13 28.2.2应用举例-【一飞冲天·同步训练】2023-2024学年九年级数学下册（人教版）

28.2.2 应用举例 1.如图,某停车场入口的栏杆,从水平位置 AB 绕点O 旋转到A'B'的位置,已知AO=4 m, 若栏杆的旋转角∠AOA'=50°,栏杆A 端升高 的高度是 ( ) A. 4 sin 50° B.4sin 50° C. 4 cos 50° D.4cos 50° 第1题 第2题 2.如图,河堤横断面迎水坡BC 的坡度是1∶3,堤 高AC=5 m,则坡面BC 的长度是 . 3.如图,在一笔直的海岸线l上有A,B 两个观 测站,AB=2 km,从A 处测得船C 在北偏东 45°的方向,从B 处测得船C 在北偏东22.5°的 方向,则船C 离海岸线l 的距离(即 CD 的 长)为 ( ) A B D C l   c c A.4 km B.(2+ 2)km C.22 km D.(4- 2)km 4.如图,为了测得电视塔的高度AB,在D 处用 高为1 m的测角仪CD,测得电视塔顶端A 的 仰角为30°,再向电视塔方向前进100 m到达 F 处,又测得电视塔顶端A 的仰角为60°,则 这个电视塔的高度AB(单位:m)为 ( ) A.503 B.51 C.503+1 D.101 5.如图,要在宽为22米的大道 两边安装路灯,路灯的灯臂 CD 长2米,且与灯柱BC 成 120°角,路灯采用圆锥形灯 罩,灯罩的轴线 DO 与灯臂CD 垂直,当灯罩 的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效 果最佳,此时,路灯的灯柱 BC 高度应该设 计为 ( ) A.(11-22)米 B.(113-22)米 C.(11-23)米 D.(113-4)米 6.如图,在某监测点B 处望见一艘正在作业的 渔船在南偏西15°方向的A 处,若渔船沿北偏 西75°方向以40海里/时的速度航行,航行半 小时后到达C 处,在C 处观测到B 在C 的北 偏东60°方向上,则B,C 之间的距离为( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 A.20海里 B.103海里 C.202海里 D.30海里 7.一座楼梯的示意图如图所示,BC 是铅垂线, AC 是水平线,BA 与AC 的夹角为θ.现要在 楼梯上铺一条地毯,已知AC=4 m,楼梯宽度 为1 m,则地毯的面积至少需要 ( ) A. 4 sin θ m2 B. 4 cos θ m2 C.4+ 4 tan θ m2 D.(4+4tan θ)m2 8.如图,一个直角梯形的堤坝 坡长 AB 为6米,斜坡 AB 的坡角为60°,为了改善堤坝 的稳固性,准备将其坡角改 为45°,则调整后的斜坡AE 的长度为 ( ) A.36米 B.33米 C.(33-2)米 D.(33-3)米 9.如图,某海监船以20 km/h的速度在某海域执 行巡航任务,当海监船由西向东航行至A 处 时,测得岛屿P 恰好在其正北方向,继续向东 航行1小时到达B 处,这时,测得岛屿P 在其 北偏西30°方向,则海监船到岛屿的最小距离 是 km;保持航向不变,又航行2小时到 达C 处,此时海监船与岛屿P 之间的距离(即 PC 的长)为 km.(结果保留根号) 10.如图,河流两岸a,b互相平行,点A,B 是河 岸a 上的两座建筑物,点C,D 是河岸b上的 两点,A,B 的距离约为200米.某人在河岸b 上的 点P 处 测 得∠APC=75°,∠BPD= 30°,则河流的宽度约为 米. 11.某数学兴趣小组想测量电视塔的高度,如图, 该小组在电视塔BC 前的一座楼房楼顶A 处 观测到电视塔最高点B 的仰角为65°,电视塔 最低点C 的俯角为30°,楼顶A 与电视塔的 水平距离AD 为90米,求电视塔 BC 的高 度.(结果精确到1米,参考数据 2≈1.41, 3≈1.73,sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42, tan 65°≈2.14) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 12.如图,射线 MN 表示一艘轮船的航行路线,从 M 到N 的走向为南偏东30°,在 M 的南偏东 60°方向上有一点A,A 处距离M 处100海里. (1)求点A 到航线MN 的距离; (2)在航线 MN 上有一点B,且∠MAB= 15°,若轮船的速度为50海里/时,求轮船 从 M 处到B 处所用时间为多少小时? (结果保留根号) 13.如图,某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为60°,沿山坡向上走到P 处再测得 点C 的仰角为45°,已知OA=100米,山坡坡 度(竖直高度与水平宽度的比)i=1∶2,且 O,A,B 在同一条直线上.