第二十八章锐角三角函数专题训练 2024-2025学年人教版数学九年级下册

专题训练十　解直角三角形的常用方法 已知两边 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC的中点,AB=5,AC=3. (1)求AD的长. (2)求sin∠DAB的值. 2.(2024承德兴隆县期末)如图,在四边形ABCD中,∠DCB=∠B=90°,对角线CA⊥AD,AB=8,BC=6,P为折线BA-AD上的点. (1)求AD的长. (2)若点P在∠ACB的平分线上,求AP的长. (3)若AP=2,求tan∠PCB的值. 　备用图　　　 备用图　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 已知一边和一锐角 3.如图,已知在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,AD=2,BD=6,tan B=,E是边BC的中点. (1)求边AC的长. (2)求sin∠EAB的值. 4.如图,已知在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E. (1)若∠A=60°,求BC的长. (2)若sin A=,求AD的长. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号) 已知非直角三角形中的边和角 5.如图,在△ABC中,∠B=45°,CD是AB边上的中线,过点D作DE⊥BC,垂足为E.若CD=5,sin∠BCD=. (1)求BC的长. (2)求tan∠ACB的值. 　　　　　　　　　　　 　　　　　 解直角三角形与其他知识的综合 6.如图,▱ABCD在平面直角坐标系中,AD=6.若OA,OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根,且OA>OB. (1)求sin∠ABC的值. (2)若E为x轴上的点,且S△AOE=,求出点E的坐标,并判断△AOE与△DAO是否相似,请说明理由. 7.如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式. (2)如图1,Q是x轴上方抛物线上一点,射线QM⊥x轴于点N.若QM=BM,且tan∠MBN=,请直接写出点Q的坐标. (3)如图2,E是第一象限内一点,连接AE交y轴于点D,AE的延长线交抛物线于点P,点F在线段CD上,且CF=OD,连接FA,FE,BE,BP,若S△AFE=S△ABE,求△PAB的面积. 　　　 图1　　　　　　　图2　　 【详解答案】 1.解:(1)∵∠C=90°,AB=5,AC=3, ∴BC==4. ∵D是BC的中点,∴CD=BC=2. ∴AD=. (2)如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E. ∵D为BC的中点, ∴S△ACD=S△ADB=AC·CD=3. ∵S△ABD=AB·DE=3, ∴DE=. ∴sin∠DAB=. 2.解:(1)∵∠B=90°,AB=8,BC=6, ∴AC==10. ∵∠DCB=∠B=90°, ∴DC∥AB.∴∠DCA=∠CAB. ∵CA⊥AD,∴∠DAC=∠B. ∴△DAC∽△CBA. ∴,即. ∴AD=. (2)如图,设AP=x,则PB=AB-AP=8-x.过点P作PH⊥AC,垂足为H. ∵CP为∠ACB的平分线,∠B=90°, ∴PH=PB=8-x. ∵∠PAH=∠CAB, ∠AHP=∠B, ∴△APH∽△ACB. ∴,即. ∴AP=5. (3)分两种情况: ①当点P在AB边上时,如图1, ∵AP=2,∴PB=6.∴tan∠PCB==1. 图1　 　图2 ②当点P在AD边上时,如图2,过点P作PE⊥BC于点E,过点P作PF⊥BA交BA的延长线于点F. ∵∠B=∠F=∠BEP=90°, ∴四边形PFBE是矩形. ∴PF=BE,PE=FB. ∵∠F=∠B=∠PAC, ∴∠PAF+∠APF=∠PAF+∠CAB=90°. ∴∠APF=∠CAB. ∴△APF∽△CAB. ∴,即. ∴PF=,AF=. ∴BE=PF=. ∴CE=CB-BE=6-, PE=AF+AB=+8=. ∴tan∠PCB=. 综上所述,tan∠PCB的值为1或. 3.解:(1)∵CD⊥AB, ∴△CDA、△CDB均为直角三角形. 在Rt△CDB中, ∵BD=6,tan B=, ∴CD=4. 在Rt△CDA中, AC==2. (2)如图,过点E作EF⊥AB,垂足为F. ∵CD⊥AB,EF⊥AB, ∴CD∥EF. 又∵E是边BC的中点, ∴EF是△CDB的中位线. ∴DF=BF=BD=3,EF=CD=2. ∴AF=AD+DF=5. 在Rt△AEF中, AE=, ∴sin∠EAB=. 4.解:(1)∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tan A=, ∴∠E=30°,BE=tan 60°·6=6. 