第二十七章 相似 专题训练 2024-2025学年 人教版数学九年级下册

专题训练七　相似三角形与动态几何问题 图形的平移与相似三角形 1.(1)写出判定菱形相似的一种判定方法:　　　　　　　　　　　,则这两个菱形相似.  (2)如图,将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A'B'C'D'.求证:四边形A'FCE是菱形,且菱形ABCD∽菱形A'FCE. (3)若AC=,菱形A'FCE的面积是菱形ABCD面积的一半,求平移的距离AA'的长. 　　　　　　　　　　　 　　　　　 图形的旋转与相似三角形 2.(2024唐山月考)在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起,如图1所示,点A为公共顶点,点D在AB的延长线上,∠BAC=∠AED=90°,AB=AE=2.若将△ABC固定不动,把△ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°),此时线段AD,射线AE分别与射线BC交于点M,N. (1)当△ADE旋转到如图2所示的位置时, ①求证:△ABN∽△MAN. ②在图2中除△ABN∽△MAN外还有哪些相似三角形?直接写出. ③如图2,若BM=1,求BN的长. (2)在旋转过程中,若BM=d,则CN的长为　　　　　　(用含d的式子表示).  图1 　图2 图形的翻折与相似三角形 3.如图,直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,过点B的抛物线y=-x2+bx+c与直线BC交于点D(3,-4). (1)求直线BD和抛物线的解析式. (2)在第一象限内的抛物线上,是否存在一点M,作MN垂直于x轴,垂足为N,使得以点M,O,N为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 　　　　　　　　　　　 　　　　　 动点问题与相似三角形 4.如图,在△ABC中,BA=BC=20 cm,AC=30 cm,点P从点A出发,沿AB以4 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点C出发,沿CA以3 cm/s的速度向点A运动.设运动时间为x s. (1)当x为何值时,PQ∥BC? (2)当△APQ与△CQB相似时,AP的长为　　　　　　　　.  (3)当S△BCQ∶S△ABC=1∶3,求S△APQ∶S△ABQ的值. 5.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=5 cm,BC=6 cm,点P从点B开始沿BC边以每秒1 cm的速度向点C运动,点Q从点C开始沿CA边以每秒2 cm的速度向点A运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交BC于点E.点P,Q分别从B,C两点同时出发,当点Q运动到点A时,点Q,P停止运动,设它们运动的时间为x s. (1)当x=　　　　s时,射线DE经过点C.  (2)当点Q运动时,设四边形ABPQ的面积为y cm2,求y与x的函数解析式(不用写出自变量的取值范围). (3)当点Q运动时,是否存在以点P,Q,C为顶点的三角形与△PDE相似?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由. 【详解答案】 1.解:(1)有一组角对应相等(或两组对角线对应成比例) (2)证明:由题意知,FC∥A'E,EC∥A'F, ∴四边形A'FCE是平行四边形. ∵AC平分∠DCB,A'C'平分∠D'A'B,即A'C平分∠EA'F,∠ECF, ∴EA'C=∠FA'C=∠A'CE, ∴EA'=EC. ∴▱A'FCE是菱形. 由平移,得∠DAB=∠D'A'B', ∴菱形ABCD∽菱形A'FCE. (3)∵菱形ABCD∽菱形A'FCE,菱形A'FCE的面积是菱形ABCD面积的一半, ∴菱形ABCD与菱形A'FCE的面积之比为2∶1. ∴对应边之比为∶1, 即AC∶A'C=∶1. ∵AC=, ∴A'C=1. ∴AA'=AC-A'C=-1. 2.解:(1)①证明:∵△ABC与△EAD为等腰直角三角形, ∴∠ABN=∠MAN=45°. 又∵∠ANB=∠MNA, ∴△ABN∽△MAN. ②△ACM∽△NAM,△ABN∽△MCA. ③在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2, ∴BC==4. ∴CM=BC-BM=3. ∵∠AMC=∠B+∠BAM=45°+∠BAM,∠NAB=∠MAN+∠BAM=45°+∠BAM, ∴∠NAB=∠AMC. ∵∠B=∠C, ∴△ABN∽△MCA. ∴,即. 解得BN=. (2)或 解析:如图1,当点N在线段BC上时, 图1 由③可知△ABN∽△MCA, ∴,即. 解得BN=. ∴CN=BC-BN=4-. 如图2,当点N在线段BC的延长线上时, 图2 CN=BN-BC=-4=. 综上所述,CN的长为或. 3.解:(1)在y=2x+2中, 当x=0时,y=2, ∴点B(0,2). 当y=0时,x=-1, ∴点A(-1,0). ∵抛物线y=-x2+bx+c过点B(0,2),D(3,-4), ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2. 