27.3 位似 课时作业 2024-2025学年 人教版数学九年级下册

27.3　位似 第1课时　位似图形的概念及画法 位似图形的概念 1.下列关于位似图形的表述: ①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形; ②位似图形一定有位似中心; ③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形; ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比. 其中正确命题的序号是 (　　) A.②③ B.①② C.③④ D.②③④ 2.下列各选项的两个图形中,不是位似图形的是 (　　) A. B. C. D. 位似图形的性质和画法 3.(2024扬州广陵区期末)如图,以点O为位似中心,把△ABC按相似比1∶2放大得到△DEF.以下说法中错误的是 (　　) A.△ABC∽△DEF B.AB∥DE C.OA∶OD=1∶2 D.EF=4BC 4.如图,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形,且相似比为.若五边形ABCDE的面积为17 cm2,周长为20 cm,则五边形A'B'C'D'E'的面积为　　　　cm2,周长为　　　　cm.  5.如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点O和点A1在格点上,△ABC是格点三角形(顶点在网格线交点上). (1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1,点A,B,C的对应点分别为点A1,B1和C1. (2)△A1B1C1与△ABC的周长之比为　　　　.  6.如图,点F在BD上,BC,AD相交于点E,且AB∥CD∥EF. (1)图中有哪几对位似三角形?选其中一对加以证明. (2)若AB=2,CD=3,求EF的长. 1.(2024滨州博兴县期末)《墨子·天志(上)》记载:“执其规、矩,以度天下之方圆”.度方知圆,感悟数学之美.如图,正方形ABCD的面积为1,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形A'B'C'D'.若A'B'∶AB=2∶1,则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 (　　) A.4π B.3π C.2π D.π 2.(2024南京玄武区期末)如图,☉O与△OAB的边AB相切于点B.将△OAB绕点B按顺时针方向旋转并以点B为位似中心,按一定比例缩小得到△B'A'B,且点A',B'落在☉O上.若AB=2,A'B=4,则☉O的半径为(　　) A. B.2.5 C. D.3 3.如图,在正方形网格中,以点O为位似中心,△ABC的位似图形是　　　　　(用图中字母表示),△ABC与该三角形的相似比为　　　　.  4.如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似中心为点O,且OD=3OA.若△ABC的面积为3,则阴影部分的面积是　　　　.  5.如图,BD,AC相交于点P,连接AB,BC,CD,DA,∠DAP=∠CBP. (1)求证:△ADP∽△BCP. (2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形? (3)若AB=8,CD=4,DP=3,求AP的长. 6.(推理能力)如图是由位似的正三角形A1B1C1、正三角形A2B2C2、正三角形A3B3C3、…、正三角形AnBnCn组成的相似图形,其中第一个△A1B1C1的边长为1,O是B1C1的中点,A2是OA1的中点,A3是OA2的中点,…,An是O的中点,顶点B2,B3,…,Bn.C2,C3,…,Cn都在B1C1边上. (1)试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心. (2)求出第n个△AnBnCn(n≥2)的周长. 【详解答案】 课堂达标 1.A　解析:①相似图形不一定是位似图形,位似图形一定是相似图形,则原命题错误;②位似图形一定有位似中心,则原命题正确;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形,则原命题正确;④位似图形上任意一对对应点与位似中心的距离之比等于相似比,则原命题错误;综上,正确命题的序号是②③.故选A. 2.C　解析:对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.根据位似图形的概念,A、B、D三个选项中的两个图形都是位似图形;C中的两个图形不符合位似图形的概念,对应顶点不能相交于一点,故不是位似图形.故选C. 3.D　解析:A.∵位似属于相似,∴△ABC∽△DEF.正确,不符合题意;B.由位似可知,△OAB∽△ODE,∴∠OAB=∠ODE.∴AB∥DE.正确,不符合题意;C.,正确,不符合题意;D.∵△ABC与△DEF的相似比为1∶2,∴.∴EF=2BC.错误,符合题意.