27.2.1　相似三角形的判定 课时作业 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第2课时　相似三角形的判定定理1,2 三边成比例的两个三角形相似 1.把△ABC经过下列变形,与△ABC相似的是 (　　) A.各边长都加2 B.各边长都减2 C.各边长都乘2 D.各边长都平方 2.(2024保定期中)已知△ABC的三边长分别是1,,,与△ABC相似的三角形的三边长可能是 (　　) A.,2, B.,1, C.1,, D.,1, 3.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的5×8的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在网格的格点上. 求证:△ABC∽△EFD. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似　　　　　　　　　　　　 4.如图,在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠D,要使△ABC与△ADE相似,还需满足下列条件中的 (　　) A. B. C. D. 5.如图,每个小正方形的边长均为1,则图中的三角形与△ABC相似的是 (　　) A.△FBE B.△BED C.△DFE D.△ABE 6.(2024石家庄裕华区期中)如图,在4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则在网格图中的三角形与△ABC相似的是 (　　) A. B. C. D. 7.如图,已知=k,请再添加一个条件,使△ABC∽△ACD,你添加的条件是　　　　　　　　. (写出一个即可)  8.(2024唐山月考)如图,AB∥CD,AC与BD交于点E,且AB=6,AE=3,AC=12. (1)求CD的长. (2)求证:△ABE∽△ACB. 1.如图,A,B,C,D,E,G,H,M,N都是方格中的格点(即小正方形的顶点),要使△DEF与△ABC相似,则点F应是点G,H,M,N中的 (　　) A.H或N B.G或H C.M或N D.G或M 2.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=10,P是AD上的一个动点,若以点A,P,B为顶点的三角形与△PDC相似,则满足条件的点P的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2024南昌期末)如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=14.点P在BD上移动,当以点P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,则PB的长为　　　　.  4.如图,,那么△ABD与△BCE相似吗?为什么? 5.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且CD2=AC·DB. (1)求证:△ACP∽△PDB. (2)求∠APB的度数. 6.(抽象能力)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=12,有两动点P,Q分别在边AB,BC上运动,点P的速度为每秒1个单位长度,点Q的速度为每秒2个单位长度,它们分别从点A和点B同时出发,点P沿线段AB按A→B方向向终点B运动,点Q沿线段BC按B→C方向向终点C运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动时间为t s,请解答下列问题: (1)当t为何值时,PQ∥AC? (2)当t为何值时,以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似? 【详解答案】 课堂达标 1.C　解析:△ABC的边长分为AB,BC,AC,将△ABC的各边长都乘2后的三角形的各边长为2AB,2BC,2AC,∵,∴两个三角形相似.故选C. 2.A　解析:∵1∶∶2∶,∴与△ABC相似的三角形三边长是选项A中的数据.选项B、C、D中的数据之比都不等于1∶.故选A. 3.证明:由题图知,AB=5,DE=2, 根据勾股定理,得AC=,BC=,EF=,DF=. ∴,,. ∴. ∴△ABC∽△EFD. 4.C　解析:∵∠BAC=∠D,,∴△ABC∽△DEA.故选C. 5.B　解析:由题意,得∠BDE=90°+45°=135°,∠ACB=90°+45°=135°.BD=1,DE=,BC=2,AC=. ∵,,∴.又∵∠BDE=∠ACB,∴△BED∽△ABC.故选B. 6.C　解析:根据勾股定理,得BC=,AC=,AB==2.