设直线BD的解析式为y=kx+n(k≠0). 代入点B(0,2),D(3,-4),得 解得 ∴直线BD的解析式为y=-2x+2. (2)存在. 如图,设点M(m,-m2+m+2). ∵MN⊥x轴, ∴MN=-m2+m+2,ON=m. ∵直线BD的解析式为y=-2x+2, 当y=0时,x=1, ∴点C(1,0). ∴OC=1. ∵点B(0,2), ∴OB=2. ①若△BOC∽△MNO, 则, 即, 解得m1=1,m2=-2(舍去). 当m=1时,-m2+m+2=2, ∴点M(1,2). ②若△BOC∽△ONM, 则, 即, 解得m1=,m2=(舍去). 当m=时,-m2+m+2=. ∴点M, 综上所述,点M的坐标为(1,2)或. 4.解:(1)由题意,得PQ∥BC,则AP∶AB=AQ∶AC,CQ=3x,AP=4x,AQ=30-3x. ∴. ∴x=. (2) cm或20 cm 解析:易知∠A=∠C,故△APQ与△CQB相似有两种情况. 情况1:当△APQ∽△CQB时,CQ∶AP=BC∶QA, 即,解得x=或x=0. 经检验,x=是原分式方程的解,且符合题意,此时AP= cm. 情况2:当△APQ∽△CBQ时,CQ∶AQ=BC∶PA, 即,解得x=5或x=-10. 经检验,x=5是原分式方程的解,且符合题意,此时AP=20 cm. 所以AP= cm或AP=20 cm. (3)当S△BCQ∶S△ABC=1∶3时,, ∴. ∵CQ∶AC=1∶3,AC=30, ∴CQ=10=3x. ∴x=. ∴AP=4x=. ∴AP∶AB=∶20=2∶3. ∴. 5.解:(1)2 解析:如图1,当DE经过点C时,点E与点C重合, ∵DE⊥PQ,PD=QD, ∴PC=CQ,PC=6-x,CQ=2x,即6-x=2x,得x=2. ∴当x=2时,射线DE经过点C. 图1 (2)如图2,分别过点Q,A作QN⊥BC,AM⊥BC,垂足分别为N,M.∴QN∥AM. ∵AB=AC=5 cm,BC=6 cm, ∴BM=CM=BC=3 cm ∴AM==4(cm). ∵QN∥AM, ∴△QNC∽△AMC. ∴,即. ∴QN=x. 又∵PC=6-x, ∴S△PCQ=PC·QN=(6-x)·x. ∴y=S△ABC-S△PCQ=×6×4-(6-x)x, 即y=x2-x+12. 图2　 　图3 (3)存在. 如图3,过点A作AM⊥BC于点M. ∵DE⊥PQ, ∴PQ⊥AC时,AC∥DE. ∴△PQC∽△PDE. 此时,△PQC∽△AMC, ∴,即. ∴x=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练四　相似三角形的基本模型 “A”字型及其变形 1.(2024秦皇岛青龙县期末)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE与BC不平行,添加下列条件之一仍不能判定△ADE∽△ACB的是 (　　) A. B. C.∠AED=∠B D.∠ADE=∠C 2.如图,在菱形ABCD中,点E在边AD上,射线CE交BA的延长线于点F.若,AB=3,则AF的长为 (　　) A.1 B. C. D.2 3.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,连接DE. (1)若AD·AB=AE·AC,求证:△ADE∽△ACB. (2)若AB=8,AC=6,AD=3,当AE=　　　　　时,△ADE与△ACB相似.  “X”字型及其变形 4.如图,AD,BC相交于点O,由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是 (　　) A.AB∥CD B.∠A=∠D C. D. 5.如图,BE是△ABC的角平分线,延长BE至点D,使得BC=CD. 求证:△AEB∽△CED. 　　　　　　　　　　　 　　　　　 旋转型 6.(2024西安长安区期末)如图,已知∠1=∠2,点D在BC上,添加下列条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是 (　　) A.∠B=∠ADE B.∠2=∠EDC C. D. 7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n°后,得到△DEC,点D刚好落在边AB上,DE交BC于点O. (1)n的值是　　　　　.  (2)若F是DE的中点,求证:△ABC∽△FCO. 　 双垂直型及其变形 8.如图,已知∠ACB=∠ADC=90°,AD=2,CD=,当AB的长为　　　　时,△ACB与△ADC相似.  9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,E为BC上一点,连接AE,作EF⊥AE交AB于点F. (1)求证:△AGC∽△EFB. (2)除(1)中相似三角形,图中还有其他相似三角形吗?如果有,请把它们都写出来. 　　　　　　　　　　　 　　　　　 一线三等角型 10.如图,在边长为9的等边三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为　　　.  11.如图1中,∠ABC=90°,点B在直线l上,过A,C两点作直线l的垂线段,垂足分别为D,E,容易证得△ADB∽△BEC.此图形如横放的大写英文字母“K”,故常称之为“K形图”,又因为图中的三个直角顶点在同一直线上,又称之为“一线三垂直”,是学习相似三角形的基本图形之一.