故选D. 4.68　40　解析:∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形, ∴五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'. ∴其对应的面积比等于相似比的平方,周长比等于相似比. ∵相似比为,五边形ABCDE的面积为17 cm2,周长为20 cm, ∴五边形A'B'C'D'E'的面积为68 cm2,周长为40 cm. 5.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求作. (2)3∶1 6.解:(1)△DFE与△DBA,△BFE与△BDC,△AEB与△DEC都是位似三角形. 证明:∵AB∥CD∥EF, ∴△DFE∽△DBA,△BFE∽△BDC,△AEB∽△DEC,且对应点的连线都交于一点. ∴△DFE与△DBA,△BFE与△BDC, △AEB与△DEC都是位似三角形. (2)△AEB∽△DEC,AB=2,CD=3, ∴. ∵△BFE∽△BDC, ∴. 解得EF=. 课后提升 1.C　解析:如图,连接B'D'.设B'D'的中点为O. ∵正方形ABCD∽正方形A'B'C'D',相似比为1∶2, 且正方形ABCD的面积为1, ∴正方形A'B'C'D'的面积为4. ∴A'B'=A'D'=2. ∵∠B'A'D'=90°, ∴B'D'==2. ∴正方形A'B'C'D'的外接圆的周长为2π. 故选C. 2.A　解析:∵AB与☉O相切于点B,∴OB⊥AB.∵将△OAB绕点B按顺时针方向旋转并以点B为位似中心,按一定比例缩小得到△B'A'B,AB=2,A'B=4,∴△OAB与△B'A'B的相似比为.∴.由旋转变换的性质可知,∠A'BB'=∠ABO=90°,∴A'B'为☉O的直径.设BB'=2x,则OB=x.∴A'B'=2x.∵A'B2+BB'2=A'B'2,∴42+(2x)2=(2x)2.解得x=1(负值舍去).∴☉O的半径为.故选A. 3.△GEH　　解析:以点O为位似中心,△ABC的位似图形是△GEH,△ABC与△GEH的相似比为. 4.24　解析:∵△ABC与△DEF是位似图形, ∴△ABC∽△DEF,AB∥DE. ∴△OAB∽△ODE. ∵OD=3OA,∴. ∴. ∵△ABC的面积为3, ∴△DEF的面积为27. ∴阴影部分的面积是27-3=24. 5.解:(1)证明:∵∠DAP=∠CBP,∠DPA=∠CPB, ∴△ADP∽△BCP. (2)△ADP与△BCP不是位似图形. (3)∵△ADP∽△BCP, ∴. ∴.又∵∠APB=∠DPC, ∴△APB∽△DPC. ∴,即. 解得AP=6. 6.解:(1)∵正三角形A1B1C1的边长为1,O是B1C1的中点,A2是OA1的中点, ∴正三角形A2B2C2的边长为, 正三角形A3B3C3的边长为, …… 正三角形A7B7C7的边长为, 正三角形A10B10C10的边长为. ∴△A10B10C10和△A7B7C7的相似比为,它们的位似中心为点O. (2)∵第n个△AnBnCn(n≥2)的边长为, ∴第n个△AnBnCn(n≥2)的周长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　平面直角坐标系中的位似 用坐标表示位似 1.如图,△OA1B1与△OAB的形状相同,大小不同,△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的,则各顶点变化情况是 (　　) A.横坐标和纵坐标都加2 B.横坐标和纵坐标都乘2 C.横坐标和纵坐标都除以2 D.横坐标和纵坐标都减2 2.如图,若△ABC与△A1B1C1是位似图形,则位似中心的坐标为 (　　) A.(1,0) B.(0,1) C.(-1,0) D.(0,-1) 3.如图,在平面直角坐标系中,将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD,若点B(0,1),D(0,3),则△OAB与△OCD的面积比是 (　　) A.2∶1 B.1∶3 C.1∶9 D.9∶1 4.(2024青岛期末)如图,将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中,两个“E”字是位似图形,位似中心为点O,①号“E”与②号“E”的相似比为1∶2.点M与点N为一组对应点,若点M的坐标为(-2,4),则点N的坐标为　　　　　　.  5.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(10,10),B(12,6),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB按相似比缩小后得到线段CD,则端点C的坐标为　　　　.  6.(2024遵化期中)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(4,2)和(3,0). (1)以点O为位似中心,在网格中作出△OAB的位似图形,使新图形△OA1B1与原图形的相似比为1∶2. (2)写出新图形各顶点的坐标. 1.在平面直角坐标系中,点E(-4,2),点F(-1,-1),以点O为位似中心,按相似比1∶2把△EFO缩小,则点E的对应点E'的坐标为 (　　) A.