∴BC2+AB2=AC2.∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°.∴夹直角的两边的比为=2.观察各选项,只有C选项中的三角形与△ABC相似.故选C. 7.∠BAC=∠CAD　解析:添加∠BAC=∠CAD, ∵=k,∠BAC=∠CAD, ∴△ABC∽△ACD. 8.解:(1)∵AE=3,AC=12, ∴CE=AC-AE=12-3=9. ∵AB∥CD,∴△CDE∽△ABE. ∴. ∴CD==18. (2)证明:∵,, ∴. ∵∠A=∠A, ∴△ABE∽△ACB. 课后提升 1.C　解析:设小正方形的边长为1,则△ABC的各边长分别为3,,,当点F是点M或点N时,其各边长分别是6,2,2,与△ABC各边对应成比例.故选C. 2.C　解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC=3,AD=BC=10,∠A=∠D=90°.设AP=x,则DP=AD-AP=10-x.若Rt△APB∽Rt△DPC.∴,即.解得x=5.若Rt△APB∽Rt△DCP.∴,即.解得x=1或x=9.∴当AP=1或AP=5或AP=9时,以点A,P,B为顶点的三角形与△PDC相似,即这样的点P有3个.故选C. 3.8.4或2或12　解析:设DP=x,则BP=BD-DP=14-x.∵AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,∴∠B=∠D=90°.当时,△ABP∽△CDP,即,解得x=5.6.∴BP=14-5.6=8.4.当时,△ABP∽△PDC,即;整理,得x2-14x+24=0.解得x1=2,x2=12.BP=14-2=12或BP=14-12=2.∴当BP为8.4或2或12时,以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似. 4.解:相似.理由如下: ∵, ∴△ABC∽△DBE. ∴∠ABC=∠DBE. ∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, 即∠ABD=∠CBE. ∵, ∴. ∴△ABD∽△CBE. 5.解:(1)证明:∵△PCD是等边三角形, ∴PC=PD=CD,∠PCD=∠PDC=60°. ∴∠PCA=∠BDP. ∵CD2=AC·DB, ∴PD·PC=AC·DB,即. ∵∠PCA=∠BDP, ∴△ACP∽△PDB. (2)∵△ACP∽△PDB, ∴∠APC=∠B. ∵∠PDC=∠B+∠BPD=60°=∠CPD, ∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=60°+∠B+∠BPD=60°+60°=120°. 6.解:(1)当PQ∥AC时,△BPQ∽△BAC, ∴. ∵AB=AC=10,BC=12. ∴AP=t,BP=10-t,BQ=2t. ∴. 解得t=. ∴当t= s时,PQ∥AC. (2)∵BP=10-t,BQ=2t,∠ABC =∠PBQ. 当△QBP∽△ABC时,, 即,解得t=. 当△PBQ∽△ABC时, 由(1)可得t=. ∴当t=或时,以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.2　相似三角形 27.2.1　相似三角形的判定 第1课时　平行线分线段成比例 相似三角形的有关概念 1.(2024重庆大渡口区模拟)如图,△ABC∽△ACP,若∠A=75°,∠APC=65°,则∠B的大小为　　　°. 2.已知△ABC∽△DEF,△ABC的三条边分别为6,8,10,若△DEF的最短边为3,则最长边为　　　　.  平行线分线段成比例 3.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论不正确的是 (　　) A. B. C. D. 4.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC.若,AE=6,则CE的长为 (　　) A.14 B. C.8 D.6 5.如图,直线a∥b∥c,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F,若AB∶BC=1∶2,DE=6,则EF的长为　　　　.  6.如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC上的点,且DE∥AC,DF∥AE,,BF=9 cm.求EF和CE的长. 相似三角形的预备定理 7.如图,AB∥CD,点E在AB上,点F在CD上,AC,BD,EF相交于点O,则图中相似三角形共有 (　　) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 8.