请以“K形图”为模型,解答下面问题: (1)当图1中∠ABC=∠ADB=∠BEC=90°,改为图2中的∠ABC=∠ADB=BEC=α,请问△ADB∽△BEC的结论还成立吗?若成立,请证明这个结论;若不成立,请说明理由. (2)如图3,在等边三角形ABC中,AB=6,将一直角三角尺DEF的60°角的顶点E置于边BC上移动(不与点B,C重合),移动过程中,始终满足直角边DE经过点A,斜边EF交AC于点G.求线段AG长度的最小值. 　　　　　 图1 　　　　　　图2 　　　　　　　　图3　　　 【详解答案】 1.B　解析:∵∠DAE=∠CAB,∴当∠ADE=∠C时,△ADE∽△ACB;当∠AED=∠B时,△ADE∽△ACB;当时,△ADE∽△ACB.故选B. 2.C　解析:∵四边形ABCD为菱形, ∴AD∥CB,AB=BC=AD. ∵, ∴. ∴. ∵AD∥CB, ∴△FAE∽△FBC. ∴. ∴. ∴AF=. 故选C. 3.解:(1)证明:∵AD·AB=AE·AC. ∴. 又∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACB. (2)或4 4.D　　解析:A.由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC,故本选项不符合题意.B.由∠AOB=∠DOC,∠A=∠D能判定△AOB∽△DOC,故本选项不符合题意.C.由,∠AOB=∠DOC能判定△AOB∽△DOC,故本选项不符合题意.D.已知两组对应边的比相等,但其夹角不一定对应相等,不能判定△AOB与△DOC相似,故本选项符合题意.故选D. 5.证明:∵BE是△ABC的角平分线, ∴∠ABE=∠CBE. ∵BC=CD, ∴∠CDE=∠CBE=∠ABE. 又∵∠AEB=∠CED, ∴△AEB∽△CED. 6.D　解析:A.∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.又∵∠B=∠ADE,∴△ABC∽△ADE.故本选项不符合题意;B.∵∠2=∠EDC,∴∠E=∠C.又∵∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE.故本选项不符合题意;C.∵∠BAC=∠DAE,,∴△ABC∽△ADE.故本选项不符合题意;D.∠BAC=∠DAE,,不符合相似三角形的判定定理,不能推出△ABC∽△ADE,故本选项符合题意.故选D. 7.解:(1)60 (2)证明:∵∠ACB=90°,∠B=30°, ∴∠A=90°-∠B=60°. 由旋转,得CD=CA. ∴△ACD是等边三角形. ∴∠ACD=60°. ∵△ABC绕点C旋转后得△DEC, ∴∠CDE=∠A=60°, ∠DCE=∠ACB=90°. ∴∠CDE=∠ACD. ∴AC∥DE. ∴∠COF=∠ACB=90°. 在Rt△DCE中,∵F是DE的中点, ∴CF=DF. ∴△CDF为等边三角形. ∴∠DFC=60°. ∴∠A=∠OFC. ∴△ABC∽△FCO. 8.3或3　解析:∵AD=2,CD=,∠D=90°, ∴AC=. 要使这两个直角三角形相似,有两种情况:①当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有,即,∴AB=3. ②当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有,即,∴AB=3. ∴当AB的长为3或3时,△ACB与△ADC相似. 9.解:(1)证明:∵CD⊥AB,EF⊥AE, ∴∠FDG=∠FEG=90°. ∴∠DGE+∠DFE=360°-90°-90°=180°. ∵∠BFE+∠DFE=180°, ∴∠BFE=∠DGE. ∵∠DGE=∠CGA, ∴∠CGA=∠BFE. ∵∠ACB=∠FEG=90°, ∴∠AEC+∠BEF=180°-90°=90°,∠AEC+∠EAC=90°. ∴∠EAC=∠BEF, 又∠CAG=∠BEF. ∴△AGC∽△EFB. (2)有. ∵∠GAD=∠FAE,∠ADG=∠AEF=90°, ∴△AGD∽△AFE. ∵∠CAD=∠BAC,∠ADC=∠ACB=90°, ∴△ACD∽△ABC. 同理得△BCD∽△BAC. ∴△ACD∽△CBD. ∴△ACD∽△ABC∽△CBD. 10.7　解析:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°,AB=AC=BC=9. ∵∠ADE=60°, ∴∠ADB+∠EDC=120°. 又∵∠BAD+∠ADB=120°, ∴∠DAB =∠EDC. ∴△ABD∽△DCE. ∴, 即.解得 CE =2. ∴AE =AC-CE=7. 11.解:(1)结论仍然成立.证明如下: 根据三角形外角的性质,得∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠A+∠ADB. ∵∠ABC=∠ADB=∠BEC=α, ∴∠A=∠CBE. ∴△ADB∽△BEC. (2)∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=6,∠B=∠C=60°. 设BE=x. ∴CE=6-x. ∵∠B=∠AEG=∠C=60°, 由(1)知,△ECG∽△ABE, ∴. ∴. ∴CG=-x2+x=-(x-3)2+. ∵-<0, ∴当x=3时,CG有最大值,为. ∴AG最短为6-. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练六　相似三角形性质与判定的综合应用 确定相似三角形的对数 1.如图,O是△ABC内任意一点,D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,则图中的相似三角形有 (　　) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 2.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,DE⊥BC于点E.除Rt△ABC自身外,图中与Rt△ABC相似的三角形的个数是　　　　.  3.如图,在△ABC中,AB=2,BC=5,且∠ABC=2∠C,为了求边AC的长,聪明的小亮想出了一个好办法,将边BC反向延长至点D,使DB=AB,连接AD,从而小亮发现图中存在一对相似三角形,问题便迎刃而解了. (1)请你找出图中存在的一对相似三角形,并进行证明. (2)求边AC的长. 利用三角形相似求线段长 4.如图,△ABC∽△ADE,S△ABC∶S四边形BDEC=1∶2,其中BC=,DE的长为 (　　) A.6 B. C. D.5 5.如图,△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=90°,AB=3,AC=4,D是线段BC上一动点,若点D从点B开始向点C运动. (1)当BD=2时,CE=　　　　.  (2)设P为线段DE的中点,在点D的运动过程中,CP的最小值是　　　　.  6.如图,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N. (1)求证:△ABM∽△EFA. (2)若AB=12,BM=5,求AE的长. 利用三角形相似求比值 7.如图,在▱ABCD中,点E在边DC上,DE∶EC=3∶1,连接AE交BD于点F,则△DEF的周长与△BAF的周长之比为(　　) A.9∶16 B.3∶4 C.9∶1 D.3∶1 8.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠ADE=∠C,线段AG分别交线段DE,BC于点F,G,且. (1)求证:△AEF∽△ABG. (2)若,求的值. 利用三角形相似求角度 9.(2024上海长宁区月考)在△ABC和△DEF中,∠A=40°,∠D=60°,∠E=80°,,那么∠B= 　　　　　　. 10.如图,四边形ABCD,四边形CDEF,四边形EFGH是三个相连的正方形,连接AC,AF,AG.若∠BGA=20°,则∠BFA=　　　　.  利用三角形相似证明比例式或等积式 11.如图,在正方形ABCD中,作等边三角形BPC,分别延长BP,CP交AD于点E,F,连接BD,DP,BD与CF交于点H. (1)求∠PDE的度数. (2)求证:DE2=PE·BE. 12.(2024石家庄赵县期末)如图,在▱ABCD中,E是AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F. (1)求证:AF=AB. (2)G是线段AF上一点,满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H. ①求证:AH·CH=DH·GH. ②若AG=2,FG=6,求GH的长. 相似与图形变换 13.如图,在菱形ABCD中,∠ABC是锐角,E是BC边上的动点(不与点B,C重合),将射线AE绕点A按逆时针方向旋转,交线段CD于点F.当∠EAF=∠BAD时,延长线段BC交射线AF于点M,延长线段DC交射线AE于点N,连接AC. (1)求证:△ANC∽△MAC. (2)连接MN,若AB=4,AC=2,则当△AMN是以MN为腰的等腰三角形时,求CE的长. 【详解答案】 1.D　解析:∵D,E,F分别为OA,OB,OC的中点, ∴DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC. ∴△ODE∽△OAB,△OEF∽△OBC,△ODF∽△OAC. ∴∠ODE=∠OAB,∠ODF=∠OAC. ∴∠ODE+∠ODF=∠OAB+∠OAC. ∴∠EDF=∠BAC. 同理可得∠DEF=∠ABC. ∴△DEF∽△ABC. ∴图中共有4对相似三角形. 故选D. 2.4　解析:∵CD是斜边AB上的高,DE⊥BC于点E, ∴∠CDA=∠CDB=90°,∠CED=∠BED=90°. 在Rt△ABC和Rt△ACD中, ∴Rt△ABC∽Rt△ACD. 在Rt△ABC和Rt△CBD中, ∴Rt△ABC∽Rt△CBD. ∵DE⊥BC,∠ACB=90°, ∴AC∥DE. ∴Rt△ABC∽Rt△DBE. ∵∠A+∠B=90°,∠B+∠DCB=90°, ∴∠A=∠DCE. 在Rt△ABC和Rt△CDE中, ∴Rt△ABC∽Rt△CDE. ∴图中与Rt△ABC相似的三角形有4个. 3.解:(1)△DBA∽△DAC. 证明:∵DB=AB, ∴∠D=∠DAB=∠ABC. ∵∠ABC=2∠C, ∴∠D=∠DAB=∠C. ∴DA=AC. ∵∠D=∠D,∠DAB=∠C, ∴△DBA∽△DAC. (2)∵AB=2,BC=5,DB=AB, ∴DB=2. ∴CD=BC+DB=7. ∵△DBA∽△DAC, ∴DB∶DA=DA∶DC. ∴2∶DA=DA∶7. 解得DA=. ∵DA=AC, ∴AC=. 