又∵∠CDE=90°,CD=4,sin E=,∠E=30°, ∴CE=2CD=8. ∴BC=BE-CE=6-8. (2)∵∠ABE=90°,AB=6,sin A=,∴设BE=4x,则AE=5x,AB==3x. ∴3x=6.∴x=2. ∴BE=8,AE=10. ∴tan E=. 解得DE=. ∴AD=AE-DE=10-. ∴AD的长为. 5.解:(1)∵DE⊥BC,sin∠BCD=, ∴设DE=3x, 则CD=5x,CE==4x. ∵CD=5,∴x=1. ∵∠B=45°,∴BE=DE=3x. ∴BC=BE+CE=7x=7. (2)如图,过点A作AF⊥BC于点F. ∴DE∥AF. ∵D是AB的中点, ∴DE是△ABF的中位线. ∴AF=2DE,BF=2BE. 由(1)可知,DE=BE=3, ∴AF=6,BF=6. ∴CF=BC-BF=7-6=1. ∴tan∠ACB==6. 6.解:(1)解方程x2-7x+12=0, 得x1=3,x2=4. ∵OA>OB,∴OA=4,OB=3. 由勾股定理,得 AB==5. ∴在Rt△OAB中,sin∠ABC=. (2)∵S△AOE=, ∴OA·OE=. ∴OE=. ∴点E的坐标为或. △AOE与△DAO相似.理由如下: ∵,,∴. ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥OC. ∴∠AOE=∠DAO=90°.∴△AOE∽△DAO. 7.解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)·(x-3)=a(x2-2x-3). ∴-3a=3.∴a=-1.∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)点Q的坐标为(2,3)或-,. 解法提示:由(1)可知,抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. 设点Q(m,-m2+2m+3),则点N(m,0). ∴BN=3-m. ∵tan∠MBN=,即, ∴MN=(3-m).∴BM=(3-m). ∴QM=BM=(3-m). 如图1.分两种情况讨论: ①当点M在线段QN上时,Q1N1=Q1M1+M1N1, ∴-m2+2m+3=(3-m)+(3-m), 即m2-5m+6=0. 解得m1=2,m2=3(舍去). 当m=2 时,-m2+2m+3=3, ∴点Q1的坐标为(2,3); 图1 ②当点M在线段QN的延长线上时,Q2N2=Q2M2-M2N2, ∴-m2+2m+3=(3-m)-(3-m), 即3m2-7m-6=0,解得m1=-,m2=3(舍去). 当m=-时,-m2+2m+3=. ∴点Q2的坐标为. 综上所述,点Q的坐标为(2,3)或. (3)如图2,过点F作FH⊥AP于点H,过点 B作BG⊥AP于点G,过点B作BK∥y轴交 AP的延长线于点K.∴KB∥y轴. ∴∠FDH=∠K,∠FHD=∠BGK=90°. 又∵S△AFE=S△ABE, ∴AE·FH=AE·BG. ∴FH=BG.∴△FDH≌△BKG. ∴FD=BK. 由(1)易得点C(0,3),∴OC=3. 设点D(0,t),∴OD=t. ∵CF=OD,∴DF=CO-CF-OD=3-2t. ∴BK=3-2t. ∵点A(-1,0),B(3,0), ∴AO=1,AB=4. ∵BK∥y轴,∴△AOD∽△ABK. ∴.∴. ∴t=.∴点D. 设直线AD的函数解析式为y=kx+e. 将点A(-1.0),D代入, 得解得 ∴y=x+.点P为直线AD与抛物线的交点,联立,得 解得(舍) ∴S△PAB=AB·yP=×4×. 图2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练九　求锐角三角函数值的方法归类 定义法 1.如图,在锐角三角形ABC中,以BC为直径的半圆O分别交AB,AC于D,E两点,且S△ADE∶S四边形BCED=1∶2,则cos∠BAC的值是 (　　) A. B. C. D. 2.如图,将∠BAC放置在5×5的正方形网格中,如果顶点A,B,C均在格点上,那么tan∠BAC的值为　　　.  3.如图,P是∠α的边OA上的一点,已知点P的横坐标为6,sin α=. (1)求点P的纵坐标. (2)求∠α其他的三角函数值. 利用同角或互余角三角函数间的关系 4.若α为锐角,且sin α=,则tan α的值为 (　　) A. B. C. D. 5.小明在探究一个角的正弦值与余弦值之间的关系时发现:sin2A+cos2A=1,已知在Rt△ABC中,cos B=,则sin B=　　　　.  巧设参数 6.(2024哈尔滨南岗区月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,则tan B= (　　) A. B. C. D. 7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AC上一点,DE⊥AB于点E,AC=12,BC=5. (1)求cos∠ADE的值. (2)当DE=DC时,求AD的长. 利用等角代换 8.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,下列三角函数值与的值不相等的是 (　　) A.sin B B.cos A C.cos∠BCD D.cos∠ACD 9.