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC.若 AE=3,EC=1,且知 DE=,则 BC=　　　　. 1.(2024杭州上城区期末)如图,已知直线l1∥l2∥l3,直线m和直线n分别交l1,l2,l3于点A,B,C和点D,E,F,直线m和直线n交于点P.若DE=2,EF=4,AB=4,BP∶CP=1∶3,则CP的长为 (　　) A.4 B.5 C.7 D.6 2.如图,AB与CD相交于点E,点F在线段BC上,且AC∥EF∥DB.若BE=5,BF=3,AE=BC,则的值为 (　　) A. B. C. D. 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD=3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为　　　　.  4.如图,小华欲测一烟囱的高度,她借助一5 m长的标杆对烟囱进行测量.当烟囱顶部E、标杆顶部D与她的眼F在一条直线上时,她的助手小刚测出AB=4 m,AC=16 m,已知小华的眼睛离地面 1.60 m,请你帮她把烟囱的高度求出来. 5.(2024邢台襄都区月考)如图,AD是△ABC的中线,E是线段AD上的一点,且AD=3AE,连接CE并延长交AB于点F. (1)求的值. (2)若AF=2 cm,求AB的长. 6.(推理能力)如图,☉O的半径为4,B是☉O外一点,连接OB,且OB=6,过点B作☉O的切线BD,切点为D,延长BO交☉O于点A,过点A作切线BD的垂线,垂足为 C,连接 AD. (1)求证:AD平分∠BAC. (2)求AC的长. 【详解答案】 课堂达标 1.40　解析:∵∠A=75°,∠APC=65°,∴∠ACP=180°-∠A-∠APC=40°.∵△ABC∽△ACP,∴∠B=∠ACP=40°. 2.5　解析:设△DEF的最长边为x.∵△ABC∽△DEF,△ABC的最短边是6,最长边是10,△DEF的最短边为3,∴6∶3=10∶x.∴x=5.∴△DEF的最长边为5. 3.B　解析:∵AB∥CD∥EF,∴,,,故A、C、D正确,B错误.故选B. 4.C　解析:∵DE∥BC,∴,即.解得CE=8.故选C. 5.12　解析:∵直线a∥b∥c,∴.∵DE=6,∴EF=12. 6.解:∵DF∥AE,∴. ∵BF=9 cm, ∴EF=6 cm,BE=BF+EF=15 cm. ∵DE∥AC, ∴. ∴CE=10 cm. 7.C　解析:∵AB∥CD,∴△AEO∽△CFO,△BEO∽△DFO,△ABO∽△CDO.共有3对相似三角形.故选C. 8.　解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴.∵AE=3,AC=3+1=4,DE=,∴.∴BC=. 课后提升 1.D　解析:∵直线l1∥l2∥l3. ∴. ∵AB=4,∴BC=8. ∵BP∶CP=1∶3, ∴CP=BC=×8=6.故选D. 2.A　解析:设CF=x,则AE=BC=x+3. ∵EF∥AC, ∴. ∴. 解得x=. ∴CF=. ∵AC∥DB,∴△BDE∽△ACE. ∴. 故选A. 3.　解析:∵∠ACB=90°,BD⊥CB,MN⊥CB,∴AC∥MN∥BD.∴△MAC∽△MBD,△CMN∽△CDB.∴,.∴.∴.∴MN=. 4.解:如图,过点F作FG⊥EC于点G,交BD于点H. 由题意,得AF∥BD∥CE. ∴FG⊥BD. ∴四边形ABHF、四边形ACGF为矩形. ∴AF=BH=CG,FG=AC. ∵AF=1.6 m,BD=5 m,AC=16 m,AB=4 m, ∴CG=AF=1.6 m,DH=BD-BH=BD-AF=5-1.6=3.4(m),FH=AB=4 m,FG=AC=16 m. ∵BD∥CE. ∴△DFH∽△EFG. ∴,即. ∴EG=13.6 m. ∴EC=EG+CG=13.6+1.6=15.2(m). ∴烟囱的高度是15.2 m. 5.解:(1)∵AD=3AE,AD=AE+DE, ∴3AE=AE+DE. ∴2AE=DE. ∴. (2)如图,过点D作DM∥CF交AB于点M. ∴. ∵AD是△ABC的中线, ∴BD=DC. ∴BM=MF.∵DM∥EF, ∴. ∵AF=2 cm, ∴MF=BM=4 cm. ∴AB=AF+MF+BM=10 cm. 6.解:(1)证明:如图,连接OD. ∵BD是☉O的切线, ∴OD⊥BD. ∵AC⊥BD, ∴OD∥AC. ∴∠DAC=∠ADO. ∵OA=OD, ∴∠DAO=∠ADO. ∴∠DAO=∠DAC,即AD平分∠BAC. (2)∵OD∥AC, ∴△BOD∽△BAC. ∴. ∴.解得AC=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　相似三角形的判定定理3 两角分别相等的两个三角形相似 1.