4.B　解析:∵△ABC∽△ADE,S△ABC∶S四边形BDEC=1∶2, ∴S△ABC∶S△ADE=1∶3. ∴. ∵BC=, ∴DE=.故选B. 5.(1)　(2)2　解析:(1)∵△ABC∽△ADE, ∴,∠BAC=∠DAE. ∴∠BAD=∠CAE,. ∴△BAD∽△CAE. ∴. ∵BD=2. ∴CE=. (2)由(1)知,△BAD∽△CAE, ∴∠ABD=∠ACE. ∵∠BAC=90°, ∴∠ABD+∠ACB=90°. ∴∠ACB+∠ACE=90°. ∴∠DCE=90°. ∵P为线段DE的中点,∴DP=PE. ∴CP=DE. ∵△ABC∽△ADE, ∴当AD的值最小时,DE的值最小,此时CP的值最小. ∵AB=3,AC=4,∠BAC=90°, ∴BC==5. 根据垂线段最短可知,当AD⊥BC时,AD的值最小,此时AD=, ∵△ABC∽△ADE,∴,即.∴DE=4. ∴CP的最小值为×4=2. 6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC. ∴∠AMB=∠EAF. 又∵EF⊥AM, ∴∠AFE=90°. ∴∠B=∠AFE. ∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B=90°,AB=12,BM=5, ∴AM==13. ∵F是AM的中点, ∴AF=AM=6.5. ∵△ABM∽△EFA, ∴,即. ∴AE=16.9. 7.B　解析:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴DC∥AB,DC=AB. ∴∠EDF=∠ABF. ∵∠DFE=∠BFA, ∴△DFE∽△BFA. ∴△DFE与△BFA的相似比为DE∶AB. ∵DE∶EC=3∶1, ∴DE∶DC=3∶4. ∴DE∶AB=3∶4. 根据△DEF的周长与△BAF的周长之比等于△DFE与△BFA的相似比可得C△DEF∶C△BAF=3∶4. 故选B. 8.解:(1)证明:∵∠ADE=∠C,∠DAE=∠CAB, ∴△AED∽△ABC. ∴∠AED=∠B. ∵, ∴△AEF∽△ABG. (2)∵△AEF∽△ABG, ∴. ∵, ∴. ∴. 9.60°　解析:∵∠D=60°,∠E=80°, ∴∠F=180°-∠D-∠E=40°. ∴∠A=∠F. ∵,∴. ∴△ABC∽△FDE. ∴∠B与∠D是对应角. ∴∠B=∠D=60°. 10.25°　解析:设正方形的边长是1. ∴AB=BC=CF=FG=1. ∴BF=CG=2,BG=3. 由勾股定理,得AC=,AF=,AG=. ∴, ,. ∴. ∴△ACF∽△GCA. ∴∠FAC=∠AGC. ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ACB=45°. ∴∠BFA+∠FAC=∠ACB=45°. ∴∠AGC+∠BFA=45°. ∵∠BGA=∠AGC=20°, ∴∠BFA=45°-∠AGC=25°. 11.解:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=CD=DA=AB,∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°. ∵△BPC是等边三角形, ∴BP=PC=CB,∠PBC=∠BCP=∠CPB=60°. ∴PC=CB=CD,∠DCP=∠BCD-∠BCP=90°-60°=30°. ∴∠CPD=∠CDP==75°. ∴∠PDE=∠CDA-∠CDP=90°-75°=15°. (2)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABD=∠CBD=45°. ∵∠PBC=60°, ∴∠DBE=∠PBC-∠CBD=15°. ∴∠PDE=∠DBE. ∵∠PED=∠DEB, ∴△PED∽△DEB. ∴. ∴DE2=PE·BE. 12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,CD∥AB. ∴∠D=∠FAE,∠DCE=∠F. ∵E是AD的中点, ∴DE=AE. ∴△CDE≌△FAE(AAS). ∴CE=EF. ∵AE∥BC, ∴=1. ∴AF=AB. (2)①证明:∵CD∥AF, ∴△AGH∽△DCH. ∴. ∴AH·CH=DH·GH. ②∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CD=AB. ∵∠DCE=∠F,∠FCG=∠FCD, ∴∠F=∠FCG. ∴CG=FG. ∵AG=2,FG=6, ∴AF=FG+AG=6+2=8,CG=FG=6. ∴AB=AF=8. ∴CD=AB=8. 由①,得△DCH∽△AGH. ∴,即. ∴GH=1.2. 13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴∠BAC=∠DAC=∠BAD,∠ACB=∠ACD. ∵∠EAF=∠BAD, ∴∠EAF=∠BAC. ∴∠EAF-∠CAE=∠BAC-∠CAE. ∴∠MAC=∠NAB. ∵AB∥CD, ∴∠ANC=∠NAB. ∴∠ANC=∠MAC. ∵∠ACB=∠ACD,∠BCN=∠DCM, ∴∠ACB+∠BCN=∠ACD+∠DCM. ∴∠ACN=∠MCA. ∴△ANC∽△MAC. (2)∵△ANC∽△MAC, ∴. 