(2,-1)或(-2,1) B.(8,-4)或(-8,4) C.(2,-1) D.(8,-4) 2.(2024保定竞秀区期末)如图,正方形ABCD的边BC,AB分别在x轴、y轴的正半轴上,正方形ABCD与正方形A'B'C'D'是以AC的中点O'为中心的位似图形.已知AC=3,若点A'的坐标为(1,2),则正方形A'B'C'D'与正方形ABCD的相似比是 (　　) A. B. C. D. 3.如图,△ABO缩小后变为△A'B'O,其中点A,B的对应点分别为A',B',点A,B,A',B'均在格点上.若线段AB上有点P(m,n),则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为 (　　) A. B. C. D. 4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长都是1).△A1B1C1是以点B为位似中心的△ABC的位似图形,且△A1B1C1与△ABC相似比为2,则点C1的坐标是　　　　,△A1B1C1的面积是　　　　.  5.(2024保定莲池区期中)如图,△ABC的顶点都在网格点上,点A的坐标为(-1,3). (1)以点O为位似中心,在第二象限作△ABC的位似图形△A'B'C',使△ABC按相似比2放大,并直接写出点A的对应点A'的坐标:　　　　　　.  (2)若△ABC内部的一点M的坐标为(x,y),则点M的对应点M'的坐标是　　　　　　.  (3)=　　　　　.  6.(几何直观)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2). (1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似图形△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2∶1,并分别写出点A,B的对应点A1,B1的坐标. (2)画出将△OAB向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后的△O2A2B2,并写出点A,B的对应点A2,B2的坐标. (3)判断△OA1B1与△O2A2B2,能否是关于某一点M为位似中心的位似图形?若是,请在图中标出位似中心M,并写出点M的坐标. 【详解答案】 课堂达标 1.C　解析:∵点A1(2,1),A(4,2),B1(1,3),B(2,6),∴各顶点变化情况为横坐标和纵坐标都除以2. 故选C. 2.D　解析:如图,位似中心的坐标为(0,-1).故选D. 3.C　解析:∵点B(0,1),D(0,3), ∴OB=1,OD=3. ∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD, ∴△OAB与△OCD的相似比是OB∶OD=1∶3. ∴△OAB与△OCD的面积的比是1∶9. 故选C. 4.(4,-8)　解析:∵点M与点N为一组对应点,点M的坐标为(-2,4),相似比为1∶2, ∴点N(4,-8). 5.(5,5)　解析:∵线段AB两个端点的坐标分别为A(10,10),B(12,6),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB按相似比缩小后得到线段CD, ∴端点C的横坐标和纵坐标都变为点A的一半. ∴端点C的坐标为(5,5). 6.解:(1)如图,△OA1B1,△OA2B2即为所求作. (2)点A1(2,1),B1(1.5,0),A2(-2,-1),B2(-1.5,0),O(0,0). 课后提升 1.A　解析:∵点E(-4,2),相似比为1∶2,∴点E的对应点E'的坐标为(2,-1)或(-2,1).故选A. 2.B　解析:在正方形ABCD中,AC=3,∴BC=AB=3.如图,延长A'B'交BC于点E. ∵点A'的坐标为(1,2), ∴OE=1,EC=A'E=3-1=2. ∴OE∶BC=1∶3. ∵A'B'∥AB, ∴AA'∶AC=1∶3. ∵AA'=CC', ∴AA'=CC'=A'C'. ∴A'C'∶AC=1∶3. ∴正方形A'B'C'D'与正方形ABCD的相似比是.故选B. 3.D　解析:∵△ABO缩小后变为△A'B'O,其中点A,B的对应点分别为点A',B',点A,B,A',B'均在图中格点上,点A(4,6),点B(6,2),点A'(2,3),点B'(3,1),∴△ABO与△A'B'O'的相似比为2∶1.∵线段AB上有一点P(m,n),∴点P在A'B'上的对应点P'的坐标为.故选D. 4.(1,0)　10　解析:如图,△A1B1C1即为所求, 点C1的坐标是(1,0), △A1B1C1的面积是4×6-×2×6-×2×4-×2×4=10. 5.解:(1)如图,△A'B'C'即为所求. (-2,6) (2)(2x,2y) (3)1∶3 6.解:(1)如图,△OA1B1即为所求. 点A1(4,2),B1(2,-4). (2)如图,△O2A2B2即为所求. 点A2(0,2),B2(-1,-1). (3)如图,点M即为所求. △OA1B1与△O2A2B2是以点M(-4,2)为位似中心的位似图形. 学科网（北京）股份有限公司 $$