如图,A,B,C三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB绕着点A 逆时针旋转得到△AC'B',则tan B'的值为 (　　) A. B. C. D. 10.如图,AB是☉O的直径,若AB=15,AC=9,则cos∠ADC=　　　　.  11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处,EF为折痕.若AE=3,则sin∠BFD 的值为　　　　.  12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,且AH=2CH.求sin B的值. 巧构直角三角形 13.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sin B的值为 (　　) A. 　　 B.　 　 C.1　 　 D. 14.(2024阜阳期末)如图,在平面直角坐标系中,OC∶BC=1∶2,OP∥AB交AC的延长线于点P.若点P(1,1),则tan∠OAP的值是 (　　) A. B. C. D.3 15.如图,在△ABC中,点O是角平分线AD,BE的交点.若AB=AC=20,BC=24,则tan∠OBD的值是　　　　.  16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,延长斜边AB到点D,使AB=4BD,连接CD.若tan∠ABC=,则tan∠BCD=　　　　.  17.(2024滁州期末)如图,在△ABC中,AB=AC=4,BC=6. (1)求sin B的值. (2)延长BC至点D,使得∠ADB=30°,求CD的长. 【详解答案】 1.D　解析:如图,连接CD. ∵四边形BCED是半圆O的内接四边形, ∴∠ACB+∠BDE=180°. ∵∠ADE+∠BDE=180°, ∴∠ADE=∠ACB,∠DAE=∠CAB. ∴△ADE∽△ACB. ∵S△ADE∶S四边形BCED=1∶2, ∴S△ADE∶S△ACB=1∶3. ∴AD∶AC=∶3. ∵BC为半圆O的直径,∴∠BDC=90°. ∴cos∠BAC=.故选D. 2.1　解析:如图,连接BC. ∴AB=BC=,AC==2. ∴AB2+BC2=AC2. ∴△ABC是等腰直角三角形, 且∠ABC=90°. ∴∠BAC=45°.∴tan∠BAC=1. 3.解:(1)如图,过点P作PM⊥x轴于点M. ∴∠PMO=90°. ∵点P的横坐标为6, sin α=, ∴. 设PM=4x,则OP=5x. 由勾股定理,得OM2+PM2=OP2, 即62+(4x)2=(5x)2. 解得x=2(负值已舍去). PM=8,OP=10. ∴点P的纵坐标是8. (2)∵在Rt△OMP中,∠PMO=90°,OP=10,PM=8,OM=6, ∴cos α=, tan α=. 4.D　解析:∵α为锐角,且sin α=, ∴cos α=. ∴tan α=.故选D. 5.　解析:由题意,得sin2B+cos2B=1,cos B=. ∴sin B==. 6.C　解析:在Rt△ABC中,∠C=90°, 设Rt△ABC的三边AB,AC,BC所对应的边为c,b,a. ∵cos A=,∴设b=2x, 则c=3x,a=x. ∴tan B=. 故选C. 7.解:(1)∵DE⊥AB, ∴∠DEA=90°. ∴∠A+∠ADE=90°. ∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°. ∴∠ADE=∠B. 在Rt△ABC中,∵AC=12,BC=5, ∴AB==13. ∴cos B=. ∴cos∠ADE=cos B=. (2)由(1),得cos∠ADE=. 设AD为x,则DE=DC=x. ∵AC=AD+CD=12, ∴x+x=12. 解得x=. ∴AD=. 8.D　解析:如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高, ∴∠ADC=∠BDC=90°. ∴∠B+∠BCD=90°,∠A+∠ACD=90°. ∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCD=90°. ∴∠B=∠ACD,∠A=∠BCD. 在Rt△BCD中,sin B=cos∠BCD=. ∵∠A=∠BCD, ∴cos A=cos∠BCD=. 综上所述,A、B、C均不符合题意.故选D. 9.B　解析:如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D. 根据旋转的性质可知,∠B'=∠B. 在Rt△BCD中, ∵tan B=, ∴tan B'=tan B=.故选B. 10.　解析:∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB = 90°,∠ADC=∠ABC. ∵AB=15,AC=9, ∴BC==12. ∴cos∠ADC=cos∠ABC=. 11.　