如图1,当AM=NM时, 图1 ∴∠MAN=∠MNA. ∵AB=CB=4,AC=2, ∴∠BAC=∠BCA. ∵∠MAN=∠BAC, ∴∠MNA=∠BCA. ∴△MAN∽△BAC. ∴. ∴. ∴. ∴CN=AC=1. ∵CN∥BA, ∴△NEC∽△AEB. ∴. ∴CE=BC=×4=. 如图2,当AN=MN时, 图2 ∴∠NAM=∠NMA. ∵∠NAM=∠BAC, ∴∠NMA=∠NAM=∠BAC=∠BCA. ∴△NAM∽△BAC. ∴. ∴=2. ∴=2. ∴CN=2AC=4. ∴CN=AB. ∵CN∥AB, ∴△NEC∽△AEB. ∴=1. ∴CE=BE=BC=2. 综上所述,CE的长为或2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练五　证比例式或等积式的常见方法技巧 构造平行线法 1.如图,已知△ABC的边AB上有一点D,边BC的延长线上有一点E,且AD=CE,DE交AC于点F. 求证:AB·DF=BC·EF. 　　　　　　　　　　　 　　　　　 三点定形法 2.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,若AB+BD=25,AC-CD=4,求AD的值.(提示:延长AB到点H,使BH=BD,在AC上截取CF=CD,证△ADH相似于△AFD) 3.(2024百色期中)【探究与应用】 问题:如图1所示,AD是△ABC的角平分线.求证:. 【解决问题的方法】(1)善于思考的小安发现:过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E,如图2,通过证三角形相似,可以解决问题.求证:. 【应用提升】(2)请你利用上述结论,解决下列问题: 如图3,在四边形ABCD中,AB=2,BC=4,BD平分∠ABC,CD⊥BD于点D,AE⊥BD于点E,AC与BD相交于点O.求的值. 　　　　 图1　　　图2　　　　　图3　　 等比过渡法 4.(2024滁州定远县期末)如图,E为▱ABCD的边CD延长线上的一点,连接BE交AC于点O,交AD点F. 求证:(1). (2)OB2=OE·OF. 5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E是AC的中点,ED交AB 的延长线于点F. 求证:AB·AF=AC·DF. 等积代换法 6.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,P是AD上一点,CF∥AB,延长BP交AC于点E,交CF于点F. 求证:BP2=PE·PF. 7.如图,在☉O中,直径AB 垂直弦CD于点E,过点A作∠DAF=∠DAB,过点 D作AF 的垂线,垂足为 F,延长FD交AB的延长线于点 P,连接 CO并延长交☉O于点G,连接 EG. 求证:(1)DF是☉O的切线. (2)OC2=OE·OP. 等线段代换法 8.如图,在△ABC中,点D,E在边AB上,AC2=AD·AB,AC=AE,连接CD,CE,过点D作DF∥CE交边AC于点F. 求证:(1)△ACD∽△ABC. (2)AE·EB=AB·FC. 9.(2024上海静安区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E在BA延长线上,点F在AC边上,∠EDF=∠B. 求证:(1)△BDE∽△CFD. (2)DF2=EF·CF. 【详解答案】 1.证明:如图,过点D作DG∥BE,交AC于点G. ∵BE∥DG, ∴△ADG∽△ABC, △DGF∽△ECF. ∴,. ∵AD=CE, ∴,. ∴. ∴AB·DF=BC·EF. 2.解:如图,延长AB到点H,使BH=BD,在AC上截取CF=CD,连接DF,DH, ∵AB+BD=25,AC-CD=4. ∴AH=AB+BH=AB+BD=25,AF=AC-CF=AC-CD=4. 设∠H=∠BDH=α,∠CFD=∠CDF=β,∠DAB=∠DAC=γ. ∴∠ABC=2α,∠BAC=2γ,∠C=180°-2β. 又∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°, ∴2α+2γ+180°-2β=180°,即α+γ=β. ∴∠ADF=∠DFC-∠DAC=β-γ=α. ∴∠H=∠ADF. 又∵∠DAH=∠FAD, ∴△AHD∽△ADF. ∴. ∴AD2=AF·AH=4×25=100. ∴AD=10. 3.解:(1)证明:∵BE∥AC, ∴∠E=∠DAC. ∵∠EDB=∠ADC, ∴△EDB∽△ADC. ∴. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC. ∴∠E=∠BAD. ∴BE=AB. ∴. (2)在四边形ABCD中,BD平分∠ABC, 由(1)知,, ∵AB=2,BC=4, ∴. ∵CD⊥BD,AE⊥BD, ∴∠AEO=∠CDO=90°. ∵∠AOE=∠COD. ∴△AOE∽△COD. ∴. 4.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD. ∴△AOB∽△COE. ∴.∴. (2)∵△COE∽△AOB,∴. ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC. ∴△COB∽△AOF. ∴. ∴,即OB2=OE·OF. 5.