计 环节一：创设情境，引发思考 教师活动1 学生活动1 情境与问题：将橡皮筋的一端固定在△ABC的顶端A处，另一端从点B出发沿BC边移动到C，在移动的过程中，橡皮筋的位置不断变化，你认为其中有哪些位置是特殊的？ 教师讲解：同学们通过观察、思考，找到了三个特殊的位置：中点处、垂足处和角平分线处。如果把处于特殊位置的三条线段放入三角形中研究，我们可以得到三条线段，它们分别是：三角形的中线、高和角平分线（PPT展示图形、概念与表示方法），我们接下来进一步研究它们。 教师强调：三角形的三线为线段，不是直线或射线。 学生观察思考，尝试用语言描述特殊位置 （平分角的位置学生不易想到，教师可启发学生分别思考橡皮筋的两端如何构成特殊位置）（附自制教具图） 活动意图说明： 从学生已有知识出发，创设问题情境引发学生思考，同时关注橡皮筋两端与边和角的关系，思考严谨，发展空间观念与抽象能力，培养学生从 “一般到特殊”的研究思想，激发学生好奇心和求知欲。 环节二：逐一探究，分析思考 教师活动2 学生活动2 探究开始前，发给学生每人三张三角形纸片。 【探究1】三角形的角平分线 问题1：三角形有几条角平分线？你能用纸片折出三条角平分线吗？ 问题2：观察三条角平分线，你发现了什么？ 问题3：如何画角平分线？请你在学案中分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线。 问题4：观察图形，三条角平分线的交点在哪里？ 教师演示：教师使用几何画板演示三条角平分线交于一点，利用软件随意改变已画出的三角形形状，三条角平分线也随之改变，但它们仍交于一点且在三角形内部。 问题5：角平分线与对边的交点是否为对边的中点？你有什么方法得到线段的中点吗？ 学生折纸得出三条角平分线，发现三条角平分线交于一点 学生画图得到角平分线， 发现锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的角平分线交点都在三角形内部 活动意图说明 鼓励学生动手实践，由折纸引导学生梳理思路，有几条？有何发现？使得研究的脉络清晰，避免作图不规范不能发现交于一点的事实，为学生积累活动经验；之后学生独立画图，培养作图能力，并借助信息技术，直观展示给学生三条角平分线交于一点，能加深学生对交点的认识，最后设问引导学生自主探究中线。 教师活动3 学生活动3 【探究2】三角形的中线 问题1：三角形有几条中线？你能用纸片折出三条中线吗？ 问题2：观察三条中线，你又有何发现？请你在学案中分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条中线。 问题3：中线将三角形的边平分，可以将三角形的面积平分吗？你能证明吗？ 教师讲解：三角形三条中线交点叫做三角形的重心。 教师演示：用铅笔对准三角形的重心，可以讲三角形支起，保持平衡，这个平衡点就是三角形的重心。 基于角平分线的研究，引发学生思考，尝试自主探究，交流、归纳出三角形中线的画法及特征，发现并证明中线等分三角形面积。 活动意图说明 中线的学习承担着承上启下的作用，类比角平分线的学习，学生折纸探究，发现三条中线交于一点，作图画出中线，思考并证明中线等分三角形面积，点燃思维的火花，教师操作演示有助于加深学生对重心的认识，也能活跃课堂气氛，增加课堂的趣味性。 教师活动4 学生活动4 【探究3】三角形的高线 问题1：在探究中线的作用时，我们用到了三角形的面积公式，请大家思考三角形的高是怎么定义的？ 问题2：高怎么画？ 问题3：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高有什么区别和联系？ 教师演示：教师使用几何画板演示三条高交于一点，利用软件随意改变已画出的三角形形状，三条高线也随之改变，但它们仍交于一点。 教师介绍：三角形三条高线交点叫做三角形的垂心。 学生归纳高的定义，避免画错钝角三角形的高，在学案上分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，归纳区别与联系 活动意图说明 类比学习，归纳高的定义有助于学生画钝角三角形的高，不同三角形交点的相对位置也不同，表格归纳培养学生的语言表达能力，发现钝角三角形三条高线所在直线的交点画图不容易发掘，借助信息技术，直观规范的展示给学生三条高线所在直线交于一点，能加深学生对高线交点的认识。 环节三：课堂小结，梳理脉络 教师活动5 学生活动5 问题1：通过本节课的学习，你有哪些收获？ 