解析:∵在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4, ∴∠A=∠B. 由折叠的性质,得△AEF≌△DEF. ∴∠EDF=∠A,AE=DE. ∴∠EDF=∠B. ∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°. ∴∠CDE=∠BFD.又∵AE=DE=3, ∴CE=4-3=1. ∴在Rt△ECD中,sin∠BFD=sin∠CDE=. 12.解:∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线, ∴CD=BD. ∴∠BCD=∠B. ∵AE⊥CD,∠ACB=90°, ∴∠CAH+∠ACH=90°,∠BCD+∠ACH=90°. ∴∠BCD=∠CAH.∴∠B=∠CAH. ∵在Rt△ACH中,AH=2CH, ∴AC=CH. ∵sin∠CAH=, ∴sin B=sin∠CAH=. 13.D　解析:如图,过点A作BC的垂线,与BC的延长线交于点D. 在Rt△ABD中, ∵AD=3,BD=3, ∠ADB=90°, ∴∠ABD=45°. ∴sin B=sin 45°=.故选D. 14.C　解析:如图,过点P作x轴的垂线,垂足为M. ∵OP∥AB, ∴∠ABC=∠POC,∠BAC=∠OPC. ∴△ABC∽△POC. ∴AC∶PC=BC∶OC=2∶1. ∴AC∶AP=2∶3. 又∵PM∥CO, ∴AO∶AM=AC∶AP=2∶3. ∵点P的坐标为(1,1), ∴OM=PM=1. ∴.解得AO=2. ∴AM=2+1=3. 在Rt△PAM中,tan∠OAP=. 故选C. 15.　解析:如图,过点O作AB的垂线,垂足为M. ∵AB=AC,AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC,BD=BC=12. 又∵BE平分∠ABC, ∴OD=OM. 在Rt△ABD中, AD==16. ∵S△ABO+S△DBO=S△ABD, ∴AB·OM+BD·OD=BD·AD. ∴×20·OD+×12·OD=×12×16. 解得OD=6. 在Rt△BOD中,tan∠OBD=. 16.　解析:如图,过点D作CB的垂线,交CB的延长线于点M. 在Rt△ABC中, ∵tan∠ABC=, 即, ∴设AC=3k,BC=4k. ∴AB==5k. ∵AB=4BD, ∴BD=k. ∵∠ACB=∠DMB,∠CBA=∠MBD, ∴△ABC∽△DBM. ∴. ∴DM=k,BM=k. ∴CM=4k+k=5k. 在Rt△DCM中, tan∠BCD=. 17.解:(1)如图,过点A作BC的垂线,垂足为M. ∵AB=AC=4,BC=6, ∴BM=CM=3. 在Rt△ABM中, ∵AM=, ∴sin B=. (2)在Rt△ADM中,tan D=tan 30°=, 即, ∴DM=. ∴CD=DM-CM=-3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练十一　构造基本图形解直角三角形的实际问题 构造形如“”(母子型)的两个直角三角形　　　　　 　　　　　　　　 1.某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动,测量一座诸葛亮铜像的高度.如图,在点C处,探测器显示,热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32 m,从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°,看铜像底部B的俯角为63.4°.已知底座BD的高度为4 m,求铜像AB的高度.(结果保留整数.参考数据:sin 63.4°≈0.89,cos 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00,≈1.41) 2.如图,直线MN和EF为河的两岸,且MN∥EF,为了测量河两岸之间的距离,某同学在河岸FE的点B处测得∠CBE=30°,从点B沿河岸FE的方向走40 m到达点D,测得∠CDE=45°. (1)河两岸之间的距离是多少米(结果保留根号)? (2)若从点D继续沿DE的方向走(12+12)m到达点P,求tan∠CPE的值. 构造形如“”(背靠背型)的两个直角三角形　　　 　　　　　　　 3.如图,在建筑物AB上,挂着40 m长的宣传条幅AE,从另一建筑物CD的顶端D处看条幅顶端A,仰角为45°,看条幅底端E处,俯角为30°.求两建筑物间的距离BC.(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73) 4.人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A,B养殖场捕捞海产品.经测量,A在灯塔C的南偏西60°方向,B在灯塔C的南偏东45°方向,且在A的正东方向,AC=3 600 m,如图所示. (1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果精确到个位). (2)甲组完成捕捞后,乙组还未完成捕捞,甲组决定前往B处协助捕捞.