证明:∵AD⊥BC,E是AC的中点, ∴DE=EC. ∴∠EDC=∠C. ∵∠BAC=∠ADC=90°, ∴∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠C=90°. ∴∠BAD=∠C=∠EDC. ∵∠BDF=∠EDC, ∴∠BDF=∠BAD. 又∵∠F为公共角, ∴△BDF∽△DAF. ∴. ∵∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠C, ∴△ABD∽△CAD. ∴. ∴,即AB·AF = AC·DF. 6.证明:如图,连接 CP. ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴AD垂直平分BC,∠ABC=∠ACB. ∴BP=CP. ∴∠1=∠2.∴∠3=∠4. ∵CF∥AB. ∴∠3=∠F.∴∠F=∠4. ∵∠CPF=∠EPC, ∴△CPF∽△EPC. ∴,即CP2=PE·PF. ∵BP=CP, ∴BP2=PE·PF. 7.证明:(1)如图,连接 OD. ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA. ∵∠DAF=∠DAB, ∴∠ODA=∠DAF. ∴OD∥AF. ∵DF⊥AF, ∴DF⊥OD. ∵OD是☉O的半径. ∴DF是☉O的切线. (2)由(1)知∠ODP=90°. ∵AB⊥CD,∴∠OED=90°. ∴∠OED=∠ODP. 又∵∠EOD=∠DOP, ∴△ODE∽△OPD. ∴,即OD2=OE·OP. 又∵OC=OD, ∴OC2=OE·OP. 8.证明:(1)∵AC2=AD·AB, ∴. 又∵∠CAD=∠BAC, ∴△ACD∽△ABC. (2)∵DF∥CE, ∴. ∵AC=AE, ∴DE=FC. ∴AC=AE=AB-BE,AD=AE-DE=AE-FC. ∵, ∴, ∴AB·AE-BE·AE=AB·AE-AB·FC. ∴AE·EB=AB·FC. 9.证明:(1)∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB. ∵∠EDF=∠B,∠EDC=∠B+∠BED=∠EDF+∠CDF, ∴∠BED=∠CDF. ∴△BDE∽△CFD. (2)∵D是BC的中点, ∴BD=CD. 由(1)可知,△CFD∽△BDE, ∴, ∴. 又∵∠EDF=∠B=∠ACB, ∴△CDF∽△DEF. ∴. ∴DF2=EF·CF. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练八　相似三角形与函数的综合 相似三角形与一次函数 1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点A,点D的坐标为(0,1). (1)直线AD的解析式为　　　　　　.  (2)直线AD与x 轴交于点 B,若E是直线AD上一动点(不与点 B 重合),当△BOD 与△BCE相似时,求点E的坐标. 　　　　　　　　　　　 　　　　　 相似三角形与反比例函数 2.如图,一次函数y=2x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(1,4),与y轴交于点B. (1)k=　　　,b=　　　.  (2)连接并延长AO,与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点C,点D在y轴上,若以点O,C,D为顶点的三角形与△AOB相似,求点D的坐标. 3.(2024郑州期末)如图,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(2,3),直线l经过点A和点B(0,4),与x轴交于点C,直线l的解析式为y=mx+n. (1)求反比例函数与一次函数的解析式. (2)在y轴上是否存在一点P,使得以点A,B,P为顶点的三角形与△OBC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 相似三角形与二次函数 4.(2024苏州虎丘区月考)如图,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴相交于点C. (1)求该函数的解析式. (2)P为该函数在第一象限内的图象上一点,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,连接PC. ①求线段PQ的最大值. ②若以点P,C,Q为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标. 5.如图,已知二次函数的图象与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),直线y=-2x+m经过点A,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E. (1)求抛物线的解析式. (2)如图1,点M在AE下方的抛物线上运动,求△AME的面积的最大值. (3)如图2,在y轴上是否存在点P,使得以点D,E,P为顶点的三角形与△AOD相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由. 图1 　图2 【详解答案】 1.解:(1)y=x+1 (2)∵直线 AD与x轴的交点B的坐标为(-2,0), ∴OB=2. ∵点D的坐标为(0,1), ∴OD=1. ∴BD= =. ∵直线y=-x+3与x轴交于点C(3,0), ∴OC=3.