问题2：纵观三角形主题的学习过程，请你回忆我们是沿着怎样的思路学习研究的？ 三角形元素 外延知识 学生回忆所学知识，梳理脉络 活动意图说明 用知识框图梳理知识，提纲挈领，重点突出，同时培养学生对数学知识的归纳能力以及对知识点概括的语言表达能力，做三角形主题的全章小结，引导学生思考主题的研究过程，渗透研究几何问题的主线、思路。 环节四：拓展提升，灵活应用 教师活动6 学生活动6 任务：一块三角形纸片， （1）要把它分成面积相等的两个三角形，怎样分？ （2）要把它分成面积相等的三个三角形，你有几种不同的分法？ 学生思考、尝试，同伴交流，课堂分享 活动意图说明 拓展活动充分应用三角形中线等分面积，鼓励学生尝试多种方法，积极思考，培养学生的发散思维，提升解题能力，体会数学问题的趣味性和数学知识的应用价值。 环节五：布置作业 1.完成本课时练习题； 2. 经过了三节课的学习，你对三角形是否有了更深刻的认识呢？请你设计一张思维导图，梳理学习过的内容． 板书设计 作业与拓展学习设计 本节课的作业我设计了以下几种类型的作业：基础性作业、拓展性作业、探究性作业和阅读环节。其中基础性作业、拓展性作业和实践性作业为必做作业，落实本节课所学的基本知识和基本技能，面向全班学生；探究性作业为选做作业，目的是为学有余力的学生设置更有挑战性的学习任务；阅读环节给学生提供了四心的知识，丰富知识、拓展视野。对学生作业我从以下几个方面关注学生情况： 1.完成作业需要的时间（基础性作业和拓展性作业）； 2.作业完成的正确率； 3.作业的完成量； 4.作业中解决问题方法的多样性和简捷性； 5.讲评后学生改错及错因分析； 6.能否提出其他有建设性的问题。 【基础性作业】预计用时9分钟 折一折 请你将课上折纸得到的三角形的高、中线和角平分线贴在下方． 设置意图：课上活动留痕，以操作的方式回顾三线的定义。 找一找 如图所示，E、F分别是△ABC的边AC、AB的中点，FD⊥AC． (1)BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的_______； (2)EF是________________的中线； (3)FD是________________的高． 设置意图：考查学生对三角形三线的认识，发现复杂图形中的基本图形。 画一画 如图，分别画出：A B C （1）△ABC中AB边上的高CD； （2）△ABC中∠ACB的角平分线CF交AB于点F； （3）△ABC中BC上的中线AM； （4）过A作BC边的垂线AN． 设置意图：考查学生三线作图。 求一求 如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的角平分线，∠BAC=，，求∠DAE的度数. 设置意图：考查学生综合运用三角形知识进行计算的能力。 【拓展性作业】预计用时15分钟 求一求 1．在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），D（3，0），AD=5，D是OB的中点，过点B作BC⊥AD交AD延长线于点C，求CB的长． 设置意图：考查学生在平面直角坐标系情境下，综合运用面积的不同算法，建立方程解决问题。 2．△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm两部分，求三角形的三边长． 设置意图：考查学生数形结合，综合运用中线等分边长，设未知数列方程解决问题。 完成时间：_____________分钟 【探究性作业】 想一想（选做） 现有一块四边形的花坛，园艺工人要种植两种不同颜色的花卉，要求两种颜色花卉的面积相等，应该如何分配该花坛？ 设置意图：考查学生知识迁移能力，将四边形问题化归为三角形问题解决。 【数学阅读，拓宽视野】 读一读 三角形的四心及其性质 1．三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内切圆的圆心，称为三角形的内心。 如果△ABC的内心为I，则有 ① I 到△ABC的三边距离相等； ② ∠AIB＝90°＋∠C； ③ 若延长CI交三角形ABC的外接圆于D，则DA=DB=DI。 2．三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点是三角形的外接圆的圆心， 称为三角形的外心。 如果△ABC的外心为O，则有 ① O到三个顶点的距离相等； ② ∠AOB＝2∠C； ③ 外心到一边的距离等于这边所对的顶点到垂心的距离的一半。 