求电视塔OC 的高 度以及此人所在位置点P 的铅直高度.(测倾 器高度忽略不计,结果保留根号形式) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一冲天 参考答案 参考答案 28.2.2应用举例 5.D如图，作DM⊥AB于M,CN⊥DM于N. D L.B栏杆A端升高的高度为A'O·sin∠A()A'= 4sin50°. 2.10m迎水坡BC的坡度为1：5， 即tanB= 店=3∠B=30, M :∠BCD=120°，∠B=∠ODC=90°， ∴.BC=2AC=10(m). .∠DOM=60°，∠DCN=30", 3,B如图，过点B作BE⊥AC于点E, 北 CN-CD.o0x DN=cD-2×2=1. OM-OB-BM-2 AB-CN-11-5, 0 .DM=(OM·tan60°=113-3， 出题意可得.∠ACD=45°，∠BD=22.5°， ..BC=MN=DM-DN=(113-4). ∴.∠ACB=22.5, 6.C如图， .BC平分∠ACD, BE⊥AC,BDLCD, ..BE=BD, :AB=2,∠CAD=45. 60 D BE- 2AB=2, 75 .AD=AB+BD=2十2， 由题意可知，∠DAB=∠ABE=15,∠CBE=60°， ∴.CD=(2+√2)km. ∴.∠CAB=∠CAD+∠DAB=90, 4.C设AG=xm, ∠ABC=∠CBE-∠ABE=45, AG 在Rt△AFG中，'tan∠AEG EG· ∴.在Rt△ABC中，sin∠ABC AC 40X2_2 .EG-AG BC BC 2 tan60✉ 3, ∴.BC=202(海里) 在R△ACG巾，'an∠ACG=AC 7.D在Rt△ABC巾，BC=AC·tan8=4tan0, CG' .AC+BC=4-4tan 0. CG-AG an30=3r, ∴，地毯的而积至少需要 1×(4十4tan0)=(4十4Lan0)m2 YCG-EG=CE, 8.A如图，作AH⊥BC于H. 3x- 3t=100,解得x=503. D ∴.AB=AG+BG=(05+1)m. B H 一冲天 参考答案 参考答案 在R△ABH中，sin∠ABH=AH 12.解：(1)如图，过点A作AH⊥MN 北 AB' 于点H. 则AH=AB·sim∠ABH=6Xsin60°=6X =35 :∠QMB=30°，∠QMA=60°， 2 .∠NMA=∠QMA-∠QMB=30. ∠E=45, 在Rt△AMH中， .AE=2AH=2×3√5=36（米）. AH=AM=×100=50(海里. 1 9.203403在Kt△PAB中，AB=20,∠APB=30°， 点A到航线MN的距离为50海里： AB 20 ..PB=2AB=40.PA= an∠APB-ian30=20,3, (2)在R△AMH中， “.海监船到岛屿的蚊小距离是203km: ∠AMH=30°，.∠HAM=60°. 由题意BC=40, :∠MAB=15°. .PB=BC,∴∠C=∠CPB, .∠HAB=∠HAM-∠MAB=45, :∠ABP=∠C+∠CPB=60°， .BH=AH=50. .∠C=30. :MH=3AH=503, ∴.PC=2PA=2×203=403(km). .MB=MH-BH=(0√3-50)海里， 即海监船到达C处时与岛屿P之间的距离为405km. :503-50 50 (3-1)时 10.100如图，过点P作PE⊥AB于点E. 轮船从M处到B处所用时问为(3一1)小时 B 13.解：作PE⊥OB于点E,PF⊥OC于点F, 在Rt△AOC中，AO=100,∠CAO=60°， 759 30P .OC=AO·tan60°=1005. ∠APC=75°，∠BPD=30°， 设PE=r米， ∠APB=75, ∠BAP=∠APC=75, <PB-得-名AE-2 在Rt△PCF中，∠CPF=45..PF=CF .∠APB=∠BAP. :PF=OE=A0+AE=100+2x, ,.AB=PB=200, ,∠ABP=∠BPD=30, CF=OC-OF=(C-PE=1003-x PE-专PB=100米，即河流的宽度约为100米。 ∴.100+2x=1003-x, 解得x-10065-D(米. 11.解：在Rt△ADB巾， ∠BAD=65°，AD=90, .电视塔(O心的高度为1003米，点P的铅直高度为 ∴.BD=AD·1an65≈90X2.14=192.6, 100(5-1卫米. 同理，在R1△ADC中， 3 ∠DAC=30°，AD=90, CD=AD·an30-90× 3 ≈51.9. 山坡 ..BC=BD+D=192.6+51.9■244.5≈245（米）. 45⊙P ,电视塔BC的高度约为245米. B 水平地面