∴BC=2+3=5.若△BOD和△BCE相似,分两种情况讨论: ①如图,过点C作CE⊥BA交 BA的延长线于点E, 则△BOD∽△BEC.∴. ∴. 解得 BE=2,CE=. 过点E作EF⊥x轴于点F,则BC·EF=BE·CE. ∴EF==2. ∴x+1=2. 解得x=2.∴点E的坐标为(2,2). ②如图,过点C作CE'⊥x轴交直线AD于点E', 则△BOD∽△BCE',则. ∴.解得 CE'=. ∴点E'的坐标为. 综上所述,当△BOD 和△BCE相似时,点E的坐标为(2,2)或. 2.解:(1)4　2 (2)当点D落在y轴的正半轴上, 则∠COD>∠ABO, ∴△COD与△ABO不可能相似. 当点D落在y轴的负半轴上, 由(1),得一次函数的解析式为y=2x+2. 当x=0时,y=2.∴点B(0,2). ∴OB=2.∵点A,C在反比例函数的图象上,∴CO=AO. 若△COD∽△AOB,∴. ∵CO=AO,∴BO=DO=2. ∴点D(0,-2). 若△COD∽△BOA,则, ∵OA=CO=,BO=2, ∴DO=. ∴点D. 综上所述,点D的坐标为(0,-2)或. 3.解:(1)将点A(2,3)代入y=中,得k=6. ∴反比例函数的解析式为y=. 将点A(2,3),B(0,4)代入y=mx+n中, 得解得 ∴一次函数的解析式为y=-x+4. (2)存在点P,使得以点A,B,P为顶点的三角形与△OBC相似. 当y=0时,-x+4=0,解得x=8, ∴点C(8,0). ∵点B(0,4),∴OB=4,OC=8. ∴. ∵△OBC是直角三角形, ∴△APB也是直角三角形. 如图1,当∠APB=90°时,△OBC∽△PBA. ∴.∵∠APB=∠COB=90°, ∴AP∥OC.∴AP=2.∴. ∴PB=1.∴点P(0,3). 如图2,当∠PAB=90°时,△OBC∽△ABP. ∴. 由勾股定理,得AB=, BC==4. ∴.∴BP=5.∴点P(0,-1). 综上所述,P点的坐标为(0,3)或(0,-1). 图1 　　图2 4.解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-4),即y=ax2-3ax-4a. ∴-4a=2.解得a=-. ∴抛物线解析式为y=-x2+x+2. (2)①如图,过点P作PN⊥x轴于点N,交BC于点M. 当x=0时,y=2.∴点C(0,2). ∵点B(4,0),∴BC==2. 设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0). 把点C(0,2),B(4,0)代入y=mx+n,得解得 ∴直线BC的解析式为y=-x+2. 设点P, 则点M. ∴PM=-t2+t+2-=-t2+2t. ∵∠PQM=∠BNM=90°,∠QMP=∠NMB,∴∠NPQ=∠NBM. 又∵∠PQM=∠BOC=90°, ∴△PQM∽△BOC. ∴,即PQ=. ∴PQ=-t2+t=-(t-2)2+. ∴当t=2时,线段PQ的最大值为. ②当∠PCQ=∠ABC时,△PCQ∽△ABC, 此时PC∥OB,点P和点C关于直线x=对称, ∴此时点P的坐标为(3,2). 当∠CPQ=∠ABC时,△CPQ∽△ABC, ∵∠OBC=∠NPQ,∴∠CPQ=∠MPQ. 又∵PQ⊥CM, ∴△PCM为等腰三角形. ∴PC=PM.∴PC2=PM2. ∴t2+=.解得t=. 此时点P的坐标为. 综上所述,P点的坐标为(3,2)或,. 5.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).把点A(1,0),B(-3,0),C(0,-3)代入,得 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. (2)把点A(1,0)代入y=-2x+m, 得-2+m=0.解得m=2. ∴y=-2x+2. 联立 解得或 ∴点E(-5,12). 如图1,过点M作MN∥y轴交AE于点N. 图1 设点M(m,m2+2m-3), 则点N(m,-2m+2). ∴MN=-2m+2-(m2+2m-3)=-m2-4m+5. ∴S△AME=MN·|xA-xE|=×(-m2-4m+5)×6=-3(m+2)2+27. ∵-3<0, ∴当m=-2时,S△AME取最大值,最大值为27. ∴△AME的面积最大值为27. (3)在y轴上存在点P,使得以点D,E,P为顶点的三角形与△AOD相似. 在y=-2x+2中,令x=0,得y=2, ∴点D(0,2). ∴OD=2. ∵点A(1,0), ∴OA=1. ∴. ∵∠AOD=90°,以点D,E,P为顶点的三角形与△AOD相似, ∴△DEP是直角三角形,且两直角边的比为. ①如图2,过点E作EP⊥y轴于点P.∴∠DPE=90°. ∵点E(-5,12),D(0,2), ∴PE=5,PD=12-2=10. ∴.∴. 又∵∠EPD=∠AOD, ∴此时△EPD∽AOD,点P的坐标为(0,12). 图2　　 　图3 ②如图3,过点E作EP⊥DE交y轴于点P.∴∠PED=90°. ∵∠PED=∠AOD,∠PDE=∠ODA, ∴△PED∽△AOD. ∴.∴. ∵点D(0,2),E(-5,12), ∴DE==5. ∴EP=DE=. ∴DP=. ∴OP=OD+DP=2+. ∴点P的坐标为. 综上所述,点P的坐标为(0,12)或. 学科网（北京）股份有限公司 $$