若甲组航行的平均速度为600 m/min,请计算说明甲组能否在9 min内到达B处? (参考数据:≈1.414,≈1.732) 构造形如“”(拥抱型)的两个直角三角形　　　　　 　　　　　　　 5.“游张家界山水,逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色.某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度,测量方案如图,先将无人机垂直上升至距水平地面225 m的点P处,测得奇楼顶端A的俯角为15°,再将无人机沿水平方向飞行200 m到达点Q,测得奇楼底端B的俯角为45°,求奇楼AB的高度.(结果精确到1 m,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27) 6.如图,AB为东西走向的滨海大道,小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动,小宇在点A处时,某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处,观光船到滨海大道的距离CB为200 m.当小宇沿滨海大道向东步行200 m到达点E时,观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处,此时,观光船恰好在小宇的正北方向.求观光船从点C处航行到点D处的距离.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,sin 68°≈0.93,cos 68°≈0.37,tan 68°≈2.48) 【详解答案】 1.解:由题意,得四边形BFCG、四边形BDEF为矩形.∴BG=CF,CG=BF,EF=BD. ∵在矩形BDEF中,EF=BD=4 m,CE=32 m, ∴CF=32-4=28(m). ∵tan∠CBF=tan 63.4°=, ∴2.00=,即BF=14 m. ∴CG=BF=14 m. ∵∠GCA=45°,∴AG=GC=14 m. ∴AB=BG-AG=CF-AG=28-14=14(m). ∴铜像AB的高度为14 m. 2.解:(1)如图,过点C作CH⊥EF于点H. 在Rt△CHB中, ∵tan∠CBH=tan 30°=, ∴HB=CH. 在Rt△CHD中,∵∠CDH=45°, ∴CH=DH. 又∵HB-DH=BD=40. ∴CH-CH=40. 解得CH=20+20. ∴河两岸之间的距离是(20+20)m. (2)在Rt△CHP中,HP=HD-PD=CH-PD=20+20-(12+12)=8+8(m). ∴tan∠CPE=. 3.解:如图,过点D作DF⊥AE于点F,设DF=x m. ∵仰角为45°,DF⊥AE, ∴∠DAF=45°. ∴△ADF是等腰直角三角形. ∴AF=DF=x m, EF=(40-x)m. 在Rt△DEF中,tan∠EDF=tan 30°=, ∴. ∴3(40-x)=x. ∴x≈25.4. ∴两建筑物间的距离BC约为25.4 m. 4.解:(1)如图,过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中,∠ACD=60°,AC=3 600 m,cos 60°=,sin 60°=, ∴AD=3 600×=1 800(m), CD=×3 600=1 800(m). 在Rt△BCD中,∠BCD=45°, ∴∠B=∠BCD=45°.∴BD=CD=1 800 m. ∴BC==1 800≈1 800×1.414≈2 545(m). ∴B养殖场与灯塔C的距离约为2 545 m. (2)AB=AD+BD=1 800+1 800≈1 800×1.732+1 800=4 917.6(m), 600×9=5 400(m). ∵5 400 m>4 917.6 m. ∴甲组能在9 min内到达B处. 5.解:如图,延长BA交PQ的延长线于点C. 则∠ACQ=90°. 由题意,得BC=225 m,PQ=200 m. 在Rt△BCQ中,∵∠BQC=45°, ∴CQ=BC=225 m. ∴PC=PQ+CQ=425 m. 在Rt△PCA中, tan∠APC=tan 15°=≈0.27, ∴AC≈114.75 m. ∴AB=BC-AC=225-114.75=110.25≈110(m). ∴奇楼AB的高度约为110 m. 6.解:如图,过点C作CF⊥DE于点F. 由题意,得∠D=40°, ∠ACB=68°. 在Rt△ABC中, ∠CBA=90°, ∵tan∠ACB=, ∴AB=CB·tan 68°≈200×2.48=496(m). ∴BE=AB-AE=496-200=296(m). ∵∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°, ∴四边形FEBC为矩形. ∴CF=BE=296 m. 在Rt△CDF中,∠DFC=90°. ∵sin D=, ∴CD=≈=462.5(m). ∴观光船从点C处航行到点D处的距离约为462.5 m. 学科网（北京）股份有限公司 $$