3．三角形的三条高所在的直线交于一点，这点称为三角形的垂心。 如果△ABC的垂心为H ，则有 ①若△ABC是锐角三角形 ，则∠AHB＝180°－∠C； ②若AD是△ABC的高，AD的延长线交三角形ABC的外接圆于E， 则DE=DH。 4．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。 如果△ABC的重心为G，则有 ① 重心到一个顶点的距离是到对边中点距离的2倍； ② △ABG，△BCG，△CAG的面积相等。 作业评价设计： 1. 评价方式：采取等级制评价。评价标准如下表： 作业 A+ A B C D 基础性作业 课后回顾书写完整无误，作图规范，解答正确完整，条理清晰 课后回顾书写完整无误，作图较规范，解答过程较清晰，正确率较高，有少许错误 课后回顾书写较完整，作图较规范，解答表述不清晰，答案有丢漏，错误率稍高 课后回顾没有完整书写，作图潦草，解答不完整，答案有丢漏，错误率较高 答非所问，作答不全，空题漏题，字迹潦草，语言逻辑混乱，作答错误 拓展性作业 作答正确，解答过程完整，思路清晰无误，能够熟练应用边、角、三线的知识以及分类讨论、数形结合、方程思想的方法解答 作答正确率较高，能应用边、角、三线的知识解答问题，过程较完整，表述清楚证明过程较清晰，有少许错误 书写工整，态度认真，解答较完整，但作答错误率稍高，表述不清晰，答案有丢漏 书写不够认真，解答不完整，表达逻辑不清晰，答案有丢漏，错误率较高 未能完成拓展性作业 探究性作业（选做） 方案正确，表达清晰，作图正确 方案正确，表达不清，未作图 有作答过程，但未得出正确方案 2. 学生出现的错误及原因 错误 原因分析 画图垂线出错，未标点或垂足 审题不仔细，作图规范性有待提高 解题过程描述简短，未说明关键步骤 对依据理解不深入，推理能力有待加强 求三边长忘记分类讨论， 缺少验证是否能构成三角形 缺少分类讨论意识，考虑问题不周全 直接连接四边形两对边中点分割四边形，对操作方式缺少文字描述 错误理解中线等分面积的问题情境，对从三角形到四边形知识直接迁移 3. 典型作业案例 折纸优秀作业 画图典型错误 特色学习资源分析、技术手段应用说明 （1）创设问题情境——培养抽象能力、发展空间观念 本节课的引入是让学生在运动变化中发现由三角形一顶点出发的线段与三角形边、角构成的特殊位置，由此得出三线的概念，进而开展研究。设置此环节的目的是让学生学会发现问题，会用数学的眼光观察现实世界，培养学生抽象能力，发展空间观念。 （2）养成画图习惯——深化几何直观 本节课花费了大量时间让学生独立画图，真正做到“从做中学”。画图的意义尤其重要，不能因为怕画的不准拒绝开始，绘图的标准性可以历练，但绘图的意识需要培养。经历本节课的学习，可以帮助学生克服不爱动手的弊端，鼓励大胆尝试，分析图形得出结论，深化几何直观。 （3）设问推动发展——激励自主探究 在逐一探究的过程中，教师设置问题串激发学生思维的火花。从教师引领角平分线的探究，到学生动手探究中线，再到学生自主探究高线，探究的难度不断上升，由前面三条线交于一点的事实，意识到钝角三角形的三条高所在直线可能会交于一点，并画图探究。从“教师问学生答”过渡到“学生说教师听”，学生借助类比研究的方式自主画图探索结论，养成良好的学习习惯，建立学好数学的信心。 （4）没忘记为什么出发——总结研究思路 本节课是主题的最后一个课时，三角形主题的教学不同于教材的编排，为什么这样编排？三角形主题的学习带给我们怎样的思考？主题学习渗透了研究几何图形的思路，教师引领学生回顾本节课知识的同时，有必要对三角形主题的学习做出小结，帮助学生发现研究的内在逻辑，培养自我反思的科学精神，帮助学生更上一层楼。 教学反思与改进 本节课花费大量时间让学生独立画各类三角形的高、中线和角平分线，尽管已讲解三线的定义，但学生仍有画错的情况，比如画成射线、没标垂足等，说明作图训练很有必要，不断试错，进而达到提升能力的最终目的。在课上教师给出重心的概念之后，学生问三条高线和三条角平分线的交点叫什么名字，因课上时间有限，因此把其他“心”的内容放入了作业的阅读环节里，为学生拓展视野。另外课后作业的综合性较强，学生完成效果不够理想，虽然学生的推理能力有所提升，能相对清晰的描述推理过程，但对于较复杂图形中存在的基本图形不够熟悉，日后我会给学生继续增加综合题目的练习，着重讲解对几何图形的分析，培养几何直观。 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$