下列各组图形一定相似的是 (　　) A.有一个角相等的等腰三角形 B.有一个角相等的直角三角形 C.有一个角是100°的等腰三角形 D.有一个角是对顶角的两个三角形 2.如图,已知∠1=∠2=∠3,图中有　　　对相似三角形.  3.(2024广州越秀区开学)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,∠BDE+∠C=180°. 求证:△ADE∽△ACB. 直角三角形相似的判定 4.如图,在△ABC中,高BD,CE相交于点F,图中与△BEF相似的三角形共有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图,在正方形ABCD中,E是边CD的中点,P是边BC上一点,要依据“两边成比例且夹角相等”判定△ABP∽△ECP,还需添加的一个条件是　　　　　　.  6.(2024赣州期末)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高. 求证:△ACD∽△ABC. 1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥BC,连接CE交BD于点O,则图中与△ABC相似的三角形有 (　　) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2.如图,直线y=x-1与x轴交于点A,与y轴交于点B,在第一象限内找点C,使△AOC与△AOB相似,则共能找到的点C的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图,AB是半圆O的直径,D,E是半圆上任意两点,连接AD,DE,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△ABD相似,可以添加一个条件.下列添加的条件错误的是 (　　) A.∠ACD=∠DAB B.AD=DE C.AD2=BD·CD D.CD·AB=AC·BD 4.如图,直线AB分别与两坐标轴交于点A(4,0),B(0,8),点C的坐标为(2,0).在线段AB上有一动点P,连接CP,当AP为　　　　时,△ACP与△AOB相似.  5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB上的一点,DE⊥AB交BC于点E,M,N分别是AC,BC上的点,且DN⊥DM.求证:△NDE∽△MDA. 6.四边形ABCD内接于☉O,直径AC与弦BD交于点E,直线PB与☉O相切于点B. (1)如图1,若∠PBA=30°,且EO=EA,求证:BA平分∠PBD. (2)如图2,连接OB,若∠DBA=2∠PBA,求证:△OAB∽△CDE. 　　　　 图1　　　　　　　　图2　　 7.(几何直观)如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过点P作PF⊥AE于点F,设PA=x. (1)求证:△PFA∽△ABE. (2)若以点P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似,求x的值. (3)试求当x取何值时,以点D为圆心,DP长为半径的☉D与线段AE只有一个公共点. 【详解答案】 课堂达标 1.C　解析:A.若一个等腰三角形的底角和另一个等腰三角形的顶角相等,无法判定两个三角形相似,故本选项错误;B.两个直角三角形中直角相等,则两锐角的大小无法确定,无法判定两个三角形相似,故本选项错误;C.一个角为100°,则这个角必须是顶角,且两底角度数为40°,故两个三角形三内角均相等,即可判定两个三角形相似,故本选项正确;D.对顶角相等的三角形中,其他两个角的度数不确定,故无法判定两个三角形相似,故本选项错误,故选C. 2.4　解析:∵∠A=∠A,∠1=∠2, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A,∠1=∠3, ∴△ADE∽△ACD. ∴△ABC∽△ACD. ∵∠1=∠2, ∴DE∥BC. ∴∠DCB=∠EDC. ∵∠2=∠3, ∴△BDC∽△CED. ∴图中有4对相似三角形. 3.证明:∵∠BDE+∠C=180°,∠ADE+∠BDE=180°, ∴∠ADE=∠C. 又∵∠A为公共角, ∴△ADE∽△ACB. 4.C　解析:∵BD⊥AC,CE⊥AB, ∴∠BDA=∠BDC=∠CEA=∠CEB=90°. ∵∠FBE=∠ABD, ∴△FBE∽△ABD. ∵∠BFE=∠CFD, ∴△BFE∽△CFD. ∵∠FCD=∠ACE, ∴△CFD∽△CAE. ∴△BFE∽△CAE. 综上所述,图中与△BEF相似的三角形为△BAD,△CFD,△CAE,共3个.故选C. 5.BP=2CP　解析:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°.AB=CD.∴当AB∶EC=BP∶CP时能得到△ABP∽△ECP.又∵E是CD的中点,∴CE=CD=AB.∴AB=2CE.∴BP=2CP,即P为BC的三等分点. 6.证明:∵CD是斜边AB上的高, ∴∠ADC=90°. ∵∠ACB=90°, ∴∠ADC=∠ACB. ∵∠DAC=∠CAB, ∴△ACD∽△ABC. 课后提升 1.A　解析:∵DE∥BC,∴△AED∽△ABC.∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=72°.又∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠OBE=36°=∠A,∠ACB=∠ABC=∠CDO=∠CEB= ∠BOE=∠COD=72°.∴△AED∽△BCD∽△CBE∽△BOE∽△COD∽△ABC.∴有5个三角形与△ABC相似.故选A. 2.D　解析:如图, ∵点C在第一象限,∴当点C为直角顶点时,有两种情形,当点A为直角顶点时,也有两种情形,共有4种情形.故选D. 3.D　解析:由题图可知,∠ADC=∠BDA, A.∵∠ACD=∠BAD, ∴△ADC∽△BDA.故A选项正确; B.∵AD=DE, ∴. ∴∠DAE=∠DBA. ∴△ADC∽△BDA.故B选项正确; C.∵AD2=BD·CD, ∴AD∶BD=CD∶AD. 又∵∠ADC=∠BDA,∴△ADC∽△BDA.故C选项正确; D.∵CD·AB=AC·BD, ∴CD∶AC=BD∶AB. 但∠ACD=∠ABD不是对应夹角,故D选项错误.故选D. 4.2或　解析:∵点A(4,0).B(0,8),C(2,0), ∴OA=4,OB=8,OC=2. ∴AC=4-2=2,AB==4. ①如图,当CP∥OB时, ∵CP∥OB, ∴△ACP∽△AOB. ∴, 即. ∴AP=2. ②如图,当CP⊥AB时, ∵∠APC=∠AOB=90°,∠PAC=∠OAB, ∴△APC∽△AOB. ∴, 即. ∴AP=. 综上所述,当AP为2或时,△ACP与△AOB相似. 5.证明:∵DE⊥AB,DN⊥DM, ∴∠NDM=∠EDA=90°. ∴∠NDE=∠MDA. ∵∠C=90°, ∴∠C+∠EDA=180°. ∴∠DEC+∠A=180°. ∵∠DEC+∠DEN=180°, ∴∠DEN=∠A, ∴△NDE∽△MDA. 6.证明:(1)如图,连接OB. ∵直线PB与☉O相切于点B, ∴∠PBO=90°. ∴∠PBA+∠ABO=90°. ∵∠PBA=30°, ∴∠ABO=60°. 又∵OA=OB, ∴△AOB为等边三角形. 又∵OE=AE, ∴BE平分∠ABO. ∴∠ABE=∠ABO=30°. ∴∠ABE=∠PBA.∴BA平分∠PBD. (2)∵直线PB与☉O相切于点B. ∴∠PBO=90°. ∴∠PBA+∠ABO=90°. ∵AC为☉O的直径, ∴∠ABC=90°. ∴∠OBC+∠ABO=90°. ∴∠OBC=∠PBA. ∵OB=OC, ∴∠PBA=∠OBC=∠OCB. ∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA. ∵∠DCE=∠DBA=2∠PBA, ∴∠AOB=∠DCE, 又∵∠BAO=∠EDC, ∴△OAB∽△CDE. 7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD∥BC,∠ABE=90°. ∴∠PAF=∠AEB. 又∵PF⊥AE, ∴∠PFA=∠ABE=90°. ∴△PFA∽△ABE. (2)当△EFP∽△ABE时,∠PEF=∠EAB, ∴PE∥AB. ∴∠BEP=∠B=∠BAP=90°. ∴四边形ABEP为矩形. ∴PA=EB=BC=2,即x=2. 当△PFE∽△ABE时,∠PEF=∠AEB, ∵∠PAF=∠AEB, ∴∠PEF=∠PAF. ∴PE=PA. ∵PF⊥AE, ∴F为AE的中点. ∵AE==2, ∴EF=AE=. ∵,即, ∴PE=5,即x=5. ∴x的值为2或5. (3)当☉D与线段AE相切时,只有一个公共点,如图1,过点D作DH⊥AE于点H,则☉D与线段AE的距离d即为DH的长. 由(1)可得△DAH∽△AEB. ∴,即. ∴DH=. 当点P在AD边上时,☉D的半径r=DP=4-x,☉D与线段AE相切,此时d=r, 即=4-x, ∴x=4-. 当点P在AD的延长线上时,☉D的半径r=DP=x-4,此时☉D与线段AE相切,d=r,即=x-4,∴x=4+. 图1　 图2 当AD<DP≤DE时,☉D与线段AE只有一个公共点,如图2,当PD=ED时, ∵DE==2, ∴PA=PD+AD=4+2. ∴当x=4-或4+或8<x≤4+2时,☉D与线段AE只有一个公共点. 学科网（北京）股份有限公司 $$